Integral

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Integral tertentu suatu fungsi dapat digambarkan sebagai area yang dibatasi oleh kurva fungsinya.

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika. Integral dan inversnya, diferensiasi, adalah operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi, yaitu matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah .

Bila diberikan suatu fungsi f dari variabel real x dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, integral tertentu

didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y, serta garis vertikal x = a dan x = b dengan area yang berada di atas sumbu-x bernilai positif dan area di bawah sumbu-x bernilai negatif.

Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, ia disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai berikut.

Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melalui teorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], jika antiturunan F dari f diketahui, integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:

Integral dan diferensial menjadi peranan penting dalam kalkulus dengan berbagai macam aplikasi pada sains dan teknik.

Definisi formal[sunting | sunting sumber]

Ada beberapa cara untuk mendefinisikan integral.

Integral Riemann[sunting | sunting sumber]

Integral Riemann adalah konsep integral yang dasar. Definisi itu mudah dan berguna khususnya untuk fungsi-fungsi yang kontinu atau kontinu 'titik demi titik'.

Integral Lebesgue[sunting | sunting sumber]

Integral Lebesgue merupakan suatu perumuman dari integral Riemann.

Mencari nilai integral[sunting | sunting sumber]

Substitusi[sunting | sunting sumber]

Berikut contoh penyelesaian secara substitusi.

Dengan menggunakan rumus di atas,

Integrasi parsial[sunting | sunting sumber]

Cara 1: Rumus[sunting | sunting sumber]

Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut.

Berikut contoh penyelesaian secara parsial dengan rumus.

Dengan menggunakan rumus di atas,

Cara 2: Tabel[sunting | sunting sumber]

Untuk , berlaku ketentuan sebagai berikut.

Tanda Turunan Integral
+
-
+

Berikut contoh penyelesaian secara parsial dengan tabel.

Tanda Turunan Integral
+
-
+

Dengan tabel di atas,

Substitusi trigonometri[sunting | sunting sumber]

Bentuk Trigonometri

Berikut contoh penyelesaian secara substitusi trigonometri.

Dengan substitusi di atas,

Substitusi berikut dapat dibuat.

Dengan substitusi di atas,

Ingat bahwa berlaku.

Integrasi pecahan parsial[sunting | sunting sumber]

Berikut contoh penyelesaian secara parsial untuk persamaan pecahan (rasional).

Pertama, pisahkan pecahan tersebut.

Kita tahu bahwa dan dapat diselesaikan, yaitu dan .

Rumus integrasi dasar[sunting | sunting sumber]

Umum[sunting | sunting sumber]

Eksponen dan bilangan natural[sunting | sunting sumber]

Logaritma dan bilangan natural[sunting | sunting sumber]

Trigonometri[sunting | sunting sumber]

Inversi

Hiperbolik[sunting | sunting sumber]

Panjang busur[sunting | sunting sumber]

Sumbu x
Sumbu y

Luas daerah[sunting | sunting sumber]

Satu kurva[sunting | sunting sumber]

Sumbu x
Sumbu y

Dua kurva[sunting | sunting sumber]

Sumbu x
Sumbu y
atau juga

Luas permukaan benda putar[sunting | sunting sumber]

Sumbu x sebagai poros

dengan

Sumbu y sebagai poros

dengan

Volume benda putar[sunting | sunting sumber]

Satu kurva[sunting | sunting sumber]

Sumbu x sebagai poros
Sumbu y sebagai poros

Dua kurva[sunting | sunting sumber]

Sumbu x sebagai poros
Sumbu y sebagai poros

Contoh[sunting | sunting sumber]

  • Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis dan batas-batas sumbu y dengan cara integral!
  • Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis dan batas-batas sumbu y dengan cara integral!
  • Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis dan batas-batas sumbu y dengan cara integral!
  • Buktikan luas persegi panjang dengan cara integral!
Dengan posisi dan titik (p, l),
  • Buktikan luas segitiga dengan cara integral!
Dengan posisi dan titik (a, t),
  • Buktikan volume tabung dengan cara integral!
Dengan posisi dan titik (t, r),
  • Buktikan volume kerucut dengan cara integral!
Dengan posisi dan titik (t, r),
  • Buktikan volume bola dengan cara integral!
Dengan posisi serta titik (-r, 0) dan (r, 0),
  • Buktikan keliling lingkaran dengan cara integral!
Dengan posisi serta titik (-r, 0) dan (r, 0),
Kita tahu bahwa turunannya adalah
sehingga
  • Buktikan luas lingkaran dengan cara integral!
Dengan posisi serta titik (-r, 0) dan (r, 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu.
Dengan turunan di atas,
  • Buktikan luas elips dengan cara integral!
Dengan posisi serta (-a, 0) dan (a, 0),
Dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-a, 0) dan (a, 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips,

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Pranala luar[sunting | sunting sumber]