Bukti bahwa 22/7 melebihi π

Hasil pembuktian matematis mengenai nilai bilangan rasional ${\dfrac {22}{7}}$ lebih dari $\pi$ (pi) telah ada sejak dahulu. Salah satu pembuktiannya, baru-baru ini dikembangkan namun hanya memerlukan teknik dasar dari kalkulus, berhasil menarik perhatian matematika modern karena keindahan dan koneksinya dengan teori Hampiran Diophantus. Stephen Lucas menyebut bukti ini sebagai "salah satu hasil menawan yang berkaitan dengan hampiran $\pi$". Julian Havil mengakhiri diskusi mengenai penghampiran pecahan berlanjut dari $\pi$ dengan hasil ini, menyebutnya sebagai "hal yang mustahil untuk tidak disinggung" pada konteks tersebut.

Tujuan dari pembuktian ini bukanlah untuk meyakinkan pembaca kalau nilai ${\dfrac {22}{7}}$ (atau $3\,{\dfrac {1}{7}}$) lebih dari $\pi$; terdapat berbagai metode sistematis untuk menghitung nilai dari $\pi$. Jika seseorang mengetahui kalau $\pi$ memiliki nilai sekitar $3.14159$, maka secara trivial, dapat disimpulkan kalau $\pi <{\dfrac {22}{7}}$, yakni sekitar $3.142857$. Dengan menggunakan metode pada pembuktian ini, menunjukkan $\pi <{\dfrac {22}{7}}$ jauh lebih mudah dibandingkan menunjukkan nilai $\pi$ itu sekitar $3.14159$.

Latar Belakang

Nilai ${\dfrac {22}{7}}$ adalah hampiran Diophantus dari $\pi$ yang banyak digunakan. Bilangan tersebut bernilai lebih dari $\pi$, yang dapat dilihat dari representasi desimal dari kedua nilai tersebut:

${\begin{aligned}{\frac {22}{7}}&=3.{\overline {142\,857}}\\\pi &=3.141\,592\,65\ldots \end{aligned}}$

Nilai hampiran tersebut telah diketahui sejak lama. Archimedes menjadi orang pertama yang menulis bukti mengenai nilai bilangan ${\dfrac {22}{7}}$ melebihi $\pi$ pada abad ke-3 SM, walaupun mungkin saja Archimedes bukanlah yang pertama menggunakan hampiran tersebut. Alur pembuktiannya adalah dengan menunjukkan bahwa ${\dfrac {22}{7}}$ lebih dari rasio dari keliling segi-96 beraturan terhadap diameter lingkaran yang dilingkupinya.

Pembuktian

Pembuktiannya dapat dijabarkan secara singkat sebagai berikut:

$0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\text{d}}x={\frac {22}{7}}-\pi$

Sehingga, diperoleh $0<{\dfrac {22}{7}}-\pi$ atau $\pi <{\dfrac {22}{7}}$.

Integral ini merupakan soal pertama pada Kompetisi Putnam tahun 1968.

Soal ini lebih mudah daripada soal kompetisi Putnam pada umumnya; kompetisi ini seringkali memberikan soal yang terlihat rumit, yang ternyata merujuk kepada sesuatu yang sangat akrab. Integral ini juga telah digunakan dalam ujian masuk Institut Teknologi India.

Detail Pengerjaan Integral

Hasil integral yang positif datang dari nilai integran yang non-negatif; bagian penyebutnya positif dan pembilangnya adalah hasil kali bilangan non-negatif. Dapat dengan mudah ditunjukkan kalau terdapat setidaknya satu titik pada interval integrasi yang nilai integrannya positif, misalnya ${\dfrac {1}{2}}$. Oleh karena integrannya kontinuu pada titik tersebut dan nilai integrannya non-negatif pada titik lainnya, maka hasil integral dari 0 sampai 1 haruslah positif.

Yang tersisa adalah menunjukkan nilai integralnya sama dengan ${\dfrac {22}{7}}-\pi$

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\text{d}}x&=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,{\text{d}}x&{\text{Hasil penjabaran suku-suku pada pembilang}}\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\,{\text{d}}x&{\text{Pembagian polinomial dengan cara bersusun}}&\\[8pt]&=\left.\left({\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\right)\,\right|_{0}^{1}&{\text{Teorema dasar kalkulus}}\\[6pt]&={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi &{\text{Ingat bahwa }}\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}{\text{ dan }}\arctan(0)=0\\[8pt]&={\frac {22}{7}}-\pi &{\text{Penjumlahan}}\end{aligned}}$

(lihat Pembagian polinomial dengan cara bersusun dan Teorema dasar kalkulus)

Estimasi Batas Atas dan Batas Bawah

Mengacu pada (Dalzell 1944), jika nilai $x$ pada penyebut diganti dengan $1$, maka akan diperoleh batas bawah dari integral tersebut, dan jika nilai $x$ pada penyebut diganti dengan $0$, maka akan diperoleh batas atas dari integralnya. Perhatikan bahwa

$\int _{0}^{1}x^{4}\left(1-x\right)^{4}\,{\text{d}}x={\dfrac {1}{630}}\qquad {\text{dan}}\qquad \int _{0}^{1}{\dfrac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{2}}\,{\text{d}}x={\dfrac {1}{1260}}$

Sehingga,

${\begin{matrix}{\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{2}}\,{\text{d}}x}&<&{\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\text{d}}x}&<&{\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1}}\,{\text{d}}x}\\{\dfrac {1}{1260}}&<&{\dfrac {22}{7}}-\pi &<&{\dfrac {1}{630}}\\-{\dfrac {1}{630}}&<&\pi -{\dfrac {22}{7}}&<&-{\dfrac {1}{1260}}\\{\dfrac {22}{7}}-{\dfrac {1}{630}}&<&\pi &<&{\dfrac {22}{7}}-{\dfrac {1}{1260}}\end{matrix}}$

yang berarti $3.1412<\pi <3.1421$ dalam representasi desimal. Batas tersebut menyimpang kurang dari $0.015\%$ from $\pi$. Lihat juga (Dalzell 1971).

Bukti kalau 355/113 melebihi $\pi$

Seperti yang telah dibahas pada (Lucas 2005), hampiran Diophantus ${\dfrac {355}{113}}$ yang terkenal dan estimasi atas yang lebih baik untuk $\pi$ dapat diperoleh dari

$0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{3164\left(1+x^{2}\right)}}\,dx={\frac {355}{113}}-\pi$

${\frac {355}{113}}=3.141\,592\,92\ldots$

dimana enam digit pertama setelah tanda koma serasi dengan enam digit pertama dari $\pi$. Jika nilai $x$ pada penyebut diganti dengan $0$, maka akan diperoleh batas atas dari integral tersebut, yaitu

$\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{3164}}\,dx={\frac {911}{2\,630\,555\,928}}\approx 0.000\,000\,173\ldots$

Substitusikan nilai $1$ pada variabel $x$ di bagian penyebut, maka diperoleh setengah dari nilai ini sebagai batas bawahnya, sehingga

${\frac {355}{113}}-{\frac {911}{2\,630\,555\,928}}<\pi <{\frac {355}{113}}-{\frac {911}{5\,261\,111\,856}}$

Dalam representasi desimal, ini artinya ${\underline {3.141592}}57<\pi <{\underline {3.141592}}74$, dengan digit yang digarisbawahi pada batas bawah dan batas atas adalah digit yang serasi dengan bilangan $\pi$.

Lihat juga

• Hampiran dari $\pi$
• Kronologi dari komputasi bilangan $\pi$
• Teorema Lindemann–Weierstrass (bukti bahwa $\pi$ adalah Bilangan transenden)
• Daftar topik yang berkaitan dengan $\pi$
• Bukti bahwa $\pi$ merupakan bilangan irasional

Pranala luar

• The problems of the 1968 Putnam competition, with this proof listed as question A1.