Perpangkatan bilangan dua

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Ilustrasi perpangkatan bilangan dua, dimulai dari sampai dengan .

Perpangkatan bilangan dua, (atau perpangkatan angka dua, perpangkatan nilai dua) adalah bilangan dengan basis adalah 2 dan adalah bilangan bulat.

Ketika adalah bilangan bulat taknegatif[1] ― dengan kata lain, bilangan cacah ― maka perpangkatan bilangan dua merupakan bilangan basis 2 yang dikali sebanyak kali.

.

Tabel nilai[sunting | sunting sumber]

Tabel berikut merupakan nilai-nilai perpangkatan bilangan dua, untuk adalah bilangan bulat taknegatif, dimulai dari 0 sampai dengan 22.

Tabel perpangkatan bilangan dua[OEIS 1]
[nb 1]

Tabel berikut juga merupakan nilai-nilai bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua, untuk adalah bilangan bulat taknegatif, dimulai dari 0 sampai dengan 8.

Tabel bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua[OEIS 2]

Dalam aljabar[sunting | sunting sumber]

Diagram segitiga Pascal

Segitiga Pascal[sunting | sunting sumber]

Perpangkatan bilangan dua berkaitan dengan segitiga Pascal. Pada barisan pertama, jumlah bilangannya adalah yang sama saja dengan . Lalu dilanjutkan pada barisan kedua, jumlah bilangannya adalah . Ini terus berlanjut hingga memperoleh pola untuk , yaitu:

.[2]

Dalam teori bilangan[sunting | sunting sumber]

Sistem bilangan biner[sunting | sunting sumber]

Perpangkatan bilangan dua dapat dipakai dalam sistem bilangan biner[3], yakni sistem bilangan yang terdiri dari digit "0" dan "1". Contoh hubungan sistem bilangan biner dengan Perpangkatan bilangan dua dapat dilihat di tabel bawah ini.

Bilangan biner

Seperti yang dilihat, jumlah digit dalam bilangan biner bergantung pada nilai . Contohnya, dikonversikan menjadi dalam bilangan biner, dengan jumlah digit 0 adalah 1. dikonversikan menjadi , dengan jumlah digit 0 adalah 2. Hal ini terus berlanjut untuk bilangan bulat taknegatif.

Bilangan Mersenne[sunting | sunting sumber]

Perpangkatan bilangan dua dapat diterapkan pada bilangan Mersenne, dengan bentuk .[4] Jika (dimana bilangan prima), maka bilangan tersebut merupakan bilangan prima Mersenne, yakni .

Bilangan prima terbesar yang diketahui[sunting | sunting sumber]

Saat ini, bilangan prima terbesar yang diketahui ditemukan oleh Great Internet Mersenne Prime Search (atau diabreviasikan sebagai GIMPS) merupakan bilangan prima yang terdiri dari 24.862.048 digit[5], yakni .[6] Bilangan prima tersebut ditemukan pada September 2021.

Dalam teori himpunan[sunting | sunting sumber]

Pada gambar, terdapat tiga himpunan dengan anggota 1, 2, dan 3. Himpunan kuasanya adalah , , , , , , , , yang berjumlahkan delapan anggota. Ini dtuliskan sebagai .

Himpunan kuasa[sunting | sunting sumber]

Perpangkatan bilangan dua berkaitan dengan himpunan kuasa (dinotasikan ), yaitu himpunan yang anggotanya merupakan subhimpunan dengan banyak anggota himpunan kuasa sama dengan dua dipangkatkan dengan jumlah anggota .[7] Ini dituliskan secara matematis:

.

Hipotesis kontinum[sunting | sunting sumber]

Dalam teori himpunan, hipotesis kontinum merupakan hipotesis yang dinyatakan dalam sebuah persamaan bilangan alef.

.[8]

Kaitan dengan masalah yang belum terpecahkan[sunting | sunting sumber]

Misalkan

Barisan keirasionalan[sunting | sunting sumber]

Perpangkatan bilangan dua juga berkaitan dengan masalah yang belum terpecahkan. Contohnya, bilangan membentuk barisan keirasionalan, lihat tabel bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua. Maka, untuk setiap barisan bilangan bulat positif , deret

konvergen menuju bilangan irasional. Karena merupakan barisan dengan pertumbuhan tercepat, deret tersebut merupakan barisan keirasionalan dengan pertumbuhan terlambat yang diketahui.[9]

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan kaki dan rujukan[sunting | sunting sumber]

Catatan kaki[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Sudah pasti jelas bahwa suatu bilangan yang dipangkatkan 0 bernilai 1. Terkecuali untuk . Lihat Eksponensiasi#Eksponen nol

Rujukan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Lipschutz, Seymour (1982). Schaum's Outline of Theory and Problems of Essential Computer Mathematics. New York: McGraw-Hill. hlm. 3. ISBN 0-07-037990-4. 
  2. ^ "Content - Pascal's triangle – the observations". amsi.org.au. Diakses tanggal 2021-12-25. 
  3. ^ "Open Textbooks | Siyavula". intl.siyavula.com. Diakses tanggal 2021-12-25. 
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Mersenne Number". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-12-24. 
  5. ^ "Mersenne Prime Discovery - 2^82589933-1 is Prime!". www.mersenne.org. Diakses tanggal 2021-12-25. 
  6. ^ "51st Known Mersenne Prime Discovered". www.mersenne.org. Diakses tanggal 2021-12-25. 
  7. ^ "Himpunan Kuasa". maths.id. Diakses tanggal 25 Desember 2021. 
  8. ^ "Hipotesis kontinum | matematika". Hipotesis kontinum | matematika. 2020-10-12. Diakses tanggal 2021-12-25. 
  9. ^ Guy, Richard (2004-07-13). Unsolved Problems in Number Theory (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-20860-2. 

OEIS[sunting | sunting sumber]

  1. ^ (barisan A000079 pada OEIS)
  2. ^ (barisan A001146 pada OEIS)