Integral tak tentu

Antiderivatif

Integral tak tentu atau antiturunan atau antiderivatif (bahasa Inggris: "indefinite integral" atau "antiderivative") adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut "integral tak tentu".

Bila fungsi F adalah integral tak tentu dari suatu fungsi f maka berlaku F'= f.

Proses untuk memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi. Antiderivatif yang terkait dengan pasti integral melalui "Teorema dasar kalkulus", dan memberikan cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.

Tabel integral

Artikel utama: Tabel integral

$\int 1\,\,{\rm {d}}x=x+C$

$\int x^{n}\ \,{\rm {d}}x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ jika }}n\neq -1$

$\int {1 \over x}\,{\rm {d}}x=\ln {\left|x\right|}+C$

$\int {1 \over {a^{2}+x^{2}}}\,{\rm {d}}x={1 \over a}\arctan {x \over a}+C$

Contoh

Contoh 1

Temukan antiturunan dari nilai $56x^{55}$.

Dengan turunan dari nilai $x^{56}$ adalah $56x^{56-1}=56x^{55}$ dan antiturunan dari $56x^{55}$ akan menjadi $x^{56}$.

Dengan ini dapat mengevaluasi polinomial menggunakan integrasi normal:

$\int 56x^{55}\,dx=56\int x^{55}dx={\frac {56}{55+1}}x^{55+1}+C=x^{56}+C,$

Contoh 2

Temukan antiturunan dari nilai ${\frac {3}{\sqrt {x}}}+{\frac {1}{2}}\sin x.$

Dengan cara ini turunan dari $2{\sqrt {x}}$ adalah ${\frac {1}{\sqrt {x}}}$, yaitu

$\displaystyle \int {\dfrac {3}{\sqrt {x}}}\,dx=3\times {\big (}2{\sqrt {x}}{\big )}+C=6{\sqrt {x}}+C$

dimana C adalah konstanta integral.

Dengan cara ini bahwa turunan dari $-{\frac {1}{2}}\cos x$ adalah ${\frac {1}{2}}\sin x$, yaitu,

$\int \left({\dfrac {3}{\sqrt {x}}}+{\dfrac {1}{2}}\sin x\right)dx=6{\sqrt {x}}-{\dfrac {1}{2}}\cos x+C$

Penggunaan

Artikel utama: Teorema dasar kalkulus

Penentuan integral tentu. Bila fungsi F adalah integral tak tentu dari suatu fungsi f dan F'= f :

$\int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x=F(b)-F(a)$

Pustaka

• Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also)
• Historical Essay On Continuity Of Derivatives, by Dave L. Renfro; http://groups.google.com/group/sci.math/msg/814be41b1ea8c024

Lihat pula

• Integral
• Garis Singgung ke Kurva
• Turunan dengan Prinsip Pertama
• Turunan dari Polinomial
• Derivatif Fungsi Rasional
• Turunan dari Fungsi Eksponensial
• Turunan dari Fungsi Logaritmik
• Turunan dari Fungsi Trigonometri