Fungsi poligamma

Grafik dari fungsi poligamma $\psi$, $\psi ^{(1)}$, $\psi ^{(2)}$, dan $\psi ^{(3)}$ dari argumen real

Dalam matematika, fungsi poligamma urutan $m$ adalah fungsi meromorfik pada bilangan kompleks $\mathbb {C}$ didefinisikan sebagai turunan ke $(m+1)$ pada logaritma dari fungsi gammaː

$\psi ^{(m)}(z):={\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\psi (z)={\frac {d^{m+1}}{dz^{m+1}}}\ln \Gamma (z)$,

Dengan demikian

$\psi ^{(0)}(z)=\psi (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}$

berlaku dimana $\psi (z)$ adalah fungsi digamma dan $\Gamma (z)$ adalah fungsi gamma. Mereka holomorfik pada $\mathbb {C} \backslash -\mathbb {N} _{0}$. Di semua bilangan bulat bukan positif, fungsi poligamma ini memiliki sebuah kutub urutan $m+1$. Fungsi $\psi ^{(1)}(z)$ terkadang disebut fungsi trigamma.

Logaritma dari fungsi gamma dan beberapa fungsi poligamma pertama dalam bidang kompleks

$\ln \Gamma (z)$	$\psi ^{(0)}(z)$	$\psi ^{(1)}(z)$
$\psi ^{(2)}(z)$	$\psi ^{(3)}(z)$	$\psi ^{(4)}(z)$

Representasi integral

Ketika $m>0$ dan $\operatorname {Re} (z)>0$, fungsi poligamma sama dengan

${\begin{aligned}\psi ^{(m)}(z)&=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\,dt\\&=-\int _{0}^{1}{\frac {t^{z-1}}{1-t}}(\ln t)^{m}\,dt.\end{aligned}}$

Ini mengekspresikan fungsi poligamma sebagia transformasi Laplace dari ${\frac {(-1)^{m+1}t^{m}}{(1-e^{-t})}}$. Itu diikuti dari teorema Bernstein pada fungsi monoton bahwa, untuk $m>0$ dan real $x$ dan tak negatif, $(-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)$ adalah fungsi sepenuhnya monoton.

Pengaturan $m=0$ pada rumus di atas tidak memberikan sebuah representasi integral dari fungsi digamma. Fungsi digamma memiliki sebuah representasi integral, karena Gauss, yang mirip dengan kasus $m=0$ di atas tapi yang memiliki sebuah istilah tambahan ${\frac {e^{t}}{t}}$

Relasi pengulangan

Itu memenuhi relasi perulangan

$\psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\,m!}{z^{m+1}}}$

yang – ditinjau untuk argumen bilangan bulat positif – mengarah ke sebuah presentasi dari jumlah kebalikan dari pangkat dari bilangan asliː

${\frac {\psi ^{(m)}(n)}{(-1)^{m+1}\,m!}}=\zeta (1+m)-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{m+1}}}=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k^{m+1}}}\qquad m\geq 1$

dan

$\psi ^{(0)}(n)=-\gamma \ +\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}$

untuk semua $n\in \mathbb {N}$. Seperti fungsi log-gamma, fungsi poligamma bisa digeneralisasikan dari domain $\mathbb {N}$ (lihat bilangan asli) tunggal ke bilangan real positif hanya karena relasi pengulanga mereka dan salah satunya diberikan fungsi-nilai, katakan $\psi ^{(m)}(1)$, kecuali dalam kasus $m=0$ dimana kondisi tambahan dari monotonisitas yang ketat pada $\mathbb {R} ^{+}$ masih dibutuhkan. Ini adalah sebuah akibat trivial dari teorema Bohr–Mollerup untuk fungsi gamma dimana secara ketat konveksitas logaritmik pada $\mathbb {R} ^{+}$ dimnita tambahannya. Kasus $m=0$ harus diperlakukan berbeda karena $\psi ^{(0)}$ tidak dapat dinormalisasi pada takhingga (jumlah dari timbal balik tidak konvergen).

Relasi refleksi

$(-1)^{m}\psi ^{(m)}(1-z)-\psi ^{(m)}(z)=\pi {\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\cot {(\pi z)}=\pi ^{m+1}{\frac {P_{m}(\cos(\pi z))}{\sin ^{m+1}(\pi z)}}$

dimana $P_{m}$ adalah sebuah derajat polinomial ganjil atau genap $\left|m-1\right|$ dengan koefisien bilangan bulat dan mengarah koefisien $(-1)^{m}\lceil 2^{m-1}\rceil$. Mereka mematuhi persamaan rekursi

${\begin{aligned}P_{0}(x)&=x\\P_{m+1}(x)&=-\left((m+1)xP_{m}(x)+\left(1-x^{2}\right)P'_{m}(x)\right).\end{aligned}}$

Teorema perkalian

Teorema perkalian memberikan

$k^{m+1}\psi ^{(m)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)\qquad m\geq 1$

dan

$k\psi ^{(0)}(kz)=k\log(k)+\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(0)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)$

untuk fungsi digamma.

Representasi deret

Fungsi poligamma memiliki representasi deret

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}$

yang berlaku untuk $m>0$ dan setiap kompleks $z$ tidak sama dengan bilangan bulat negatf. Representasi ini bisa ditulis lebih kompak dalam bentuk fungsi zeta Hurwitz sebagai

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\,\zeta (m+1,z)$.

Sebagai kemungkinan lain, fungsi zeta Hurwitx bisa dipahami untuk menggeneralisasikan poligamma ke sebarang, urutan bilangan bulat.

Satu deret lagi dapat diperbolehkan untuk fungsi poligamma. Seperti yang diberikan oleh Schlömilch,

${\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}$.

Ini adalah hasil dari teorema faktorisasi Weierstrass. Dengan demikian, fungsi gamma sekarang dapat didefinisikan sebagaiː

$\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{n}}$.

Sekarang, logaritma alami dari fungsi gamma dengan muda direpresentasikanː

$\ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln(z)+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n}}-\ln \left(1+{\frac {z}{n}}\right)\right)$.

Akhrinya, kita sampai di sebuah representasi penjumlahan untuk fungsi poligammaː

$\psi ^{(n)}(z)={\frac {d^{n+1}}{dz^{n+1}}}\ln \Gamma (z)=-\gamma \delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{z^{n+1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{(k+z)^{n+1}}}\right)$

Dimana $\delta _{n0}$ adalah delta Kronecker.

Juga transenden Lerch

$\Phi (-1,m+1,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{m+1}}}$

bisa dilambangkan dalam istilah fungsi poligamma

Deret Taylor

Deret Taylor pada $z=1$ adalah

$\psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}{\frac {(m+k)!}{k!}}\zeta (m+k+1)z^{k}\qquad m\geq 1$

dan

$\psi ^{(0)}(z+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)z^{k}$

yang konvergen untuk $\left|z\right|<1$. Disini, $\zeta$ adalah fungsi zeta Riemann. Deret ini mudah diturunkan dari korespondensi deret Taylor untuk fungsi zeta Hurwitx. Deret ini dapat digunakan untuk menurunkan sebuah bilangan deret zeta rasional.

Ekspansi asimtotik

Deret tak konvergen ini bisa digunakan untuk mendapatkan sebuah nilai aproksimasi secepatnya dengan sebuah ketepatan numerik tertentu untuk argumen-argumen yang besarː

$\psi ^{(m)}(z)\sim (-1)^{m+1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+m-1)!}{k!}}{\frac {B_{k}}{z^{k+m}}}\qquad m\geq 1$

dan

$\psi ^{(0)}(z)\sim \ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}}{kz^{k}}}$

dimana kita memilih $B_{1}={\frac {1}{2}}$, yaitu bilangan Bernoulli dari jenis kedua.

Pertidaksamaan

Kotangen hiperbolik memenuhi pertidaksamaan

${\frac {t}{2}}\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}\geq 1$,

dan ini menyiratkan bahwa fungsi

${\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}-\left(t^{m-1}+{\frac {t^{m}}{2}}\right)$

adalah tak negatif untuk semua $m\geq 1$ dan $t\geq 0$. Ini mengikuti bahwa transformasi Laplace dari fungsi ini benar-benar monoton. Dengan representasi integral di atas, kita menyimpulkan bahwa

$(-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)-\left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\right)$

benar-benar monoton. Pertidaksamaan konveksitas $e^{t}\geq 1+t$ menyiratkan bahwa

$\left(t^{m-1}+t^{m}\right)-{\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}$

adalah tak negatif untuk semua $m\geq 1$ dan $t\geq 0$, sehingga argumen transformasi Laplace yang serupa menghasilkan monotonisitas

$\left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}\right)-(-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)$

yang lengkap.

Oleh karena itu, untuk semua $m\geq 1$, dan $x>0$,

${\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\leq (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)\leq {\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}$.

Lihat pula

• Faktorial
• Fungsi digamma
• Fungsi gamma
• Fungsi poligamma umum
• Fungsi trigamma

Referensi

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). "Section 6.4". Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.