Bilangan persegi

Bilangan kuadrat 16 dalam jumlah gnomon.

Dalam matematika, sebuah bilangan persegi atau kuadrat sempurna adalah sebuah bilangan bulat yang merupakan pangkat dua dari sebuah bilangan bulat; Dengan kata lain, bilangan persegi adalah perkalian dari suatu bilangan bulat dengan dirinya sendiri. Contohnya, 9 adalah sebuah bilangan persegi, karena sama dengan 3² dan dapat ditulis sebagai 3 × 3.

Notasi yang biasa digunakan untuk kuadrat dari sebuah bilangan n adalah bukan hasil kali n × n, tetapi ekuivalen dengan ekponensial n², yang biasanya diucapkan sebagai "n persegi (atau n dikuadratkan atau n pangkat 2)". Istilah persegi berasal dari nama bentuknya. Unit dari luas didefinisikan sebagai luas dari sebuah persegi satuan. Karenanya, sebuah persegi dengan panjang sisi n memiliki luas n². Jika sebuah bilangan persegi direpresentasikan oleh n titik, titik-titik tersebut dapat disusun dalam barisan sebagai sebuah persegi yang setiap sisinya memiliki jumlah titik yang sama dengan akar kuadrat dari n. Dengan demikian, bilangan persegi adalah jenis bilangan bergambar (contoh lainnya adalah bilangan kubus dan bilangan segitiga).

Dalam sistem bilangan riil, bilangan persegi adalah non-negatif. Sebuah bilangan bulat non-negatif adalah sebuah bilangan persegi jika akar kuadratnya adalah bilangan bulat. Sebagai contoh, ${\sqrt {9}}=3,$ sehingga 9 adalah bilangan persegi.

Sebuah bilangan bulat positif yang tidak memiliki pembagi persegi, kecuali 1 disebut sebagai bilangan bulat bebas kuadrat.

Untuk sebuah bilangan bulat non-negatif n, bilangan persegi ke-n adalah n², dengan 0² = 0 sebagai yang ke-nol. Konsep persegi atau kuadrat dapat diperluas ke beberapa sistem bilangan yang lain. Jika bilangan rasional dimasukkan, maka sebuah persegi atau kuadrat adalah rasio dua bilangan bulat persegi, dan, sebaliknya, rasio dua bilangan bulat persegi adalah persegi, misalnya, $\textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}$.

Dimulai dengan angka 1, terdapat $\lfloor {\sqrt {m}}\rfloor$ banyaknya bilangan persegi hingga dan termasuk m, di mana ekspresi $\lfloor x\rfloor$ merepresentasikan fungsi lantai dari bilangan x.

Contoh

Bilangan persegi (Barisan A000290 dalam OEIS) lebih kecil dari 60² = 3600:

0² = 0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

51² = 2601

52² = 2704

53² = 2809

54² = 2916

55² = 3025

56² = 3136

57² = 3249

58² = 3364

59² = 3481

Selisih antara suatu kuadrat sempurna dan kuadrat sempurna sebelumnya diberikan oleh identitas n² − (n − 1)² = 2n − 1. Ekivalen, mungkin untuk menghitung bilangan persegi dengan menambahkan kuadrat terakhir, akar kuadrat terakhir, dan akar saat ini, yaitu, n² = (n − 1)² + (n − 1) + n.

Sifat-sifat

Bilangan m adalah bilangan persegi jika dan hanya jika seseorang dapat menyusun m titik dalam sebuah persegi:

m = 12 = 1
m = 22 = 4
m = 32 = 9
m = 42 = 16
m = 52 = 25

Ekspresi untuk bilangan persegi ke-n adalah n². Ini juga sama dengan jumlah n angka ganjil pertama seperti yang dapat dilihat pada gambar di atas, di mana kuadrat dihasilkan dari kuadrat sebelumnya dengan menambahkan titik-titik bernilai ganjil (ditunjukkan dalam warna magenta). Rumusnya adalah sebagai berikut:

$$n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).$$

Contohnya, 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Jumlah dari n bilangan bulat ganjil pertama adalah n². 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n². Visualisasi animasi 3D dalam tetrahedron.

Terdapat beberapa metode rekursi untuk menghitung bilangan persegi. Contohnya, bilangan persegi ke-n dapat dihitung dari kuadrat sebelumnya dengan n² = (n − 1)² + (n − 1) + n = (n − 1)² + (2n − 1). Selain itu, bilangan persegi ke-n dapat dihitung dari dua angka sebelumnya dengan menggandakan kuadrat ke-(n − 1), mengurangkan kuadrat ke-(n − 2), dan menambahkan 2, karena n² = 2(n − 1)² − (n − 2)² + 2. Contoh,

2 × 5² − 4² + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6².

Bilangan persegi dikurangi satu dari sebuah bilangan m selalu merupakan hasil dari $m-1$ dan $m+1;$ sehingga,

$$m^{2}-1=(m-1)(m+1).$$

Contoh, karena 7² = 49, kita memiliki $6\times 8=48$. karena sebuah bilangan prima hanya memiliki faktor 1 dan dirinya sendiri, dan karena m = 2 adalah satu-satunya nilai m yang tidak nol yang memberikan faktor 1 di ruas kanan persamaan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa 3 adalah satu-satunya bilangan prima yang kurang dari sebuah bilangan persegi (3 = 2² − 1).

Secara umum, selisih kuadrat dari dua bilangan adalah hasil kali jumlah dan selisihnya. Artinya,

$$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$$

Ini adalah selisih dua bilangan kuadrat, yang dapat berguna untuk aritmatika mental. Contohnya, 47 × 53 dapat dengan mudah dihitung sebagai 50² − 3² = 2500 − 9 = 2491.

Suatu bilangan persegi juga merupakan jumlah dari dua bilangan segitiga yang berurutan. Jumlah dari dua bilangan persegi yang berurutan adalah bilangan persegi terpusat. Setiap bilangan persegi ganjil juga merupakan bilangan oktagonal terpusat.

Sifat lain dari bilangan persegi adalah (kecuali 0), bilangan ini memiliki jumlah pembagi positif ganjil, sedangkan bilangan asli lainnya memiliki jumlah pembagi positif genap. Akar bilangan bulat adalah satu-satunya pembagi yang berpasangan dengan dirinya sendiri untuk menghasilkan bilangan persegi, sedangkan pembagi lainnya berpasangan.

Teorema empat persegi Langrange menyatakan bahwa setiap bilangan bulat dapat ditulis sebagai jumlah dari empat atau kurang dari kuadrat sempurna. Tiga bilangan persegi tidak cukup untuk bilangan-bilangan yang memiliki bentuk 4^k(8m + 7). Sebuah bilangan bulat positif dapat direpresentaskan sebagai jumlah dari dua bilangan persegi tepat jika faktorisasinya mengandung pangkat ganjil dari bilangan prima yang memiliki bentuk 4k + 3. Ini diperluas dalam masalah Waring.

Dalam basis 10, sebuah bilanhan persegi hanya dapat diakhiri dengan digit angka 0, 1, 4, 5, 6 atau 9, sebagai berikut:

• jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, kuadratnya berakhiran 00;
• jika digit terakhir suatu bilangan adalah 1 atau 9, kuadratnya diakhiri dengan angka genap diikuti dengan angka 1;
• jika digit terakhir suatu bilangan adalah 2 atau 8, kuadratnya diakhiri dengan angka genap diikuti dengan angka 4;
• jika digit terakhir suatu bilangan adalah 3 atau 7, kuadratnya diakhiri dengan angka genap diikuti dengan angka 9;
• jika digit terakhir suatu bilangan adalah 4 atau 6, kuadratnya diakhiri dengan angka ganjil diikuti dengan angka 6; Dan
• jika digit terakhir suatu bilangan adalah 5, maka kuadratnya berakhiran 25.

Dalam basis 12, sebuah bilangan persegi hanya dapat diakhir dnegan digit kuadrat (seperti dalam basis 12, sebuah bilangan prima hanya dapat diakhir oleh digit prima atau 1), yaitu, 0, 1, 4 or 9, sebagai berikut:

• jika suatu bilangan habis dibagi 2 dan 3 (yaitu habis dibagi 6), kuadratnya berakhiran 0, dan digit sebelumnya harus 0 atau 3;
• jika suatu bilangan tidak habis dibagi 2 atau 3, kuadratnya diakhiri dengan 1, dan digit sebelumnya harus genap;
• jika suatu bilangan habis dibagi 2, tetapi tidak habis dibagi 3, kuadratnya berakhiran 4, dan digit sebelumnya harus 0, 1, 4, 5, 8, atau 9; dan
• jika suatu bilangan tidak habis dibagi 2, tetapi habis dibagi 3, maka kuadratnya berakhiran 9, dan digit sebelumnya harus 0 atau 6.

Aturan sejenis dapat diberikan untuk basis yang lain, selain yang telah disebutkan sebelumnya, atau untuk digit-digit sebelumnya (contohnya, digit puluhan, bukan digit satuan).. Semua aturan tersebut dapat dibuktikan dengan memeriksa sejumlah kasus dan menggunakan aritmatika modular .

Secara umum, jika bilangan prima p membagi bilangan kuadrat m maka kuadrat dari p juga harus membagi m ; jika p gagal membagi mp, maka m pasti bukan bilangan persegi. Dengan mengulangi pembagian pada kalimat sebelumnya, kita dapat menyimpulkan bahwa setiap bilangan prima harus membagi kuadrat sempurna yang diberikan sebanyak genap (termasuk mungkin 0 kali). Dengan demikian, bilangan m adalah bilangan kuadrat jika dan hanya jika, dalam representasi kanoniknyanya, semua eksponennya genap.

Uji kuadrat dapat digunakan sebagai cara alternatif dalam faktorisasi untuk bilangan besar. Daripada menguji keterbagian, ujilah kuadrat: untuk m dan bilangan tertentu k, jika k² − m adalah kuadrat suatu bilangan bulat n lalu k − n membagi m . (Ini adalah penerapan faktorisasi selisih dua kuadrat.) Misalnya, 100² − 9991 adalah kuadrat dari 3, jadi 100 − 3 membagi 9991. Tes ini bersifat deterministik untuk pembagi ganjil dalam rentang dari k − n hingga k + n dimana k mencakup beberapa rentang bilangan asli $k\geq {\sqrt {m}}.$

Bilangan persegi tidak mungkin merupakan bilangan sempurna .

Jumlah n bilangan persegi pertama adalah

$$\sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.$$

Nilai awal dari penjumlahan ini, bilangan piramida persegi, adalah:

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...

Bukti tanpa kata-kata untuk teorema jumlah bilangan ganjil

Jumlah bilangan bulat ganjil pertama yang dimulai dengan satu adalah kuadrat sempurna: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, dst. Hal ini menjelaskan hukum bilangan ganjil Galileo : jika suatu benda jatuh dari keadaan diam mencakup satu satuan jarak dalam selang waktu sembarang pertama, mencakup 3, 5, 7, dst., satuan jarak dalam selang waktu berikutnya yang panjangnya sama. Dari $s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}$, untuk u = 0 dan konstanta a (percepatan gravitasi tanpa hambatan udara); jadi s sebanding dengan t², dan jarak dari titik awal adalah kuadrat berurutan untuk nilai bilangan bulat waktu yang telah berlalu.

Jumlah n kubik pertama adalah kuadrat jumlah n bilangan bulat positif pertama; ini adalah teorema Nicomachus .

Semua pangkat empat, pangkat enam, pangkat delapan, dan seterusnya adalah kuadrat sempurna.

Hubungan unik dengan bilangan segitiga $T_{n}$ adalah:

$$(T_{n})^{2}+(T_{n+1})^{2}=T_{(n+1)^{2}}$$

Bilangan kuadrat ganjil dan genap

Kuadrat dari bilangan genap adalah bilangan genap dan habis dibagi 4, karena (2n)² = 4n² . Kuadrat bilangan ganjil adalah bilangan ganjil dan kongruen dengan 1 modulo 8, karena (2n + 1)² = 4n(n + 1) + 1, dan n(n + 1) selalu genap. Dengan kata lain, semua bilangan kuadrat ganjil mempunyai sisa 1 jika dibagi 8.

Setiap bilangan ganjil sempurna adalah bilangan oktagonal berpusat . Selisih dua bilangan ganjil sempurna adalah kelipatan 8. Selisih antara 1 dan kuadrat sempurna ganjil yang lebih tinggi selalu delapan kali suatu bilangan segitiga, sedangkan selisih antara 9 dan kuadrat sempurna ganjil yang lebih tinggi adalah delapan kali suatu bilangan segitiga dikurangi delapan. Karena semua bilangan segitiga mempunyai faktor ganjil, tetapi tidak ada dua nilai dari 2ⁿ yang berbeda dengan jumlah yang mengandung faktor ganjil, satu-satunya kuadrat sempurna berbentuk 2ⁿ − 1 adalah 1, dan satu-satunya kuadrat sempurna berbentuk 2ⁿ + 1 adalah 9.

Kasus khusus

• Jika suatu bilangan berbentuk m5 dimana m mewakili digit-digit sebelumnya, maka kuadratnya adalah n25 dimana n = m(m + 1) dan mewakili digit-digit sebelum 25. Misalnya, kuadrat dari 65 dapat dihitung dengan n = 6 × (6 + 1) = 42 sehingga kuadratnya sama dengan 4225.
• Jika bilangan tersebut berbentuk m0 dimana m melambangkan digit-digit sebelumnya, maka kuadratnya adalah n00 dimana n = m² . Misalnya kuadrat 70 adalah 4900.
• Jika suatu bilangan mempunyai dua digit dan berbentuk 5m dimana m melambangkan digit satuan, maka kuadratnya adalah aabb dengan aa = 25 + m dan bb = m² . Misalnya, untuk menghitung kuadrat dari 57, m = 7 dan 25 + 7 = 32 dan 7² = 49, jadi 57² = 3249 .
• Jika bilangan digitnya berakhiran 5, kuadratnya akan berakhiran 5; demikian pula untuk berakhiran 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625, dst. Jika bilangan berakhiran 6, maka kuadratnya berakhiran 6, begitu pula bilangan yang berakhiran 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376. Misalnya, kuadrat dari 55376 adalah 3066501376, keduanya berakhiran 376 . (Angka 5, 6, 25, 76, dst disebut bilangan automorfik. Merupakan barisan A003226 dalam OEIS . )
• Pada basis 10, dua digit terakhir bilangan kuadrat mengikuti pola berulang yang dicerminkan secara simetris di sekitar kelipatan 25. Pada contoh 24 dan 26, keduanya 1 turun dari 25, 24² = 576 dan 26² = 676, keduanya diakhiri dengan 76. Secara umum, ${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$ . Pola analogi berlaku untuk 3 digit terakhir di sekitar kelipatan 250, dan seterusnya. Akibatnya, dari 100 kemungkinan 2 digit terakhir, hanya 22 digit yang muncul di antara bilangan kuadrat (karena 00 dan 25 diulang).

Bacaan lanjutan

• Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30–32, 1996. ISBN 0-387-97993-XISBN 0-387-97993-X
• Kiran Parulekar. Amazing Properties of Squares and Their Calculations. Kiran Anil Parulekar, 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC