Bilangan Fibonacci

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam matematika, bilangan Fibonacci adalah sebuah bilangan yang di mana setiap bilangannya adalah jumlah dari dari dua bilangan sebelumnya. Bilangan yang merupakan bagian dari bilangan Fibonacci dikenal sebagai deret Fibonacci, biasanya dilambangkan Fn . Bilangannya biasanya dimulai dari 0 dan 1, meskipun beberapa penulis memulai urutannya dari 1 dan 1 atau kadang-kadang (seperti yang dilakukan Fibonacci) dari 1 dan 2. Dimulai dari 0 dan 1, bilangannya dimulai

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ....[1]

Dalam matematika, bilangan Fibonacci adalah barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:

Barisan bilangan Fibonacci dapat dinyatakan sebagai berikut:

dengan

  • adalah bilangan Fibonacci ke-n
  • dan adalah penyelesaian persamaan

Perbandingan antara dengan hampir selalu sama untuk sebarang nilai n dan mulai nilai n tertentu, perbandingan ini nilainya tetap. Perbandingan itu disebut rasio emas yang nilainya mendekati 1,618.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Spiral Fibonacci: perkiraan spiral emas yang dibuat dengan menggambar busur lingkaran menghubungkan sudut-sudut kotak yang berlawanan pada petak Fibonacci (lihat gambar sebelumnya)

Bilangan Fibonacci dapat didefinisikan oleh relasi perulangan[2]

dan
untuk n > 1.

Berdasarkan beberapa definisi lama, nilai dihilangkan, jadi bilangan tersebut dimulai dengan dan perulangan valid untuk n > 2.[3][4]

20 bilangan Fn Fibonacci pertama adalah:[5]

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181

Asal mula[sunting | sunting sumber]

Pengaturan lantai dengan kotak berukuran bilangan Fibonacci

Berdasarkan buku The Art of Computer Programming karya Donald E. Knuth, barisan ini pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India, Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150, ketika menyelidiki berbagai kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam kantong.

Eropa[sunting | sunting sumber]

Sebuah halaman dari Liber AbaciFibonacci dari Biblioteka Nazionale di Firenze menunjukan (dalam kotak di kanan) 13 entri deret Fibonacci: indeks dari sekarang sampai XII (bulan) sebagai ordinal Latin dan angka romawi serta nomornya (pasangan kelinci) sebagai angka Hindu-Arab yang dimulai dengan 1, 2, 3, 5 dan diakhiri dengan 377.

Bilangan Fibonacci pertama kali muncul pada buku Liber Abaci (The Book of Calculation, 1202) oleh Fibonacci[6][7] yang di mana digunakan untuk menghitung pertumbuhan populasi kelinci.[8][9] Fibonacci mempertimbangkan pertumbuhan populasi kelinci yang ideal (secara biologis tidak realistis), berasumsi bahwa: seekor sepasang kelinci yang baru lahir diternakkan di ladang; setiap pasangan kawin pada umur satu bulan, dan pada akhir bulan kedua selalu menghasilkan sepasang kelinci lagi; dan kelinci tidak akan mati, tetapi terus berkembang biak selamanya. Fibonacci mengajukan teka-teki: berapa banyak pasangan yang akan ada dalam satu tahun?

  • Pada akhir di bulan pertama, mereka kawin, tapi masih ada 1 pasangan saja.
  • Pada akhir bulan kedua mereka menghasilkan pasangan baru, jadi ada 2 pasangan di lapangan.
  • Pada akhir bulan ketiga, pasangan awal menghasilkan pasangan kedua, tapi pasangan kedua hanya kawin selama sebulan, jadi totalnya ada 3 pasangan.
  • Pada akhir bulan keempat, pasangan asli telah menghasilkan pasangan baru lagi, dan pasangan yang lahir dua bulan lalu juga menghasilkan pasangan pertamanya, sehingga menjadi 5 pasangan.

Pada akhir bulan ke-n, jumlah pasang kelinci sama dengan jumlah pasangan dewasa (yaitu jumlah pasangan dalam bulan n – 2) ditambah jumlah dari pasangan yang hidup bulan lalu (bulan n – 1). Jumlah pada n-th bulan adalah bilangan Fibonacci ke-n.[10]

Nama "Deret Fibonacci" pertama kali digunakan oleh ahli teori bilangan abad ke-19 Édouard Lucas.[11]

Dalam populasi ideal yang terus bertambah, jumlah pasangan kelinci membentuk deret Fibonacci. Pada akhir bulan n-th, jumlah pasangannya sama dengan Fn.

Relasi terhadap rasio emas[sunting | sunting sumber]

Identifikasi[sunting | sunting sumber]

Rumus Binet memberikan bukti bahwa bilangan bulat positif x adalah sebuah bilangan Fibonacci jika dan hanya jika setidaknya salah satu dari atau adalah persegi sempurna.[12] Hal ini karena rumus Binet yang dapat dituliskan sebagai , dapat dikalikan dengan dan diselesaikan sebagai persamaan kuadrat di melalui rumus kuadrat:

Membandingkan ini dengan , itu mengikuti bahwa

Khususnya, sisi kiri adalah persegi sempurna.

Identitas lain[sunting | sunting sumber]

Banyak bentuk lain yang dapat diperoleh dengan menggunakan berbagai metode. Inilah beberapa di antaranya:[13]

Identitas Cassini dan Catalan[sunting | sunting sumber]

Identitas Cassini menyatakan bahwa

Identitas Catalan adalah generalisasi:

Identitas d'Ocagne[sunting | sunting sumber]

di mana Ln adalah bilangan ke-n dari bilangan Lucas. Yang terakhir adalah bentuk untuk penggandaan n; identitas lain dari jenis ini adalah
oleh bentuk Cassini.
Ini dapat ditemukan secara eksperimental menggunakan lattice reduction, dan berguna dalam menyiapkan special number field sieve ke bilangan Fibonacci terfaktorisasi.

Lebih umumnya,[13]

atau sebagai alternatif
Menempatkan k = 2 dalam rumus ini, kita mendapatkan lagi rumus akhir dari bagian atas Bentuk Matriks.

Referensi[sunting | sunting sumber]

Catatan kaki penjelas[sunting | sunting sumber]

Kutipan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Sloane, N.J.A. (ed.). "Sequence A000045 (Fibonacci numbers: F(n) = F(n-1) + F(n-2) with F(0) = 0 and F(1) = 1)". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
  2. ^ Lucas 1891, hlm. 3.
  3. ^ Beck & Geoghegan 2010.
  4. ^ Bóna 2011, hlm. 180.
  5. ^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama oeis
  6. ^ Sigler 2002, hlm. 404–405.
  7. ^ "Fibonacci's Liber Abaci (Book of Calculation)", The University of Utah, 13 December 2009, diakses tanggal 28 November 2018 
  8. ^ Hemenway, Priya (2005), Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science, New York: Sterling, hlm. 20–21, ISBN 1-4027-3522-7 
  9. ^ Knott, Ron (25 September 2016), "The Fibonacci Numbers and Golden section in Nature – 1", University of Surrey, diakses tanggal 27 November 2018 
  10. ^ Knott, Ron, Fibonacci's Rabbits, University of Surrey Faculty of Engineering and Physical Sciences 
  11. ^ Gardner, Martin (1996), Mathematical Circus, The Mathematical Association of America, hlm. 153, ISBN 978-0-88385-506-5, It is ironic that Leonardo, who made valuable contributions to mathematics, is remembered today mainly because a 19th-century French number theorist, Édouard Lucas... attached the name Fibonacci to a number sequence that appears in a trivial problem in Liber abaci 
  12. ^ Gessel, Ira (October 1972), "Fibonacci is a Square" (PDF), The Fibonacci Quarterly, 10 (4): 417–19, diakses tanggal April 11, 2012 
  13. ^ a b (Inggris) Weisstein, Eric W., "Fibonacci Number", MathWorld 

Kutipan ilmiah[sunting | sunting sumber]

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Pranala luar[sunting | sunting sumber]