Teorema Stokes

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam kalkulus vektor, dan lebih umum lagi geometri diferensial, Teorema Stokes (terkadang dieja Teorema Stokes, dan juga disebut teorema Stokes umum atau Teorema Stokes–Cartan[1]) adalah pernyataan tentang integrasi dari bentuk diferensial pada manifold, yang menyederhanakan dan menggeneralisasi beberapa teorema dari kalkulus vektor. Teorema Stokes mengatakan bahwa integral dari suatu bentuk diferensial ω di atas batas dari beberapa berorientasi lipatan Ω sama dengan integral turunan eksterior di seluruh Ω, yaitu:

Teorema Stokes 'dirumuskan dalam bentuk modern oleh Élie Cartan pada tahun 1945,[2] mengikuti pekerjaan sebelumnya pada generalisasi teorema kalkulus vektor oleh Vito Volterra, Édouard Goursat, dan Henri Poincaré.[3][4]

Bentuk modern dari teorema Stokes 'ini adalah generalisasi luas dari hasil klasik yang ditentukan oleh Lord Kelvin dikomunikasikan kepada George Stokes dalam surat tertanggal 2 Juli 1850.[5][6][7] Stokes set the theorem as a question on the 1854 Smith's Prize exam, which led to the result bearing his name. It was first published by Hermann Hankel in 1861.[7][8] Kelvin–Stokes teorema klasik tersebut menghubungkan integral permukaan dari curl dari bidang vektor F di atas permukaan (yaitu, fluks dari curl F) di Euclidean tiga ruang ke integral garis dari bidang vektor di atas batasnya (juga dikenal sebagai integral loop).

Contoh analisis vektor klasik sederhana

Mari γ: [a, b] → R2 menjadi sedikit demi sedikit mulus kurva bidang Jordan. Teorema kurva Yordania menyiratkan hal itu γ membagi R2 menjadi dua komponen, satu kompak satu sama lain yang tidak kompak. Membiarkan D menunjukkan bagian kompak yang dibatasi oleh γ dan misalkan ψ: DR3 halus, dengan S := ψ(D). Jika Γ adalah kurva spasi yang ditentukan oleh Γ(t) = ψ(γ(t))[note 1] dan F adalah bidang vektor mulus pada R3, kemudian:[9][10][11]

Pernyataan klasik ini, bersama dengan teorema divergensi klasik, teorema dasar kalkulus, dan Teorema Green hanyalah kasus-kasus khusus dari rumusan umum yang dinyatakan sebagai.

pengantar[sunting | sunting sumber]

Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa integral dari suatu fungsi f selama interval [a, b] dapat dihitung dengan mencari antiturunan F of f:

Teorema Stokes adalah generalisasi yang luas dari teorema ini dalam pengertian. Jadi, sama seperti seseorang dapat menemukan nilai integral (fdx = dF) di atas manifold 1 dimensi ([a, b]) dengan mempertimbangkan anti turunan (F) di batas 0-dimensi ({a, b}), seseorang dapat menggeneralisasi teorema dasar kalkulus, dengan beberapa peringatan tambahan, untuk menangani nilai integral () di atas n-manifold dimensional (Ω) dengan mempertimbangkan antiturunan (ω) pada (n − 1)-batas dimensi (∂Ω) dari manifold tersebut.

Jadi teorema fundamental berbunyi:

Formulasi untuk lipatan halus dengan batas[sunting | sunting sumber]

Jadi Ω menjadi berorientasi lipatan halus dengan batas dimensi n dan biarkan α jadi polos n-bentuk diferensial yaitu didukung secara kompak aktif Ω. Pertama, anggap saja α didukung secara kompak dalam domain tunggal, berorientasi diagram koordinat {U, φ}. Dalam kasus ini, kami mendefinisikan integral dari α atas Ω sebagai

yaitu, melalui pullback dari α ke Rn.

Secara umum, integral dari α di atas Ω didefinisikan sebagai berikut: biar {ψi} menjadi partisi kesatuan terkait dengan terbatas lokal sampul {Ui, φi} dari bagan koordinat (berorientasi konsisten), lalu tentukan integralnya

di mana setiap suku dalam penjumlahan dievaluasi dengan menarik kembali ke Rn seperti dijelaskan di atas. Kuantitas ini didefinisikan dengan baik; artinya, ini tidak bergantung pada pilihan bagan koordinat, atau pembagian kesatuan.

Teorema Stokes tergeneralisasi berbunyi:

Teorema. (Stokes–Cartan) Jika adalah halus -bentuk dengan dukungan ringkas pada -dimensi halus berjenis-dengan-batas , menunjukkan batas dari given the induced orientation, and is the inclusion map, then
.


Secara konvensional, disingkat sebagai , karena kemunduran bentuk diferensial oleh peta inklusi hanyalah pembatasannya pada domainnya: . Saat adalah turunan eksterior, yang didefinisikan hanya dengan menggunakan struktur manifold. Sisi kanan terkadang ditulis sebagai untuk menekankan fakta bahwa -manifold tidak memiliki batasan.[Catatan penting 1] (Fakta ini juga merupakan implikasi dari teorema Stokes, karena untuk kelancaran tertentu -berjenis dimensi , penerapan teorema dua kali memberi untuk apapun -bentuk , yang menyiratkan itu .) Ruas kanan persamaan sering digunakan untuk merumuskan hukum integral; sisi kiri kemudian mengarah ke formulasi diferensial ekivalen (lihat di bawah).

The theorem is often used in situations where is an embedded oriented submanifold of some bigger manifold, often , on which the form is defined.

Pendahuluan topologi; integral melalui rantai[sunting | sunting sumber]

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan kaki[sunting | sunting sumber]

  1. ^ γ dan Γ keduanya adalah loop, Γ belum tentu merupakan kurva Yordania

Catatan penting[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Bagi matematikawan fakta ini diketahui, oleh karena itu lingkaran itu berlebihan dan sering dihilangkan. Namun, orang harus ingat di sini bahwa di termodinamika, di mana sering diekspresikan sebagai W {dtotalU} muncul (di mana turunan total, lihat di bawah, jangan bingung dengan yang eksterior), jalur integral W adalah garis tertutup satu dimensi pada lipatan berdimensi jauh lebih tinggi. Artinya, dalam aplikasi termodinamika, di mana U adalah fungsi dari suhu α1 := T, volume α2 := V, dan polarisasi listrik α3 := P dari sampel, seseorang memiliki
    dan lingkaran sangat diperlukan, mis. jika seseorang mempertimbangkan konsekuensi diferensial dari postulat integral

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Fisika Collisional Plasmas - Pengantar | Michel Moisan | Springer (dalam bahasa Inggris). 
  2. ^ Cartan, Élie (1945). Les Systèmes Différentiels Extérieurs et leurs Applications Géométriques. Paris: Hermann. 
  3. ^ Katz, Victor J. (1979-01-01). "Sejarah Teorema Stokes". Mathematics Magazine. 52 (3): 146–156. doi:10.2307/2690275. JSTOR 2690275. 
  4. ^ Katz, Victor J. (1999). "5. Bentuk Diferensial". Dalam James, I. M. Sejarah Topologi. Amsterdam: Elsevier. hlm. 111–122. ISBN 9780444823755. 
  5. ^ Lihat:
  6. ^ Darrigol, Olivier (2000). Elektrodinamika dari Ampère ke Einstein. Oxford, England. hlm. 146. ISBN 0198505930. 
  7. ^ a b Spivak (1965), p. vii, Preface.
  8. ^ See:
  9. ^ Stewart, James (2010). Kalkulus Esensial: Transendental Awal. Cole. 
  10. ^ Bukti ini berdasarkan Catatan Kuliah yang diberikan oleh Prof. Robert Scheichl (University of Bath, Inggris) [1], please refer the [2]
  11. ^ This proof is also same to the proof shown in

Bacaan lebih lanjut[sunting | sunting sumber]

Tautan luar[sunting | sunting sumber]