Integral Riemann

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Lompat ke: navigasi, cari


Integral Riemann, dalam cabang matematika yang dikenal sebagai analisis riil, merupakan definisi ketat pertama integral sebuah fungsi dalam sebuah selang. Meskipun integral Riemann tidak cocok untuk banyak kegunaan teoretis, integral ini merupakan salah satu integral yang paling mudah untuk didefinisikan. Sebagian kekurangan teknis ini dapat diperbaiki oleh integral Riemann-Stieltjes, dan kebanyakan tidak ada lagi pada integral Lebesgue.

Integral sebagai luas daerah di bawah kurva.

Tinjauan umum[sunting | sunting sumber]

Misalkan f adalah fungsi riil pada selang [a, b], dan misalkan S = { (x, y| 0 < y < f(x)} merupakan daerah di bawah grafik fungsi f dan di antara selang [a, b]. Kita ingin mengukur luas daerah S. Bila kita telah mengukurnya, kita akan melambangkan daerah tersebut sebagai:

Gagasan dasar integral Riemann adalah menggunakan hampiran yang sangat sederhana untuk daerah S. Dengan mengambil hampiran yang semakin baik, kita dapat mengatakan "dalam limitnya" kita mendapatkan luas daerah S di bawah kurva.

Perhatikan bahwa bila ƒ bisa bernilai baik positif atau negatif, integral tersebut terkait dengan daerah bertanda di bawah grafik ƒ, yaitu luas daerah di atas sumbu-x dikurangi luas daerah di bawah sumbu-x.

Barisan jumlahan Riemann. Bilangan di kanan atas adalah luas daerah persegi panjang abu-abu, yang konvergen terhadap integral fungsi tersebut


Definisi[sunting | sunting sumber]

Partisi dari selang[sunting | sunting sumber]

Himpunan disebut partisi dari selang apabila

Jika dan partisi dari , maka disebut suatu perhalusan dari apabila .

Jumlah Riemann bawah dan atas[sunting | sunting sumber]

Misalkan adalah fungsi riil yang terbatas. Untuk setiap partisi dari , kita dapat mendefinisikan Jumlah Riemann bawah sebagai

dengan .

Selanjutnya, kita juga mendefinisikan Jumlah Riemann atas sebagai

dengan .

Integral Riemann bawah dan atas[sunting | sunting sumber]

Kita mendefinisikan integral Riemann bawah dari di sebagai

dan integralnya Riemann atas sebagai

Catat bawah .

Jika , maka dikatakan terintegralkan Riemann dan nilai yang sama tersebut integral Riemann, yang dilambangkan dengan