Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Polygamma function di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan.
(Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)
berlaku dimana adalah fungsi digamma dan adalah fungsi gamma. Mereka holomorfik pada . Di semua bilangan bulat bukan positif, fungsi poligamma ini memiliki sebuah kutub urutan . Fungsi terkadang disebut fungsi trigamma.
Logaritma dari fungsi gamma dan beberapa fungsi poligamma pertama dalam bidang kompleks
Pengaturan pada rumus di atas tidak memberikan sebuah representasi integral dari fungsi digamma. Fungsi digamma memiliki sebuah representasi integral, karena Gauss, yang mirip dengan kasus di atas tapi yang memiliki sebuah istilah tambahan
yang – ditinjau untuk argumen bilangan bulat positif – mengarah ke sebuah presentasi dari jumlah kebalikan dari pangkat dari bilangan asliː
dan
untuk semua . Seperti fungsi log-gamma, fungsi poligamma bisa digeneralisasikan dari domain (lihat bilangan asli) tunggal ke bilangan real positif hanya karena relasi pengulanga mereka dan salah satunya diberikan fungsi-nilai, katakan , kecuali dalam kasus dimana kondisi tambahan dari monotonisitas yang ketat pada masih dibutuhkan. Ini adalah sebuah akibat trivial dari teorema Bohr–Mollerup untuk fungsi gamma dimana secara ketat konveksitas logaritmik pada dimnita tambahannya. Kasus harus diperlakukan berbeda karena tidak dapat dinormalisasi pada takhingga (jumlah dari timbal balik tidak konvergen).
yang berlaku untuk dan setiap kompleks tidak sama dengan bilangan bulat negatf. Representasi ini bisa ditulis lebih kompak dalam bentuk fungsi zeta Hurwitz sebagai
.
Sebagai kemungkinan lain, fungsi zeta Hurwitx bisa dipahami untuk menggeneralisasikan poligamma ke sebarang, urutan bilangan bulat.
Satu deret lagi dapat diperbolehkan untuk fungsi poligamma. Seperti yang diberikan oleh Schlömilch,
yang konvergen untuk . Disini, adalah fungsi zeta Riemann. Deret ini mudah diturunkan dari korespondensi deret Taylor untuk fungsi zeta Hurwitx. Deret ini dapat digunakan untuk menurunkan sebuah bilangan deret zeta rasional.
Deret tak konvergen ini bisa digunakan untuk mendapatkan sebuah nilai aproksimasi secepatnya dengan sebuah ketepatan numerik tertentu untuk argumen-argumen yang besarː
adalah tak negatif untuk semua dan . Ini mengikuti bahwa transformasi Laplace dari fungsi ini benar-benar monoton. Dengan representasi integral di atas, kita menyimpulkan bahwa
benar-benar monoton. Pertidaksamaan konveksitas menyiratkan bahwa
adalah tak negatif untuk semua dan , sehingga argumen transformasi Laplace yang serupa menghasilkan monotonisitas