Logaritma

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Logaritma
Logarithms.svg
Domain dan Citra
Domain dari fungsi
Daerah hasil fungsi
Nilai-nilai spesifik
Nilai di
Nilai maksimumTidak ada
Nilai minimumTidak ada
Sifat khusus
Akar
Invers
Turunan
Antiturunan
Grafik logaritma terhadap basis yang berbeda.merah adalah terhadap basis , hijau adalah terhadap basis , dan ungu adalah terhadap basis . Perhatikan bahwa grafik logaritma terhadap basis yang berbeda selalu melewati titik .

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (invers) dari eksponensiasi (pemangkatan). Artinya, logaritma merupakan operasi pencarian eksponen supaya basis tertentu dipangkatkan dengan eksponen ini menghasilkan nilai dimasukkan.[1]

Sebagai contoh, diberikan bentuk ekspresi . Menurut definisi eksponen, . Dengan menggunakan penjelasan logaritma di atas, kita tuliskan . Penulisan merupakan abreviasi dari kata 'logaritma'.

Secara matematis, logaritma, yakni fungsi bilangan positif,[2] dapat didefinisikan sebagai

.

Pada penulisan matematis di atas, , bilangan positif dan tidak sama dengan 1, adalah basis atau bilangan pokok[3] dari logaritma tersebut, dengan syarat atau , adalah numerus[1] atau bilangan yang dliogaritmakan, dan adalah hasil logaritma[1][3] atau antilogaritma, yang mensyaratkan bilangan positif.[butuh rujukan]

Beberapa buku dan karya ilmiah menuliskan logaritma dengan basis tidak diletakkan sebelum notasi , melainkan diletakkan sesudah (pada bagian bawah kanan), sehingga notasinya seperti [4]. Notasi yang kedua umumnya ditemukan pada buku dan karya ilmiah dalam versi lain.

Skala logaritma mengurangi jumlah luas ke lingkup yang lebih kecil. Misalnya, desibel (dB) adalah satuan yang digunakan untuk menyatakan rasio sebagai logaritma, sebagian besar untuk kekuatan sinyal dan amplitudo (pada tekanan suara adalah contoh umum). Dalam kimia, pH adalah ukuran logaritmik untuk asamitas dari larutan berair. Logaritma biasa dalam rumus ilmiah, dan dalam pengukuran kompleksitas algoritma dan objek geometris yang disebut fraktal. Mereka membantu untuk menggambarkan frekuensi rasio interval musik, muncul dalam rumus yang menghitung bilangan prima atau perkiraan faktorial, menginformasikan beberapa model dalam psikofisika, dan dapat membantu dalam akuntansi forensik.

Dengan cara yang sama seperti logaritma eksponensial pembalikan, logaritma kompleks adalah fungsi invers dari fungsi eksponensial, baik diterapkan pada bilangan real atau bilangan kompleks. Modular logaritma diskret adalah varian lain; logaritma juga memiliki kegunaan dalam kriptografi kunci publik.

Motivasi[sunting | sunting sumber]

Grafik yang menunjukkan kurva logaritmik, melintasi sumbu x diantara x= 1 dan mendekati minus tak-hingga sepanjang sumbu-y.
grafik dari basis logaritma 2 memotong sumbu-x antara x = 1 dan melewati titik (2, 1), (4, 2), dan (8, 3) yang menggambarkan log2(8) = 3 dan 23 = 8. Grafik secara arbiter mendekati sumbu-y, tetapi tak-memenuhinya.

Penjumlahan, perkalian, dan eksponen adalah tiga dari operasi aritmetika yang paling mendasar. Kebalikan dari penjumlahan adalah pengurangan, dan kebalikan dari perkalian adalah pembagian. Sehingga, logaritma adalah operasi kebalikan dari eksponen. Eksponen adalah ketika suatu bilangan b, basis dipangkatkan ke pangkat tertentu y, eksponen untuk memberikan nilai x; dilambangkan

Misalnya, dipangkatkan 2 ke pangkat 3 menghasilkan 8, adalah:

Logaritma basis b adalah operasi kebalikan, yang memberikan keluaran y dari masukan x. Artinya, sama dengan jika b adalah bilangan real positif. (Jika b dalam bukan bilangan real positif, eksponensial dan logaritma didefinisikan, tetapi mungkin memerlukan beberapa nilai, yang membuat definisi menjadi lebih rumit.)

Salah satu motivasi historis utama memperkenalkan rumus logaritma adalah

,

yang memungkinkan (sebelum ditemukannya komputer) untuk mengurangi perhitungan perkalian dan pembagian menjadi penambahan, pengurangan dan pencarian tabel logaritma.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Logaritma dapat dipahami secara matematis sebagai anggota fungsi (yang keseluruhannya dilambangkan dengan ) dari . Fungsi logaritma masing-masing hanya berbeda (tetapi tidak sama dengan nol) kelipatan satu sama lain.

Ini diperkenalkan dengan cara yang berbeda pada bilangan real positif. Tergantung pada latar belakang dan niat, Anda akan memilih satu atau pendekatan didaktik lainnya. Definisi yang berbeda dari logaritma real antara satu sama lain ekuivalen dan dibuat dengan fokus khusus pada logaritma alami, yang terjadi secara alami dari sudut pandang para matematikawan, seperti yang dilihat dalam akses melalui integral tak tentu dari .

Sebagai fungsi invers dari fungsi eksponensial[sunting | sunting sumber]

Logaritma ke basis adalah fungsi invers dari fungsi eksponensial pada basis positif , yaitu:

Oleh karena itu, fungsi dan adalah fungsi invers satu sama lain. Logaritma membalikkan eksponensial dan sebaliknya:

Hasil logaritma alami dari basis , dimana

yang adalah bilangan Euler.

Sebagai solusi untuk persamaan fungsional[sunting | sunting sumber]

Fungsi logaritma adalah solusi kontinu non-trivial dari persamaan fungsional

Solusi dapat memenuhi dan bahkan dapat diturunkan. Logaritma alami kemudian diperoleh secara bersama dengan kondisi tambahan

Kondisi tambahan adalah salah satu alasan untuk sebutan logaritma yang diperoleh secara alami. Jikalau mendapatkan logaritma ke basis lain melalui kondisi tambahan, maka yang harus dilakukan adalah

dan selalu membutuhkan logaritma alami lagi.

Solusi trivial dari persamaan fungsional atas adalah fungsi null , yang tidak dianggap sebagai fungsi logaritmik, dan satu-satunya solusi dari persamaan fungsional yang juga didefinisikan .

Karena persamaan fungsional atas, maka dari itu logaritma menyampaikan khususnya pemetaan pelestarian struktur dari bilangan real positif dengan struktur perkalian. Apabila seseorang juga menemukan secara eksplisit ini sebagai suatu kondisi dan dengan demikian sampai pada turunan.

Sebagai isomorfisme[sunting | sunting sumber]

Logaritma bernilai real adalah kontinu dari isomorfisme

.

Definisi ini dengan jelas mendefinisikan fungsi kecuali untuk konstanta perkalian.

Pendekatan aljabar menekankan seperti pendekatan melalui persamaan fungsional signifikansi secara historis logaritma sebagai bantuan perhitungan: Ini memungkinkan perkalian untuk "dikonversi" menjadi penjumlahan.

Sebagai antiturunan dari f dengan f(x)=1/x[sunting | sunting sumber]

Logaritma alami sebagai luas bawah grafik 1/x

Fungsinya adalah

dengan adalah logaritma alami: Ini adalah . Logaritma dengan basis diperoleh dengan membagi fungsi dengan konstanta . Sebagai integral tak wajar dari , atau batas integrasi bawah arbiter (positif), dianggap hanya akan mendapatkan satu tambahan, konstanta aditif, tetapi hanya mendapatkan logaritma ke basis .

Sebagai deret pangkat[sunting | sunting sumber]

Logaritma alami dapat dinyatakan sebagai deret pangkat, yaitu

Deret ini adalah konvergensi untuk dan untuk .

Untuk perhitungan numerik dari nilai untuk pada relasi yang digunakan.

Catatan[sunting | sunting sumber]

Definisi ini juga dapat digunakan untuk mendapatkan logaritma pada struktur matematika lainnya, seperti: sebuah bilangan pada bilangan kompleks. Ini mengasumsikan bahwa konsep yang digunakan untuk definisi ada dalam struktur yang bersangkutan.

Misalnya, untuk mendefinisikan logaritma diskret pada grup, Konsep seperti diferensiasi/integrasi tidak dapat digunakan karena mereka bahkan tidak digunakan. Definisi terjadi karena sebagai inversi eksponen dengan seluruh eksponen, yang pada gilirannya didefinisikan oleh beberapa penggunaan pranala satu grup.

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Sejarah logaritma dimulai dari Eropa abad ketujuh belas adalah penemuan fungsi baru yang memperluas ranah analisis luar cakupan metode aljabar. Metode logaritma dikemukakan secara terbuka oleh John Napier pada tahun 1614, dalam sebuah buku berjudul Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Deskripsi Kaidah Logaritma yang Menakjubkan).[5][6] Sebelum penemuan Napier, ada teknik lain dengan cakupan serupa, seperti prosthafaeresis atau penggunaan tabel progresi, yang dikembangkan secara ekstensif oleh Jost Bürgi sekitar tahun 1600.[7][8] Napier menciptakan istilah untuk logaritma dalam bahasa Latin Tengah, “logaritmus” yang berasal dari bahasa Yunani, secara harfiah berarti, “rasio-bilangan,” dari logos “proporsi, rasio, kata” + arithmos “bilangan”.

Logaritma umum suatu bilangan adalah indeks pangkat sepuluh yang sama dengan bilangan tersebut.[9] Berbicara tentang angka yang membutuhkan banyak angka adalah kiasan kasar untuk logaritma umum, dan disebut oleh Archimedes sebagai “urutan bilangan”.[10] Logaritma real pertama adalah metode heuristik untuk mengubah perkalian menjadi penjumlahan, sehingga memudahkan komputasi yang cepat. Beberapa metode ini menggunakan tabel yang diturunkan dari identitas trigonometri.[11] Metode seperti itu disebut prosthafaeresis.

Penemuan fungsi sekarang dikenal sebagai logaritma alami dimulai sebagai upaya untuk kuadratur persegi panjang hiperbola oleh Grégoire de Saint-Vincent ia adalah seorang Yesuit Belgia yang tinggal di Praha. Archimedes telah menulis The Quadrature of the Parabola pada abad ketiga SM, tetapi kuadratur untuk hiperbola menghindari semua upaya sampai Saint-Vincent menerbitkan hasilnya pada tahun 1647. Relasi yang disediakan logaritma antara barisan dan deret geometri dalam argumen dan nilai barisan dan deret aritmetika, A. A. de Sarasa diminta untuk membuat hubungan kuadratur Saint-Vincent dan tradisi logaritma dalam prosthafaeresis, mengarah ke istilah "logaritma hiperbolik", sebuah kata sinonim untuk logaritma alami. Dengan segera, fungsi baru tersebut dihargai oleh Christiaan Huygens, dan James Gregory. Notasi diadopsi oleh Leibniz pada tahun 1675,[12] dan tahun berikutnya dia menghubungkannya ke integral

Sebelum Euler mengembangkan konsep modernnya tentang logaritma alami kompleks, Roger Cotes memiliki hasil yang hampir sama ketika ia menunjukkan pada tahun 1714 bahwa[13]

.

Tabel logaritma, kaidah geser, dan aplikasi historis[sunting | sunting sumber]

1797 Encyclopædia Britannica penjelasan logaritma

Dengan menyederhanakan perhitungan yang sulit sebelum kalkulator dan komputer tersedia, logaritma berkontribusi pada kemajuan ilmu pengetahuan, khususnya astronomi. Mereka sangat penting untuk kemajuan dalam survei, navigasi langit, dan domain lainnya. Pierre-Simon Laplace menyebutkan tentang logaritma

"...[sebuah] kecerdasan mengagumkan yang mengurangi menjadi beberapa hari kerja berbulan-bulan, menggandakan kehidupan astronom, dan menghindarkannya dari kesalahan dan rasa jijik yang tak terpisahkan dari perhitungan panjang."[14]

Sebagai fungsi yang merupakan fungsi invers dari disebut juga sebagai antilogaritma.[15] Saat ini, fungsi ini lebih sering disebut fungsi eksponensial.

Tabel log[sunting | sunting sumber]

Alat utama yang memungkinkan penggunaan praktis logaritma adalah tabel logaritma.[16] Tabel tersebut pertama kali disusun oleh Henry Briggs pada tahun 1617, setelah penemuan Napier tetapi dengan inovasi menggunakan 10 sebagai basis. Tabel pertama Briggs berisi logaritma umum dari semua bilangan bulat dalam rentang 1 hingga 1000, dengan presisi 14 digit. Selanjutnya, tabel dengan cakupan yang meningkat ditulis. Tabel ini mencantumkan nilai untuk bilangan apa pun  dalam rentang tertentu, pada presisi tertentu. Logaritma basis-10 digunakan secara universal untuk komputasi, oleh karena itu disebut logaritma umum, karena bilangan yang berbeda dengan faktor 10 memiliki logaritma yang berbeda dengan bilangan bulat. Logaritma umum dipisahkan menjadi bagian bilangan bulat dan bagian pecahan, yang dikenal sebagai karakteristik dan mantissa. Tabel logaritma hanya perlu menyertakan mantissa, karena karakteristiknya dapat dengan mudah ditentukan dengan menghitung angka dari titik desimal.[17] Karakteristik adalah satu plus karakteristik , dan mantissanya sama. Jadi dengan menggunakan tabel log tiga digit, logaritma dari 3542 didekati dengan

Akurasi besar dapat diperoleh dengan interpolasi:

Nilai dapat ditentukan dengan pencarian terbalik pada tabel yang sama, karena logaritma adalah fungsi monoton.

Komputasi[sunting | sunting sumber]

Hasil kali dan hasil bagi dua bilangan positif dan secara rutin dihitung sebagai jumlah dan selisih logaritmanya. Produk  atau hasil bagi  berasal dari antilogaritma dari jumlah atau selisih, melalui tabel yang sama:

dan

Untuk perhitungan manual yang menuntut ketelitian yang cukup besar, melakukan pencarian kedua logaritma, menghitung jumlah atau perbedaannya, dan mencari antilogaritma jauh lebih cepat daripada melakukan perkalian dengan metode sebelumnya seperti prostafaeresis, yang mengandalkan identitas trigonometri.

Perhitungan pangkat dan akar-akar direduksi menjadi perkalian atau pembagian dan pencarian dengan

dan

Perhitungan trigonometri difasilitasi oleh tabel yang berisi logaritma umum fungsi trigonometri.

Kaidah geser[sunting | sunting sumber]

Aplikasi penting lainnya adalah kaidah geser, sepasang skala yang dibagi secara logaritmik yang digunakan dalam perhitungan. Skala logaritmik non-geser, kaidah Gunter, ditemukan tak lama setelah penemuan Napier. William Oughtred menyempurnakannya untuk membuat kaidah geser—sepasang skala logaritmik yang dapat dipindahkan terhadap satu sama lain. Bilangan yang ditempatkan pada skala geser pada jarak sebanding dengan perbedaan antara logaritma mereka. Menggeser skala atas dengan tepat berarti menambahkan logaritma secara mekanis, seperti yang diilustrasikan berikut ini:

Kaidah geser: dua persegi panjang dengan sumbu yang dicentang secara logaritmik, pengaturan untuk menambahkan jarak dari 1 ke 2 ke jarak dari 1 ke 3, menunjukkan produk 6.
Penggambaran skema dari kaidah slide. Mulai dari 2 pada skala bawah, tambahkan jarak ke 3 pada skala atas untuk mencapai produk 6. Kaidah geser berfungsi karena ditandai sedemikian rupa sehingga jarak dari 1 ke sebanding dengan logaritma .

Misalnya, menambahkan jarak dari 1 ke 2 pada skala yang lebih rendah ke jarak dari 1 ke 3 pada skala atas menghasilkan produk 6, yang dibacakan bagian bawah. Penggaris geser adalah alat penghitung penting bagi para insinyur dan ilmuwan hingga tahun 1970-an, karena memungkinkan, dengan mengorbankan presisi, komputasi yang jauh lebih cepat daripada teknik berdasarkan tabel.[18]

Identitas logaritmik[sunting | sunting sumber]

Beberapa rumus penting, terkadang disebut identitas logaritmik atau hukum logaritma, menghubungkan logaritma satu sama lain.[19] Adapun sifat-sifat logaritma untuk suatu basis , yaitu:

Sifat Pembuktian
Sifat dasar [butuh rujukan]
Klik 'tampil' untuk melihat bukti
Karena , maka dalam bentuk logaritma, .
[butuh rujukan]
Klik 'tampil' untuk melihat bukti
Karena dimana , maka dalam bentuk logaritma, .
[butuh rujukan]
Klik 'tampil' untuk melihat bukti

Dengan menggunakan sifat , maka

.

Karena , maka

.
Pemangkatan [20]
Klik 'tampil' untuk melihat bukti
Mengingat bahwa , maka

Dengan menggunakan sifat perkalian, maka kita memperoleh

. [butuh rujukan]

Perkalian dan pembagian [20]
Klik 'tampil' untuk melihat bukti

Misalkan dan . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh dan . Maka,

.

Ambil logaritma basis pada kedua ruas sehingga

.[butuh rujukan]
[20]
Klik 'tampil' untuk melihat bukti

Misalkan dan . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh dan . Maka,

Ambil logaritma basis pada kedua ruas sehingga

.[butuh rujukan]

[20]
[20]
Klik 'tampil' untuk melihat bukti
Lagi, sifat di atas dapat kita pakai untuk membuktikan sifat yang ini.

.

Dengan membatalkan , maka kita memperoleh . [butuh rujukan]

Mengubah basis [20]
Klik 'tampil' untuk melihat bukti
Misal . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen, kita memperoleh . Maka, kita tuliskan sebagai

Dengan menggunakan sifat sebelumnya, maka

Substitusi kembali sehingga didapati

. [21]
[20]
Klik 'tampil' untuk melihat bukti
Dengan menggunakan sifat sebelumnya, maka diperoleh
.

Jika kita misalkan , maka

.[butuh rujukan]

Pada sifat pertama, sifat logaritma di atas untuk suatu bilangan dapat bernilai , sebagai eksepsi . Sebagai contoh, tinjau , maka . Sifat kedua juga memberikan syarat yang sama. Sifat yang ketiga di atas dapat kita pakai sebagai kalkulasi yang efisien terhadap bentuk-bentuk yang rumit. Sebagai contoh, tinjau . Berdasarkan sifat dasar, kita dapat mengubah menjadi . Kita tuliskan sebagai . Sifat keempat dapat dilakukan dengan hal yang serupa, tinjau , yang mana . Kita bisa tulis .

Pada sifat perkalian dan pembagian, dapat kita jabarkan bentuknya sebagai penambahan dan pengurangan antar logaritma. Misalnya, tinjau dan . Berdasarkan sifat di atas, dapat kita tuliskan bentuknya sebagai

dan .

Dalam perubahan basis, kalkulator ilmiah tipikal menghitung logaritma ke basis 10 dan e.[22] Logaritma sehubungan dengan basis apa pun b ditentukan menggunakan salah satu dari dua logaritma ini dengan rumus sebelumnya:

Diberikan angka x dan logaritmanya y = logbx ke basis tak-diketahui b, basisnya diberikan oleh:

yang dilihat dari mengambil persamaan pendefinisian ke kuasa (pangkat) .

Basis[sunting | sunting sumber]

Plot logaritma untuk basis 0,5, 2, dan

Di antara semua pilihan untuk basis, ketiganya adalah basis khusus. Ini adalah , (irasional adalah konstanta matematika ≈ 2,71828), dan (logaritma biner). Dalam analisa matematika, basis logaritma tersebar luas karena sifat analitik yang dijelaskan dibawah ini. Di sisi lain, logaritma basis-10 mudah digunakan untuk perhitungan manual dalam sistem bilangan desimal:[23]

Jadi, berhubungan dengan jumlah digit desimal dari bilangan bulat positif : jumlah digit adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari .[24] Misalnya, adalah kira-kira 3,15. Bilangan bulat berikutnya adalah 4, yang merupakan jumlah digit 1430. Baik logaritma alami dan logaritma ke basis dua digunakan dalam teori informasi, sesuai dengan penggunaan nat atau bit sebagai satuan dasar informasi masing-masing.[25] Logaritma biner juga digunakan dalam ilmu komputer, dimana sistem biner ada di mana-mana; dalam teori musik, di mana rasio nada dua (oktaf) ada di mana-mana dan sen adalah logaritma biner (skala 1200) rasio antara dua nada yang bertemperatur sama di musik klasik Eropa; dan dalam fotografi untuk mengukur nilai eksposur.[26]

Tabel berikut mencantumkan notasi umum untuk logaritma ke basis ini dan medan dimana mereka digunakan. Banyak disiplin menulis yang dialihkan ke , ketika dasar yang dimaksud ditentukan dari konteksnya. Notasi juga muncul.[27] Kolom "notasi ISO" mencantumkan penunjukan yang disarankan oleh Organisasi Internasional untuk Standardisasi (ISO 80000-2).[28] Karena notasi telah digunakan untuk ketiga basis (atau jika basisnya tidak tentu atau tidak material), dasar yang dimaksud sering kali harus disimpulkan berdasarkan konteks atau disiplin. Dalam ilmu komputer, biasanya mengacu pada , dan dalam matematika biasanya mengacu pada .[29] Dalam konteks lain, sering disebut sebagai .[30]

Basis Nama logaritma Notasi ISO Notasi lain Bidang yang dipakai
logaritma biner [31] , , ,[32] ilmu komputer, teori informasi, bioinformatika, teori musik, fotografi
logaritma alami [nb 1] (dalam matematika[36] dan bahasa pemrograman lainnya[nb 2]), matematika. fisika, kimia, statistika, ekonomi, teori informatika, ilmu teknik
logaritma umum , [37](dalam ilmu teknik, biologi, dan astronomi) berbagai bidang ilmu teknik
logarithm basis - matematika

Logaritma yang umum digunakan adalah , atau , dan (logaritma yang paling umum digunakan menurut sejarah[38]). Fungsi-fungsi tersebut memiliki basis 2, e, dan 10. Contohnya, logaritma dengan basis juga disebut logaritma alami atau logaritma alami, dimana:[39]

.

Di Indonesia, kebanyakan notasi logaritma menuliskan basis logaritma di sebelah kiri atas abreviasi kata logaritma, , daripada peletakan basis logaritma di pertengahan abreviasi kata logaritma dengan variabel , . Galibnya, buku-buku matematika dalam versi lain menggunakan notasi .

Kalkulator, dan bahasa pemrograman[sunting | sunting sumber]

Dalam kalkulator, tombol "log" digunakan logaritma basis 10), sedangkan tombol "ln" untuk basis .

Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis dan ln menunjuk kepada logaritma berbasis . Terkadang "Log x" menunjuk kepada dan (huruf kecil L) menunjuk kepada .[butuh rujukan]

Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C,C++, Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis .[butuh rujukan] Di LaTeX, logaritma dapat dituliskan sebagai \log .[40]

Penerapan logaritma[sunting | sunting sumber]

Pengguna logaritma begitu ekstensif sehingga logaritma dapat diterapkan pada bidang sains, yaitu kimia, fisika, astronomi, dan lain sebagainya. Galibnya, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma.

pH[sunting | sunting sumber]

Dalam kimia, pH mengekspresikan negatif dari logaritma biasa dari aktivitas ion hidrogen dalam larutan berpelarut air.[41] Ini dirumuskan sebagai

.

Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga

.

Desibel[sunting | sunting sumber]

Dalam satuan fisika, satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.

Skala Richter[sunting | sunting sumber]

Skala Richter, dinamai dari Charles Francis Richter, merupakan skala yang mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10, yang dirumuskan sebagai

[42]

dimana adalah ekskursi maksimum dari seismograf Wood–Anderson.

Skala logaritmik[sunting | sunting sumber]

Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.

Logaritma dalam cabang matematika lainnya[sunting | sunting sumber]

Logaritma dalam kalkulus[sunting | sunting sumber]

Hubungan logaritma dalam kalkulus, yakni turunan dan integral logaritma. Untuk memulai pencarian turunan fungsi logaritma, kita perhatikan bahwa jika dan hanya jika , maka kita memperoleh . Dengan substitusi kembali, diperoleh

.

Jika kita turunkan, maka kita mendapatkan

[43]

di mana adalah logaritma natural atau logaritma alami, yakni logaritma basis . Turunannya juga dapat dituliskan sebagai

Dengan rumus di atas, kita bisa mencari turunan logaritma natural. Ambil , maka rumus di atas dapat disederhanakan menjadi

.

Pada kasus mengenai invers dari turunan, Integral fungsi logaritma adalah

[44]

Dengan cara yang serupa, yaitu mensubstitusikan , kita memperoleh integral dari logaritma natural.

.

Logaritma dalam analisis kompleks[sunting | sunting sumber]


Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Beberapa matematikawan tidak menyetujui notasi ini. Dalam otobiografinya tahun 1985, Paul Halmos mengkritik apa yang dianggapnya sebagai "notasi ln kekanak-kanakan", yang menurutnya tidak pernah digunakan oleh matematikawan.[33] The notation was invented by Irving Stringham, a mathematician.[34][35]
  2. ^ Misalnya C, Java, Haskell, dan BASIC.

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ a b c Entis Sutisna, S.Pd, Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma Matematika Peminatan Kelas X, hlm. 29.
  2. ^ Kerami, Djati and Aryanti, Kiki and Mardiyati, Sri and Sitanggang, Cormentyna (1995) Kamus Aljabar. Pusat Pembinaan dan Pengembangan Bahasa, hlm. 34, Jakarta. ISBN 979-459-578-0
  3. ^ a b Archangelia Maria Lelu, Desain Pembelajaran Pada Materi Fungsi Logaritma Menggunakan Pendekatan Pembelajaran Berbasis Masalah dan Hasil Pembelajaran Ditinjau dari Kemampuan Komunikasi Matematis Siswa Kelas X MIPA, hlm. 15.
  4. ^ "Logarithmic notation". Mathematics Libretext. 
  5. ^ Napier, John (1614), Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio [The Description of the Wonderful Rule of Logarithms] (dalam bahasa Latin), Edinburgh, Scotland: Andrew Hart 
  6. ^ Hobson, Ernest William (1914), John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press 
  7. ^ Folkerts, Menso; Launert, Dieter; Thom, Andreas (2016), "Jost Bürgi's method for calculating sines", Historia Mathematica, 43 (2): 133–147, arXiv:1510.03180alt=Dapat diakses gratis, doi:10.1016/j.hm.2016.03.001, MR 3489006 
  8. ^ Templat:Mactutor
  9. ^ William Gardner (1742) Tables of Logarithms
  10. ^ Pierce, R. C. Jr. (January 1977), "A brief history of logarithms", The Two-Year College Mathematics Journal, 8 (1): 22–26, doi:10.2307/3026878, JSTOR 3026878 
  11. ^ Enrique Gonzales-Velasco (2011) Journey through Mathematics – Creative Episodes in its History, §2.4 Hyperbolic logarithms, p. 117, Springer ISBN 978-0-387-92153-2
  12. ^ Florian Cajori (1913) "History of the exponential and logarithm concepts", American Mathematical Monthly 20: 5, 35, 75, 107, 148, 173, 205.
  13. ^ Stillwell, J. (2010), Mathematics and Its History (edisi ke-3rd), Springer 
  14. ^ Bryant, Walter W. (1907), A History of Astronomy, London: Methuen & Co , p. 44
  15. ^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ed. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (edisi ke-10th), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0 , bagian 4.7., hal. 89
  16. ^ Campbell-Kelly, Martin (2003), The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets, Oxford scholarship online, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850841-0 , bagian 2
  17. ^ Spiegel, Murray R.; Moyer, R.E. (2006), Schaum's outline of college algebra, Schaum's outline series, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-145227-4 , p. 264
  18. ^ Maor, Eli (2009), E: The Story of a Number, Princeton University Press, sections 1, 13, ISBN 978-0-691-14134-3 
  19. ^ Semua pernyataan di bagian ini dapat ditemukan di Shailesh Shirali 2002, section 4, (Douglas Downing 2003, p. 275), or Kate & Bhapkar 2009, p. 1-1, misalnya.
  20. ^ a b c d e f g Kanginan, Marthen; Nurdiansyah, Hadi; Akhmad, Ghany (2016). Matematika Untuk Siswa SMA/MA Kelas X. Yrama Widya. hlm. 74. ISBN 978-602-374-554-8. 
  21. ^ Kanginan, Marthen; Nurdiansyah, Hadi; Akhmad, Ghany (2016). Matematika Untuk Siswa SMA/MA Kelas X. Yrama Widya. hlm. 74. ISBN 978-602-374-554-8. 
  22. ^ Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Garis besar teori Schaum dan masalah elemen statistik. I, Statistik deskriptif dan probabilitas, Schaum's outline series, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5 , p. 21
  23. ^ Downing, Douglas (2003), Algebra the Easy Way, Barron's Educational Series, Hauppauge, NY: Barron's, ISBN 978-0-7641-1972-9 , bab 17, hal. 275
  24. ^ Wegener, Ingo (2005), Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21045-0 , hal.20
  25. ^ Van der Lubbe, Jan C. A. (1997), Information Theory, Cambridge University Press, hlm. 3, ISBN 978-0-521-46760-5 
  26. ^ Allen, Elizabeth; Triantaphillidou, Sophie (2011), The Manual of Photography, Taylor & Francis, hlm. 228, ISBN 978-0-240-52037-7 
  27. ^ Franz Embacher; Petra Oberhuemer, Mathematisches Lexikon (dalam bahasa Jerman), mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium, diakses tanggal 22 Maret 2011 
  28. ^ Kuantitas dan satuan – Bagian 2: Matematika (ISO 80000-2:2019); EN ISO 80000-2
  29. ^ Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto (2002), Algorithm Design: Foundations, Analysis, and Internet Examples, John Wiley & Sons, hlm. 23, Salah satu aspek yang menarik dan terkadang mengejutkan dari analisis struktur data dan algoritma adalah keberadaan logaritma di mana-mana ... Seperti kebiasaan dalam literatur komputasi, kami menghilangkan penulisan basis dari logaritma ketika . 
  30. ^ Parkhurst, David F. (2007), Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science (edisi ke-illustrated), Springer Science & Business Media, hlm. 288, ISBN 978-0-387-34228-3 
  31. ^ Gullberg, Jan (1997), Mathematics: from the birth of numbers.Perlu mendaftar (gratis), New York: W. W. Norton & Co, ISBN 978-0-393-04002-9 
  32. ^ See footnote 1 in Perl, Yehoshua; Reingold, Edward M. (December 1977), "Understanding the complexity of interpolation search", Information Processing Letters, 6 (6): 219–22, doi:10.1016/0020-0190(77)90072-2 
  33. ^ Paul Halmos (1985), I Want to Be a Mathematician: An Automathography, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96078-4 
  34. ^ Irving Stringham (1893), Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis, The Berkeley Press, hlm. xiii 
  35. ^ Roy S. Freedman (2006), Introduction to Financial Technology, Amsterdam: Academic Press, hlm. 59, ISBN 978-0-12-370478-8 
  36. ^ See Theorem 3.29 in Rudin, Walter (1984), Principles of mathematical analysis (edisi ke-3rd ed., International student), Auckland: McGraw-Hill International, ISBN 978-0-07-085613-4 
  37. ^ Copenagle, Academic Support, What is logarithm?, hlm. 1.
  38. ^ Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1. hlm. 335. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)
  39. ^ "What is a Logarithm?". www.mclph.umn.edu. Diakses tanggal 2020-08-21. 
  40. ^ "Operators". Overleaf. 
  41. ^ "pH". IUPAC Goldbook. 
  42. ^ Ellsworth, William L. (1991). "The Richter Scale ML". Dalam Wallace, Robert E. The San Andreas Fault System, California. USGS. hlm. 177. Professional Paper 1515. Diakses tanggal 2008-09-14. 
  43. ^ Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1. hlm. 336. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)
  44. ^ "Logarithm Rules". RapidTables. 

Pranala luar[sunting | sunting sumber]