Integrasi kulit

Volume benda yang diaproksimasi dengan kumpulan silinder-silinder berongga. Semakin tipis dinding silinder, maka pendekatan volume semakin halus.

Integrasi kulit, atau metode kulit dalam kalkulus integral adalah sebuah metode untuk menghitung volume benda putar, ketika mengintegrasi di sepanjang sebuah sumbu yang tegak lurus dengan sumbu putar. Cari ini merupakan kebalikan dengan integrasi cakram, metode yang mengintegrasikan di sepanjang sumbu yang sejajar dengan sumbu putar.

Definisi

Definisi metode kulit ini mengatakan sebagai berikut: Tinjaulah volume dalam tiga dimensi diperoleh dengan memutar sebuah tampang lintang dalam bidang-$xy$ di sekitar sumbu-$y$. Misalkan tampang lintang didefinisikan dengan grafik dari fungsi positif $f(x)$ pada selang $[a,b]$. Maka rumus untuk volume adalah:

$2\pi \int _{a}^{b}xf(x)\,\mathrm {d} x$

Jika fungsi tersebut dari koordinat $y$ dan sumbu rotasi merupakan sumbu $x$, maka rumus tersebut menjadi:

$2\pi \int _{a}^{b}yf(y)\,\mathrm {d} y$

Jika fungsi tersebut berputar di sekitar garis $x=h$, maka rumus tersebut menjadi:

${\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(x-h)f(x)\,\mathrm {d} x,&{\text{jika}}\ h\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(h-x)f(x)\,\mathrm {d} x,&{\text{jika}}\ a<b\leq h\end{cases}}$

dan untuk rotasi di sekitar $y=k$ akan menjadi

${\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(y-k)f(y)\,\mathrm {d} y,&{\text{jika}}\ k\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(k-y)f(y)\,\mathrm {d} y,&{\text{jika}}\ a<b\leq k\end{cases}}$

Rumus tersebut diturunkan dengan menghitung integral ganda dalam koordinat polar.

Contoh

Pada gambar, tinjaulah volume benda yang tampang lintang pada selang $[1,2]$ didefinisikan dengan

$y=(x-1)^{2}(x-2)^{2}$

Tampang lintang

Volume 3D

Dalam kasus integrasi cakram, kita harus selesaikan untuk $x$ yang diberikan $y$ dan karena volume tersebut ada rongga di tengahnya, kita akan mencari dua fungsi: fungsi yang pertama didefinisikan di ruang dalam, dan fungsi yang satu lagi didefinisikan di ruang luar. Setelah mengintegrasikan kedua fungsi ini dengan metode cakram, kita akan menguranginya sehingga menghasilkan volume yang diinginkan.

Dengan metode kulit, yang kita perlu adalah menggunakan rumus berikut:

$2\pi \int _{1}^{2}x((x-1)^{2}(x-2)^{2})\,\mathrm {d} x$

Dengan memperluas polinomial, maka bentuk pada integral di atas tampak lebih sederhana. Setelah menghitungnya, kita mendapatkan bahwa volume tersebut adalah $\textstyle {\frac {\pi }{10}}$ satuan kubik.

Lihat pula

• Benda putar
• Integrasi cakram

Referensi

• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Method of Shells". MathWorld. 
• Frank Ayres, Elliott Mendelson. Schaum's Outlines: Calculus. McGraw-Hill Professional 2008, ISBN 978-0-07-150861-2. pp. 244–248 (online copy, hlm. 244, di Google Books

• "The Shell Method" di Avidemia.com