Bentuk tak tentu

Bentuk tak tentu adalah ekspresi matematika yang dapat memperoleh sebarang nilai tergantung ekspresi yang diketahui. Dalam kalkulus, bentuk tak tentu biasanya dapat menghitung limit penjumlahan, selisih, hasil kali, hasil bagi atau perpangkatan dua fungsi dengan mengambil kombinasi limit terpisah dari masing-masing fungsi. Sebagai contoh,$${\begin{aligned}\lim _{x\to c}{\bigl (}f(x)+g(x){\bigr )}&=\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x),\\[3mu]\lim _{x\to c}{\bigl (}f(x)g(x){\bigr )}&=\lim _{x\to c}f(x)\cdot \lim _{x\to c}g(x),\end{aligned}}$$dan hal yang serupa untuk operasi-operasi aritmetika lainnya, dan terkadang ini dinamakan teorema limit aljabar. Namun, kombinasi mencari limit nilai tidak dapat dengan cara tersebut, dan ketahui bahwa limit tiap fungsi secara terpisah tidak cukup menentuk limit kombinasi. Dalam keadaan tersebut, limit dapat dikatakan sebagai bentuk tak tentu. Ada macam-macam ekspresi bentuk tak tentu yang dinyatakan secara informal: $${\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~\infty -\infty ,~0^{0},~1^{\infty },{\text{ dan }}\infty ^{0}.$$}} Disini, tiap-tiap ekspresi mengartikan limit suatu fungsi dikonstruksi secara aritmetika dengan kombinasi dua fungsi yang limitnya menuju ke $0$, $1$, atau $\infty$.

Suatu limit mengambil salah satu bentuk tak tentu di atas, yang kemungkinan menuju ke nol, ke sebarang nilai terhingga, menuju tak terhingga, atau divergen, tergantung fungs-fungsi yang terlibat. Suatu limit yang sudah jelas menuju ke tak terhingga, seperti ${\textstyle \lim _{x\to 0}1/x^{2}=\infty }$, tidak termasuk tak tentu (indeterminate). Istilah ini awalnya diperkenalkan oleh murid Cauchy Moigno di pertengahan abad ke-19.

Contoh bentuk tak tentu paling umum ditemukan adalah hasil bagi dua fungsi, yang limit dari tiap-tiap dari kedua fungsi tersebut menuju ke nol. Hasil limi tersebut dinyatakan $0/0$. Sebagai contoh, saat $x$ mendekati ke $0$, hasil bagi dari $x/x^{3}$, $x/x$, dan $x^{2}/x$ masing-masing menuju ke $\infty$, $1$, dan $0$. Dalam setiap kasus, jika limit dari pembilang dan penyebut dimasukkan, ekspresi yang dihasilkan adalah $0/0$, yang merupakan bentuk tak tentu. Dalam pengertian hal ini, $0/0$ dapat bernilai $0$, $1$, atau $\infty$, dan dengan pemilihan fungsi yang sesuai untuk memasukkan pembilang dan penyebut. Suatu pasangan fungsi yang karena limitnya adalah sebarang nilai yang diketahui mungkin dapat ditemukan hasilnya. Bahkan yang mungkin mengejutkannya lagi, hasil bagi dari dua fungsi dapat divergen, dan tidak hanya divergen menuju ke nol, seperti $x\sin(1/x)/x$.

Jadi, karena fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ keduanya konvergen menuju ke $0$ saat $x$ menuju titik limit $c$, itu saja tidak cukup untuk menentukan limit

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}.$

Suatu Ekspresi yang muncul dengan cara lain selain dengan menerapkan teorema aljabar batas dapat mengambil bentuk tak tentu yang sama. Namun, tidaklah tepat menyebut ekspresi tersebut sebagai "bentuk tak tentu" jika ekspresinya berada di luar konteks menentukan limit. Contohnya adalah ekspresi $0^{0}$: apakah ekspresi ini dibiarkan tidak terdefinisi, atau didefinisikan sama dengan $1$, tergantung pada bidang penerapan dan mungkin hasilnya berbeda tergantung penulis. Untuk lebih lanjut, lihat artikel Nol pangkat nol. Perhatikan bahwa $0^{\infty }$ dan ekspresi lain yang melibatkan tak terhingga bukan bentuk tak tentu.

Mengevaluasi bentuk tak tentu

Kata sifat tak tentu menyiratkan bahwa limitnya tidak ada, seperti yang diperlihatkan pada banyak contoh di atas. Pada banyak kasus, eliminasi secara aljabar, aturan L'Hôpital, atau metode lain dapat digunakan untuk memanipulasi ekspresi sehingga limitnya dapat dievaluasi.=

Infinitesimal yang ekuivalen

Ketika dua variabel $\alpha$ dan $\beta$ konvergen ke nol pada titik limit yang sama dan $\textstyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=1$, kedua variabel tersebut disebut infinitesimal ekuivalen (atau ditulis $\alpha \sim \beta$). Lebih lanjut, jika terdapat variabel $\alpha '$ dan $\beta '$, sehingga $\alpha \sim \alpha '$ dan $\beta \sim \beta '$, maka$$\lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}.$$

Berikut ini bukti singkatnya: Misalkan ada dua infinitesimal ekuivalen $\alpha \sim \alpha '$ dan $\beta \sim \beta '$.$$\lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta \beta '\alpha '}{\beta '\alpha '\alpha }}=\lim {\frac {\beta }{\beta '}}\lim {\frac {\alpha '}{\alpha }}\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}.$$Untuk evaluasi bentuk tak tentu $0/0$, seseorang dapat memanfaatkan fakta-fakta berikut tentang ekuivalen infinitesimal: $${\begin{aligned}x&\sim \sin x,\\x&\sim \arcsin x,\\x&\sim \sinh x,\\x&\sim \tan x,\\x&\sim \arctan x,\\x&\sim \ln(1+x),\\1-\cos x&\sim {\frac {x^{2}}{2}},\\\cosh x-1&\sim {\frac {x^{2}}{2}},\\a^{x}-1&\sim x\ln a,\\e^{x}-1&\sim x,\\(1+x)^{a}-1&\sim ax.\end{aligned}}$$ Sebagai contoh:

${\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}\left[\left({\frac {2+\cos x}{3}}\right)^{x}-1\right]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln \left({\frac {\cos x-1}{3}}+1\right)\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0}-{\frac {x^{2}}{6x^{2}}}\\&=-{\frac {1}{6}}\end{aligned}}$

Dalam Aturan L'Hôpital

Artikel utama: Aturan L'Hôpital

Aturan L'Hôpital adalah metode umum untuk mengevaluasi bentuk tak tentu $0/0$ dan $\infty /\infty$. Aturan ini menyatakan bahwa (dalam kondisi yang sesuai)

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},$

darimana $f'$ dan $g'$ adalah turunan dari $f$ and $g$. (Perhatikan bahwa aturan ini tidak berlaku untuk ekspresi $\infty /0$, $1/0$, dan seterusnya, karena ekspresi ini bukanlah bentuk tak tentu.) Turunan ini akan memungkinkan seseorang untuk melakukan penyederhanaan aljabar dan akhirnya mengevaluasi limit.

Aturan L'Hôpital juga dapat diterapkan ke bentuk tak tentu lainnya, pertama menggunakan transformasi aljabar yang sesuai. Misalnya untuk mengevaluasi formulir 0⁰:

$\ln \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}.$

Daftar bentuk tak tentu

Tabel berikut mencantumkan bentuk tak tentu yang paling umum, dan transformasi untuk menerapkan aturan l'Hôpital.

Bentuk tak tentu	Syarat-syarat	Transformasi menjadi nilai $0/0$	Transformasi menjadi nilai $\infty /\infty$
00	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	—	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$
$\infty$$\infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$	—
$0\cdot \infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!$
$\infty -\infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!$
$0^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$
$1^{\infty }$	$\lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$
$\infty ^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$