Deret Taylor

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Seiring dengan meningkatya orde, polinomial Taylor mendekati fungsi yang dihampirinya. Gambar ini menunjukkan (in black) and hampiran Taylor, polinomial orde 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13.
Fungsi eksponensial (warna biru), dan jumlahan suku ke n+1 awal deret Taylornya di titik 0 and (warna merah).

Deret Taylor dalam matematika adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polinomial Taylor. Deret Taylor mendapat nama dari matematikawan Inggris Brook Taylor. Bila deret tersebut terpusat di titik nol, deret tersebut dinamakan sebagai deret Maclaurin, dari nama matematikawan Skotlandia Colin Maclaurin

Definisi[sunting | sunting sumber]

Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks f(x) yang terdiferensialkan takhingga dalam sebuah pemetaan sebuah bilangan riil atau kompleks a adalah deret pangkat

yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai

dengan n! melambangkan faktorial n dan f (n)(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n dari f pada titik a. Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri, dan (xa)0 dan 0! didefinisikan sebagai 1.

Dalam kasus khusus di mana a = 0, deret ini disebut juga sebagai Deret Maclaurin.

Kesalahan perkiraan dan konvergensi[sunting | sunting sumber]

Fungsi sinus (biru) sangat dekat dengan polinomial Taylor derajat 7 (merah muda) untuk periode penuh yang berpusat pada titik asal.
Polinomial Taylor untuk ln(1 + x) hanya memberikan perkiraan yang akurat dalam rentang tersebut −1 < x ≤ 1. Untuk x > 1, Polinomial Taylor dengan derajat yang lebih tinggi memberikan perkiraan yang lebih buruk.
Perkiraan Taylor untuk ln(1 + x) (black). Untuk x > 1, perkiraannya berbeda.

Gambar di sebelah kanan adalah perkiraan yang akurat dari sin x sekitar intinya x = 0. Kurva merah muda adalah polinomial derajat tujuh:

Kesalahan dalam perkiraan tersebut tidak lebih dari nilai Kesalahan ekspresi: Karakter tanda baca "'" tidak dikenal. 99!. Secara khusus, untuk nilai −1 < x < 1, kesalahannya kurang dari 0.000003.

Sebaliknya, ditampilkan juga gambar dari fungsi logaritma natural pada nilai ln(1 + x) dan beberapa polinomial Taylor di sekitar nilai a = 0. Perkiraan tersebut menyatu dengan fungsi dari −1 < x ≤ 1; di luar wilayah tersebut polinomial Taylor derajat yang lebih tinggi berada lebih buruk perkiraan untuk fungsi tersebut. Hal tersebut mirip dengan Fenomena anak tangga.[butuh rujukan]

Masalah yang terjadi saat mendekati fungsi dengan nilai n Pada Polinomial Taylor dari derajat disebut sisa atau residual dan dilambangkan dengan fungsinya Rn(x). Teorema Taylor dapat digunakan untuk mendapatkan batasan ukuran sisanya.

Secara umum, deret Taylor sama sekali tidak perlu menggunakan konvergen. Dan sebenarnya himpunan fungsi dengan deret Taylor konvergen adalah himpunan kecil di ruang Fréchet dari fungsi mulus. Dan bahkan jika deret Taylor memiliki fungsi f konvergen, batasnya secara umum tidak perlu sama dengan nilai fungsinya f (x). Misalnya Fungsi

Secara lebih umum, setiap urutan bilangan real atau kompleks dapat muncul sebagai koefisien dalam deret Taylor dari fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata, konsekuensi dari lemma Borel. Akibatnya, radius konvergensi deret Taylor bisa menjadi nilai nol. Bahkan ada fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata yang deret Taylor-nya memiliki radius konvergensi 0 di mana-mana.[1]


Generalisasi[sunting | sunting sumber]

Namun demikian, ada generalisasi[2][3] dari deret Taylor yang konvergen ke nilai fungsi itu sendiri untuk setiap terikat dari fungsi kontinu pada nilai (0,∞), menggunakan kalkulus beda hingga. Secara khusus, seseorang memiliki teorema berikut, karena Einar Hille, bahwa untuk apa saja t > 0,

Darimana nilai Δnh adalah n Pada operator perbedaan hingga dengan ukuran langkah h. Deret tersebut persis seperti deret Taylor, kecuali perbedaan yang terbagi muncul sebagai pengganti diferensiasi: deret ini secara formal mirip dengan deret Newton. Saat fungsinya f bersifat analitik di a, istilah dalam deret bertemu dengan istilah deret Taylor, dan dalam pengertian ini menggeneralisasi deret Taylor biasa.

Secara umum, untuk urutan tak terbatas apa pun ai, identitas deret pangkat berikut berlaku:

Jadi secara khusus,

Hukum jumlah besar menyiratkan bahwa identitas memegang.[4]

Daftar seri Maclaurin dari beberapa fungsi umum[sunting | sunting sumber]

Beberapa ekspansi penting seri Maclaurin menyusul.[5] Semua perluasan tersebut valid untuk argumen yang kompleks x.

Fungsi eksponensial[sunting | sunting sumber]

Fungsi eksponensial ex (berwarna biru), dan jumlah dari yang pertama n + 1 persyaratan seri Taylor-nya di 0 (merah).

Fungsi eksponensial pada (dengan basis e) memiliki deret Maclaurin

.

Hal tersebut menyatu untuk nilai x.

Logaritma natural[sunting | sunting sumber]

Logaritma natural (dengan basis e) memiliki deret Maclaurin

Deret geometris[sunting | sunting sumber]

Deret geometris dan turunannya memiliki deret Maclaurin

All are convergent for . These are special cases of the binomial series given in the next section.

Deret Binomial[sunting | sunting sumber]

Deret Binomial adalah deret pangkat

yang koefisiennya adalah koefisien binomial umum

(Jika n = 0, produk ini adalah produk kosong dan memiliki nilai 1.) Menyatu untuk bilangan real atau kompleks apa pun α.

Darimana nilai α = −1, ini pada dasarnya adalah deret geometri tak hingga yang disebutkan di bagian sebelumnya. Kasus khusus α = 12 dan α = −12 berikan fungsi akar kuadrat dan pembalikan:

Jika hanya suku linier yang dipertahankan, ini disederhanakan menjadi perkiraan binomial.

Perkiraan dalam fungsi[sunting | sunting sumber]

Fungsi trigonometri[sunting | sunting sumber]

Fungsi trigonometri biasa dan inversnya memiliki deret Maclaurin berikut:

Semua sudut diekspresikan dalam radian. Angka-angka Bk muncul dalam perluasan tan x adalah angka Bernoulli. Hal itu Ek dalam perluasan sec x adalah nomor Euler.

Fungsi hiperbolik[sunting | sunting sumber]

Fungsi hiperbolik memiliki deret Maclaurin yang terkait erat dengan deret untuk fungsi trigonometri yang sesuai:

Angka-angka Bk muncul di seri untuk tanh x adalah angka Bernoulli.

Deret Taylor sebagai definisi[sunting | sunting sumber]

Secara klasik, fungsi aljabar s didefinisikan oleh persamaan aljabar, dan fungsi transendental s (termasuk yang dibahas di atas) ditentukan oleh beberapa properti yang mendukungnya, seperti persamaan diferensial. Misalnya, fungsi eksponensial adalah fungsi yang sama dengan turunannya sendiri di mana-mana, dan mengasumsikan nilai 1 di asalnya. Namun, seseorang dapat mendefinisikan fungsi analitik dengan deret Taylor-nya.

Deret Taylor dalam beberapa variabel[sunting | sunting sumber]

Deret Taylor juga dapat digeneralisasikan ke fungsi lebih dari satu variabel dengan[6][7]

Dari contoh di atas, untuk suatu fungsi yang bergantung pada dua variabel, x dan y, seri Taylor ke urutan kedua tentang intinya (a, b) is

di mana subskrip menunjukkan masing-masing turunan parsial.

Ekspansi deret Taylor orde dua dari fungsi nilai skalar lebih dari satu variabel dapat ditulis secara kompak sebagai

Darimana D f (a) adalah gradien dari nilai f dievaluasi pada x = a dan D2 f (a) adalah matriks Hessian. Menerapkan notasi multi-indeks deret Taylor untuk beberapa variabel menjadi

yang harus dipahami sebagai versi multi-indeks yang masih lebih disingkat dari persamaan pertama paragraf ini, dengan analogi penuh untuk kasus variabel tunggal.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Pendekatan deret Taylor orde dua (berwarna oranye) dari suatu fungsi f (x,y) = ex ln(1 + y) di sekitar asalnya.

Untuk menghitung ekspansi deret Taylor orde dua di sekitar titik (a, b) = (0, 0) dari fungsi tersebut

yang pertama menghitung semua turunan parsial yang diperlukan:

Mengevaluasi turunan ini di asalnya akan menghasilkan koefisien Taylor

Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus umum

menghasilkan

Setelah ln(1 + y) bersifat analitik Kesalahan ekspresi: Karakter tanda baca "'" tidak dikenal. < 1, kita punya

Contoh[sunting | sunting sumber]

Deret Maclaurin untuk setiap polinomial adalah polinomial itu sendiri.

Deret Maclaurin untuk (1 − x)−1 merupakan deret geometri

maka deret Taylor untuk x−1 pada a = 1 adalah

Dengan melakukan integrasi deret Maclaurin di atas, dapat dihitung deret Maclaurin untuk log(1 − x), di mana log melambangkan logaritma natural:

dan deret Taylor yang bersangkutan untuk log(x) pada a = 1 adalah

dan lebih umum, deret Taylor yang bersangkutan untuk log(x) pada suatu a = x0 adalah:

Deret Taylor untuk fungsi eksponensial ex pada a = 0 adalah

Ekspansi di atas berlaku karena derivatif ex terhadap x juga adalah ex dan e0 sama dengan 1. Ini menyisakan elemen (x − 0)n pada numerator dan n! pada denominator untuk setiap elemen dalam jumlah tak terhingga.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Rudin, Walter (1980), Analisis Nyata dan Kompleks, New Dehli: McGraw-Hill, hlm. 418, Exercise 13, ISBN 0-07-099557-5 
  2. ^ Feller, William (1971), Pengantar teori probabilitas dan aplikasinya, Volume 2 (edisi ke-3rd), Wiley, hlm. 230–232 .
  3. ^ Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1957), Analisis fungsional dan semi-kelompok, Publikasi Kolokium AMS, 31, American Mathematical Society, hlm. 300–327 .
  4. ^ Feller, William (1970). Pengantar probabilitas theory dan aplikasinya. 2 (edisi ke-3). hlm. 231. 
  5. ^ Sebagian besar dapat ditemukan di (Abramowitz & Stegun 1970).
  6. ^ Lars Hörmander (1990), Analisis operator diferensial parsial, volume 1, Springer, Eqq. 1.1.7 and 1.1.7′ 
  7. ^ Duistermaat; Kolk (2010), Distribusi: Teori dan aplikasi, Birkhauser, ch. 6 

Pranala luar[sunting | sunting sumber]