Barisan dan deret aritmetika

Barisan dan deret hitung atau barisan dan deret aritmetika dalam bidang matematika adalah jenis barisan dan deret bilangan dan di mana bilangan berikutnya merupakan penambahan bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan beda tertentu. Contohnya adalah 3, 5, 7, 9, 11, 13, ..... Barisan aritmetika ini dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

$a,a+b,a+2b,a+3b,...$

Dalam hal ini suku ke-n:

$\ a_{n}=a+(n-1)b,$

Jumlah semua suku:

$S_{n}={\frac {n}{2}}(a+a_{n})={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b].$

Pembuktian

Suku ke-n (Barisan aritmetika)

$a_{1}=a$

$a_{2}=a+b$

$a_{3}=a+2b$

....

$a_{n}=a+(n-1)b$

Jadi, bentuk umum barisan aritmetika adalah $a,[a+b],[a+2b],...,[a+(n-1)b]$.

Jumlah suku ke-n (Deret aritmetika)

$s_{n}=a+a+b+a+2b+....+a+(n-1)b$ .... (1)

$s_{n}=a+(n-1)b+a+(n-2)b+a+(n-3)b+....+a+2b+a+b+a$ ... (2) dibalik dengan cara cermin

persamaan (1) ditambah (2) menjadi:

$s_{n}+s_{n}=2a+(n-1)b+2a+(n-1)b+....+2a+(n-1)b$ karena $2a+(n-1)b$ sama banyaknya menjadi jumlah $n$

$2s_{n}=n[2a+(n-1)b]$

$s_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b]$

Rumus umum

$a_{n}=a+(n-1)b$

$s_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b]$

$b=a_{n}-a_{n-1}$

$u_{t}={\frac {a+{a_{n}}}{2}}$

$n_{b}=n+(n-1)x$

$b_{b}={\frac {b}{x+1}}$

$a_{n}-a_{k}=(n-k)b$ untuk tingkat berderajat 1

Barisan dan deret aritmatika bertingkat

Cara 1

$A_{n}=A+{\frac {(n-1)}{1!}}B+{\frac {(n-2)(n-1)}{2!}}C+{\frac {(n-3)(n-2)(n-1)}{3!}}D+dst$

$S_{n}={\frac {n}{1!}}A+{\frac {n(n-1)}{2!}}B+{\frac {n(n-2)(n-1)}{3!}}C+{\frac {n(n-3)(n-2)(n-1)}{4!}}D+dst$

Cara 2

Jika bertingkat 2: $a_{n}=an^{2}+bn+c$

Jika bertingkat 3: $a_{n}=an^{3}+bn^{2}+cn+d$

dst

Lihat pula

• Barisan
• Deret (matematika)
• Barisan dan deret geometri

Referensi

• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. hlm. 259–260. ISBN 0-387-95419-8. 

Bacaan lebih lanjut

• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-505-X.  (Indonesia)
• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-568-8.  (Indonesia)

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Arithmetic series", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• (Inggris)

Weisstein, Eric W. "Arithmetic progression". MathWorld. 

• (Inggris)

Weisstein, Eric W. "Arithmetic series". MathWorld.