Fungsi poligamma

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Grafik dari fungsi poligamma , , , dan dari argumen real

Dalam matematika, fungsi poligamma urutan adalah fungsi meromorfik pada bilangan kompleks didefinisikan sebagai turunan ke pada logaritma dari fungsi gammaː

,

Dengan demikian

berlaku dimana adalah fungsi digamma dan adalah fungsi gamma. Mereka holomorfik pada . Di semua bilangan bulat bukan positif, fungsi poligamma ini memiliki sebuah kutub urutan . Fungsi terkadang disebut fungsi trigamma.

Logaritma dari fungsi gamma dan beberapa fungsi poligamma pertama dalam bidang kompleks
Complex LogGamma.jpg
Complex Polygamma 0.jpg
Complex Polygamma 1.jpg
Complex Polygamma 2.jpg
Complex Polygamma 3.jpg
Complex Polygamma 4.jpg

Representasi integral[sunting | sunting sumber]

Ketika dan , fungsi poligamma sama dengan

Ini mengekspresikan fungsi poligamma sebagia transformasi Laplace dari . Itu diikuti dari teorema Bernstein pada fungsi monoton bahwa, untuk dan real dan tak negatif, adalah fungsi sepenuhnya monoton.

Pengaturan pada rumus di atas tidak memberikan sebuah representasi integral dari fungsi digamma. Fungsi digamma memiliki sebuah representasi integral, karena Gauss, yang mirip dengan kasus di atas tapi yang memiliki sebuah istilah tambahan

Relasi pengulangan[sunting | sunting sumber]

Itu memenuhi relasi perulangan

yang – ditinjau untuk argumen bilangan bulat positif – mengarah ke sebuah presentasi dari jumlah kebalikan dari pangkat dari bilangan asliː

dan

untuk semua . Seperti fungsi log-gamma, fungsi poligamma bisa digeneralisasikan dari domain (lihat bilangan asli) tunggal ke bilangan real positif hanya karena relasi pengulanga mereka dan salah satunya diberikan fungsi-nilai, katakan , kecuali dalam kasus dimana kondisi tambahan dari monotonisitas yang ketat pada masih dibutuhkan. Ini adalah sebuah akibat trivial dari teorema Bohr–Mollerup untuk fungsi gamma dimana secara ketat konveksitas logaritmik pada dimnita tambahannya. Kasus harus diperlakukan berbeda karena tidak dapat dinormalisasi pada takhingga (jumlah dari timbal balik tidak konvergen).

Relasi refleksi[sunting | sunting sumber]

dimana adalah sebuah derajat polinomial ganjil atau genap dengan koefisien bilangan bulat dan mengarah koefisien . Mereka mematuhi persamaan rekursi

Teorema perkalian[sunting | sunting sumber]

Teorema perkalian memberikan

dan

untuk fungsi digamma.

Representasi deret[sunting | sunting sumber]

Fungsi poligamma memiliki representasi deret

yang berlaku untuk dan setiap kompleks tidak sama dengan sebuah bilangan bulat negatf. Representasi ini bisa ditulis lebih kompak dalam istilah dari fungsi zeta Hurwitz sebagai

.

Sebagai kemungkinan lain, zeta Hurwitx bisa dipahami untuk menggeneralisasikan poligamma ke sebarang, urutan bilangan bulat.

Satu deret lagi dapat diperbolehkan untuk fungsi poligamma. Seperti yang diberikan oleh Schlömilch,

.

Ini adalah hasil dari teorema faktorisasi Weierstrass. Dengan demikian, fungsi gamma sekarang dapat didefinisikan sebagaiː

.

Sekarang, logaritma alami dari fungsi gamma dengan muda direpresentasikanː

.

Akhrinya, kita sampai di sebuah representasi penjumlahan untuk fungsi poligammaː

Dimana adalah delta Kronecker.

Juga transenden Lerch

bisa dilambangkan dalam istilah fungsi poligamma

Deret Taylor[sunting | sunting sumber]

Deret Taylor pada adalah

dan

yang konvergen untuk . Disini, adalah fungsi zeta Riemann. Deret ini mudah diturunkan dari korespondensi deret Taylor untuk fungsi zeta Hurwitx. Deret ini dapat digunakan untuk menurunkan sebuah bilangan deret zeta rasional.

Ekspansi asimtotik[sunting | sunting sumber]

Deret tak konvergen ini bisa digunakan untuk mendapatkan sebuah nilai aproksimasi secepatnya dengan sebuah ketepatan numerik tertentu untuk argumen-argumen yang besarː

dan

dimana kita memilih , yaitu bilangan Bernoulli dari jenis kedua.

Pertidaksamaan[sunting | sunting sumber]

Kotangen hiperbolik memenuhi pertidaksamaan

,

dan ini menyiratkan bahwa fungsi

adalah tak negatif untuk semua dan . Ini mengikuti bahwa transformasi Laplace dari fungsi ini benar-benar monoton. Dengan representasi integral di atas, kita menyimpulkan bahwa

benar-benar monoton. Pertidaksamaan konveksitas menyiratkan bahwa

adalah tak negatif untuk semua dan , sehingga argumen transformasi Laplace yang serupa menghasilkan monotonisitas

yang lengkap.

Oleh karena itu, untuk semua , dan ,

.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]