Barisan dan deret aritmetika

Barisan dan deret hitung atau barisan dan deret aritmetika dalam bidang matematika adalah jenis barisan dan deret bilangan dan di mana bilangan berikutnya merupakan penambahan bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan beda tertentu. Contohnya adalah 3, 5, 7, 9, 11, 13, ..... Barisan aritmetika ini dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

$a,a+b,a+2b,a+3b,...$

Dalam hal ini suku ke-n:

$\ a_{n}=a+(n-1)b,$

Jumlah semua suku:

$S_{n}={\frac {n}{2}}(a+a_{n})={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b].$

Pembuktian

Suku ke-n (Barisan aritmetika)

$a_{1}=a$

$a_{2}=a+b$

$a_{3}=a+2b$

....

$a_{n}=a+(n-1)b$

jadi barisan aritmetika adalah $a,[a+b],[a+2b],...,[a+(n-1)b]$

Jumlah suku ke-n (Deret aritmetika)

$s_{n}=a+a+b+a+2b+....+a+(n-1)b$ .... (1)

$s_{n}=a+(n-1)b+a+(n-2)b+a+(n-3)b+....+a+2b+a+b+a$ ... (2) dibalik dengan cara cermin

persamaan (1) ditambah (2) menjadi:

$s_{n}+s_{n}=2a+(n-1)b+2a+(n-1)b+....+2a+(n-1)b$ karena $2a+(n-1)b$ sama banyaknya menjadi jumlah $n$

$2s_{n}=n[2a+(n-1)b]$

$s_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b]$

Rumus umum

$a_{n}=a+(n-1)b$

$s_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b]$

$b=a_{n}-a_{n-1}$

$u_{t}={\frac {a+{a_{n}}}{2}}$

$n_{b}=n+(n-1)x$

$b_{b}={\frac {b}{x+1}}$

Jika terjadi beda bertingkat sebagai berikut

$A_{n}=A+{\frac {(n-1)}{1!}}B+{\frac {(n-2)(n-1)}{2!}}C+{\frac {(n-3)(n-2)(n-1)}{3!}}D+dst$

$S_{n}={\frac {n}{1!}}A+{\frac {n(n-1)}{2!}}B+{\frac {n(n-2)(n-1)}{3!}}C+{\frac {n(n-3)(n-2)(n-1)}{4!}}D+dst$

Lihat pula

• Barisan
• Deret (matematika)
• Barisan dan deret geometri

Referensi

• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. hlm. 259–260. ISBN 0-387-95419-8. 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Arithmetic series", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• (Inggris) Eric W. Weisstein, Arithmetic progression di MathWorld.
• (Inggris) Eric W. Weisstein, Arithmetic series di MathWorld.