Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil

Grafik mengenai fungsi bilangan bulat terbesar

Grafik mengenai fungsi bilangan bulat terkecil

Grafik mengenai fungsi bagian bilangan bulat.

Dalam matematika, khususnya di bidang teori bilangan dan ilmu komputer, suatu fungsi $f$ dikatakan fungsi atap (ceiling function), dinotasikan oleh $f(x)=\lceil x\rceil ={\text{ceil}}(x)$, adalah fungsi yang memetakan bilangan real $x$ ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan $x$. Sebagai contoh, nilai dari $\lceil 0,\!8\rceil =1$. Fungsi atap juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terkecil.

Sebaliknya, suatu fungsi $f$ dikatakan fungsi lantai (floor function), dinotasikan oleh $f(x)=\lfloor x\rfloor ={\text{floor}}(x)$, adalah fungsi yang memetakan bilangan real $x$ ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan $x$. Sebagai contoh, nilai dari $\lfloor 3,\!14\rfloor =3$. Fungsi lantai juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terbesar.

Galibnya, definisi pada fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil dapat ditulis sebagai

$\lfloor x\rfloor =\max\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\}$ dan $\lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}$.

Hubungan kedua fungsi di atas dapat diterapkan pada salah satu fungsi berikut, yaitu bagian bilangan bulat (Inggris: integer part), di mana bilangan real yang dipetakan ke fungsi tersebut sehingga menjadi bilangan bulat yang muncul sebelum bilangan desimal, dilambangkan $[x]$ atau terkadang dinotasikan sebagai $\operatorname {int} (x)$ dan dirumuskan sebagai

$[x]={\begin{cases}\lfloor x\rfloor ,&{\text{jika }}x\geq 0\\\lceil x\rceil ,&{\text{jika }}x<0\end{cases}}$.

Untuk memahami lebih lanjut, tinjau $\pi$ yang bernilai $3.1415926\dots$, maka $[\pi ]=3$. Hal yang serupa dengan bilangan bertandakan negatif, contohnya sederhananya, ${\textstyle \left[-{\frac {1}{2}}\right]=0}$.

Sifat dan identitas

Beberapa sifat yang terkandung dalam fungsi bilangan bulat besar dan fungsi bilangan bulat terkecil adalah sebagai berikut:

• $\lfloor x\rfloor \leq x\leq \lceil x\rceil$ untuk suatu $x$ bilangan real.
• $\lfloor x\rfloor =x$ dan $\lceil x\rceil =x$ jika dan hanya jika $x$ adalah bilangan bulat.
• $\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor =1$ jika $x$ adalah bilangan real dan $0$ bila $x$ bilangan bulat.
• Untuk suatu $n$ bilangan bulat, $\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n$.

Untuk sifat fungsi bagian bilangan bulat, antara lain

• $[-x]=-[x]$

Beberapa penulis mendefinisikan bagian bulat sebagai fungsi bilangan bulat terbesar, menggunakan notasi berikut:

• $\lfloor x\rfloor =\lceil x\rceil =[x]$ untuk $x$ adalah bilangan bulat.

Kalkulus

Turunan

Turunan fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil tidak terdiferensialkan bila $x$ adalah bilangan bulat. Bila $x$ bukanlah bilangan bulat, maka turunannya terdiferensialkan di mana-mana, yakni bernilai 0.

Integral

Dalam integral, fungsi bilangan bulat terbesar dapat dinyatakan sebagai

• $\int \lfloor x\rfloor \,\mathrm {d} x=x\lfloor x\rfloor$.

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil,

• $\int \lceil x\rceil \,\mathrm {d} x=x\lceil x\rceil$.

Representasi deret

Dalam representasi deret, fungsi bilangan bulat terbesar dirumuskan sebagai berikut:

• Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan

$\lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}$ asalkan $x$ bilangan real dan bukan bilangan bulat.

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil.

• Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan

$\lceil x\rceil =x+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}$ asalkan $x$ bilangan real dan bukan bilangan bulat.