Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Grafik mengenai fungsi bilangan bulat terbesar
Grafik mengenai fungsi bilangan bulat terkecil
Grafik mengenai fungsi bagian bilangan bulat.

Dalam matematika, khususnya di bidang teori bilangan dan ilmu komputer, fungsi bilangan bulat terbesar (bahasa Inggris: greatest integer function) adalah suatu fungsi dimana ketika suatu bilangan real dipetakan, maka akan berupa bilangan bulat yang lebih kecil atau sama dengan bilangan yang dipetakan.[1] Sebagai contoh dan perumpamaan dalam fungsi bilangan bulat terbesar, . Dalam bagian contoh tersebut, fungsi bilangan bulat terbesar dapat dinotasikan sebagai [2][3], atau [4][3].

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil (bahasa Inggris: least integer function), yakni suatu fungsi dimana ketika suatu bilangan real dipetakan, maka akan berupa bilangan bulat yang lebih besar atau sama dengan bilangan yang dipetakan. Sebagai contoh dan perumpamaan dalam fungsi bilangan bulat terkecil, . Dalam bagian contoh tersebut juga, fungsi tersebut dinotasikan sebagai [5], atau .[6]

Galibnya, definisi pada fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil dapat ditulis sebagai

dan .[1]

Hubungan kedua fungsi di atas dapat diterapkan pada salah satu fungsi berikut, yaitu bagian bilangan bulat (bahasa Inggris: integer part), di mana bilangan real yang dipetakan ke fungsi tersebut sehingga menjadi bilangan bulat yang muncul sebelum bilangan desimal, dilambangkan atau terkadang dinotasikan sebagai [7] dan dirumuskan sebagai[8][7]

.

Untuk memahami lebih lanjut, tinjau yang bernilai , maka . Hal yang serupa dengan bilangan bertandakan negatif, contohnya sederhananya, .

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Sifat dan identitas[sunting | sunting sumber]

Beberapa sifat yang terkandung dalam fungsi bilangan bulat besar dan fungsi bilangan bulat terkecil adalah sebagai berikut:[9]

  • untuk suatu bilangan real.
  • dan jika dan hanya jika adalah bilangan bulat.
  • jika adalah bilangan real dan bila bilangan bulat.
  • Untuk suatu bilangan bulat, .

Untuk sifat fungsi bagian bilangan bulat, antara lain

Beberapa penulis mendefinisikan bagian bulat sebagai fungsi bilangan bulat terbesar, menggunakan notasi berikut:[10][11][12]

  • untuk adalah bilangan bulat.

Kalkulus[sunting | sunting sumber]

Turunan[sunting | sunting sumber]

Turunan fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil tidak terdiferensialkan bila adalah bilangan bulat. Bila bukanlah bilangan bulat, maka turunannya terdiferensialkan di mana-mana[13], yakni bernilai 0.

Integral[sunting | sunting sumber]

Dalam integral, fungsi bilangan bulat terbesar dapat dinyatakan sebagai

  • .[14]

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil,

  • .[15]

Representasi deret[sunting | sunting sumber]

Dalam representasi deret, fungsi bilangan bulat terbesar dirumuskan sebagai berikut:

  • Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan

asalkan bilangan real dan bukan bilangan bulat.[16]

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil.

  • Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan

asalkan bilangan real dan bukan bilangan bulat.[17]

Rujukan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ a b Professor Anita Wasilewska, Discrete Mathematics; Chapter 3, Integer functions.
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Floor Function". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14. 
  3. ^ a b "Mathwords: Floor Function". www.mathwords.com. Diakses tanggal 2021-11-14. 
  4. ^ Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1. hlm. 33. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Ceiling Function". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14. 
  6. ^ "Mathwords: Ceiling Function". www.mathwords.com. Diakses tanggal 2021-11-14. 
  7. ^ a b Weisstein, Eric W. "Integer Part". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-17. 
  8. ^ "integer part". planetmath.org. Diakses tanggal 2021-11-16. 
  9. ^ "Properties of Floors and Ceilings". www.bookofproofs.org. Diakses tanggal 2021-11-16. 
  10. ^ Luke Heaton, A Brief History of Mathematical Thought, 2015, ISBN 1472117158 (n.p.)
  11. ^ Albert A. Blank et al., Calculus: Differential Calculus, 1968, hlm. 259
  12. ^ John W. Warris, Horst Stocker, Handbook of mathematics and computational science, 1998, ISBN 0387947469, hlm. 151
  13. ^ "Differentiable". www.mathsisfun.com. Diakses tanggal 2021-11-24. 
  14. ^ "Floor function: Integration (subsection 21/01/01)". functions.wolfram.com. Diakses tanggal 2021-11-24. 
  15. ^ "Ceiling function: Integration (subsection 21/01/01)". functions.wolfram.com. Diakses tanggal 2021-11-24. 
  16. ^ "Floor function: Series representations (subsection 06/01)". functions.wolfram.com. Diakses tanggal 2021-11-26. 
  17. ^ "Ceiling function: Series representations". functions.wolfram.com. Diakses tanggal 2021-11-26.