Infimum dan supremum

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Sebuah himpunan bilangan real (lingkaran berongga dan lingkaran berisi̠), sebuah himpunan bagian pada (lingkaran berisi) dan infimum pada . Perhatikan bahwa untuk terhingga, total urutan himpunan yang infimum dan supremum adalah sama.
Sebuah himpunan bilangan real (lingkaran biru), sebuah himpunan batas atas dari (wajik merah dan lingkaran-lingkaran) dan paling terkecil batas atas seperti itu, yaitu, supremum dari (wajik merah).

Dalam matematika, infimum (disingkat inf; jamak infima) pada sebuah himpunan bagian dari sebuah himpunan terurut parsial adalah anggota terbesar dalam yaitu lebih kecil dari atau sama dengan untuk semua anggota , jika seperti sebuah anggota ada.[1] Karena itu, istilah batas atas terbesar (dalam bahasa Inggrisː greatest lower bound, disingkat sebagai GLB) juga biasa digunakan.[2]

Supremum (disingkat sup, jamak suprema) dari sebuah himpunan bagian dari sebuah himpunan terurut parsial adalah anggota terkecil dalam yaitu lebih kecil dari atau sama dengan untuk semua anggota , jika seperti sebuah anggota ada.[1] Karena itu, supremum juga disebut sebagai batas atas terkecil (dalam bahasa Inggrisː least upper bound atau LUB).[2]

Infimum dalam arti yang tepat ganda ke konsep dari sebuah supremum. Infima dan suprema dari bilangan real adalah kasus khusus yang umum yang penting dalam analisis, dan termasuk dalam integrasi Lebesgue. Namun, definisi umum tetap sah dalam pengaturan teori order yang lebih abstrak

Komsep infimum dan supremum serupa dengan minimum dan maksimum, tetapi lebih berguna dalam analisis karena mereka memiliki himpunan-himpunan karaktersitik spesial yang berbeda yang tidak memiliki minimum atau maksimum. Sebagai contoh, bilangan real positif (tidak termasuk 0) tidak memiliki sebuah minimum, karena setiap diberikan anggota bisa dengan mudah dibagi menjadi dua dalam sebuah bilangan lebih kecil daripada semua bilangan real positif dan lebih besar daripada setiap bilangan real lainnya yang bisa digunakan sebagai sebuah batas bawah.

Definisi formal[sunting | sunting sumber]

supremum = batas atas terkecil

Sebuah batas bawah dari sebuah himpunan bagian sebagian berurutan adalah sebuah anggota dari seperti

  • untuk semua dalam .

Sebuah batas bawah dari disebut sebuah infimum (atau pertemuan) pada jika

  • jika semua batas bawah pada dalam , ( lebih besar dari atau sama dengan setiap batas bawah lainnya).

Demikian pula, sebuah batas atas dari sebuah himpunan bagian dari sebuah himpunan terurut parsial adalah sebuah anggota pada seperti

  • untuk semua dalam .

Sebuah batas atas pada disebut sebuah supremum (atau batas atas terkecil, atau sambungan) pada jika

  • untuk semua batas atas pada dalam , ( kurang dari setiap batas atas lainnya).

Keberadaan dan ketunggalan[sunting | sunting sumber]

Infima dan suprema tidak perlu ada. Keberadaan dari sebuah infimum dari sebuah himpunan terurut parsial pada bisa gagal jika tidak memiliki batas bawah sama sekali, atau jika himpunan dari batas bawah tidak berisi sebuah anggota terbesar. Namun, jika sebuah infimum atau supremum ada, maka itu tunggal.

Karena itu, himpunan terurut parsial yang infima tertentu dikenal sangat menarik. Sebagai contoh, sebuah kekisi adalah sebuah himpunan terurut parsial yang semua himpunan tak kosong terhingga memiliki sebuah supremum dan sebuah infimum, dan sebuah kekisi sempurna adalah sebuah himpunan terurut parsial yang semua himpunan bagian memiliki sebuah supremum dan sebuah infimum. Informasi lebih lanjut pada beberapa kelas himpunan terurut parsial yang mnucul dari pertimbangan tersebut ditemukan dalam artikel pada sifat-sifat kelengkapan.

Jika supremum dari sebuah himpunan bagian ada, itu tunggal, Jika berisi sebuah anggota terbesar, maka anggota itu adalah supremum, jika tidak, supremum bukan milik (atau tidak ada). Begitu juga, jika infimum ada, itu tunggal. jika berisi sebuah anggota terkecil, maka anggota itu adalah infimum, jika tidak, infimum bukan miliki (atau tidak ada).

Hubungan anggota maksimum dan minimum[sunting | sunting sumber]

Infimum pada sebuah himpunan bagian dari sebuah himpunan terurut parsial , tidak perlu milik . Jika benar, itu adalah minimum atau anggota terkecil . Demikian pula, jika supremum miliki , itu adalah maksimum atau anggota terbesar .

Sebagai contoh, tinjau himpunan bilangan real negatif (termasuk nol). Himpunan ini tidak memiliki anggota terbesar, karena untuk setiap anggota dari himpunan, masih ada lagi, anggota, lebih besar. Misalnya, untuk setiap bilangan real negatif , masih ada bilangan real negatif , yang lebih besar. Di samping itu, setiap bilangan real lebih besar atau sama dengan nol pasti sebuah batas atas pada himpunan ini. Karenanya, 0 adalah batas atas terkecil dari bilangan real negatif, jadi supremumnya adalah 0. Himpunan ini memiliki sebuah supremum tetapi bukan anggota terbesar.

Namun, definisi anggota maksimal dan minimum lebih umum. Khususnya, sebuah himpunan bisa memiliki banyak anggota-anggota maksimal dan minimal, sedangkan infima dan suprema adalah tunggal.

Sedangkan maksima dan mimima harus menjadi anggota dari himpunan bagian yang sedang dipertimbangkan, infimum dan supremum dari sebuah himpunan bagian tidak perlu anggota dari himpunan bagian itu sendiri.

Batas atas minimal[sunting | sunting sumber]

Akhirnya, sebuah himpunan terurut parsial mungkin memiliki batas atas minimal tanpa memiliki sebuah batas atas terkecil. Batas atas minimal adalah batas atas itu untuk yang tidak ada anggota yang sangat kecil itu juga adalah sebuah batas atas. Ini tidak mengatakan bahwa setiap batas atas minimal lebih kecil daripada semua batas atas lainnya, itu hanya tidak lebih besar. Perbedaannya antara "minimal" dan "paling kecil" hanya mungkin ketika diberikan urutan total. Dalam sebuah himpunan benar-benar berurutan, seperti bilangan real, konsepnya sama.

Sebagai contoh, misalkan adalah himpunan dari semua himpunan bagian bilangan asli terhingga dan tinjau himpunan sebagian berurutan diamati dengan mengambil semua himpunan-himpunan dari bersama-sama dengan himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan real positif , diurutkan dari penyertaan himpunan bagian seperti di atas. Maka jelaslah dan lebih besar daripada semua himpunan bilangan asli terhingga. Namun, baik lebih kecil dari juga bukan sebaliknyaː kedua himpunan adalah batas atas minimal tetapi tidak ada yang supremum.

Sifat batas paling atas[sunting | sunting sumber]

Sifat batas paling atas adalah sebuah contoh dari sifat-sifat kelengkapan tersebut di atas yang khas untuk himpunan bilangan real. Sifat ini terkadang disebut kelengkapan Dedekind.

Jika sebuah himpunan berurutan memiliki sifatnya bahwa setiap himpunan bagian tak kosong memiliki sebuah batas atas juga memiliki sebuah batas paling atas, maka dikatakan memiliki sifat batas paling atas. Seperti yang disebutkan di atas, himpunan dari semua bilangan real memiliki sifat batas paling atas. Demikian pula, himpunan dari bilangan bulat memiliki sifat batas paling atas, jika adalah sebuah himpunan bagian tak kosong dan ada beberapa bilangan sehingga setiap anggota pada kurang dari atau sama dengan , maka terdapat sebuah batas paling atas untuk , sebuah bilangan bulat bahwa sebuah batas atas untuk dan kurang dari atau sama dengan untuk setiap batas atas lainnya untuk . Sebuah himpunan urutan rapi juga memiliki sifat batas paling atas, dan himpunan bagian tak kosong juga memiliki sebuah batas paling atasː minimum dari seluruh himpunan.

Sebuah contoh untuk sebuah himpunan dari sifat batas paling atas adalah , himpunan bilangan rasional. Misalkan menjadi himpunan dari semua bilangan rasional , sehingga . Maka memiliki sebuah batas atas (1000, sebagai contoh, 6) tetapi tidak ada batas atas dalam . Jika kita mengandaikan adalah batas paling atas, sebuah kontradiksi segera disimpulkan karena antara dua bilangan real dan (termasuk (lihat akar kuadrat dari 2) dan ) terdapat beberapa rasional , yang sendirinya akan memiliki menjadi batas paling atas (jika ). Contoh lainnya adalah hiperreal, tidak ada batas paling atas dari himpunan infinitesimal positif.

Terdapat sebuah 'sifat batas bawah terbesar" yang sesuai; sebuah himpunan berurutan memiliki sifat batas bawah terbesar jika dan hanya jila itu juga memiliki sifat batas paling atas, batas paling atas dari himpunan batas bawah dari sebuah himpunan adalah batas bawah terbesar, dan batas bawah terbesar dari himpunan batas atas dari sebuah himpunan adalah batas paling atas dari himpunan.

Jika dalam sebuah himpunan terurut parsial setiap himpunan bagian berbatas memiliki sebuah supremum , ini juga berlaku, untuk setiap himpunan , dalam ruang fungsi berisi semua fungsi dari ke , dimana jika dan hanya jika untuk semua dalam . Sebagai contoh, itu berlaku untuk fungsi real, dan, karena ini bisa dianggap kasus fungsi khusus, untuk bilangan real -tupel dan barisan bilangan real.

Sifat batas paling atas adalah sebuah indikator dari suprema.

Infima dan suprema bilangan real[sunting | sunting sumber]

Dalam analisis, infima dan suprema dari himpunan bagian dari bilangan real sangat penting. Misalnya, bilangan real negatif tidak memiliki sebuah anggota terbesar, dan supremum mereka adalah 0 (yang bukan sebuah bilangan real negatif).[3] Kelengkapan dari bilangan real menyiratkan (dan setara dengan) bahwa setiap himpunan bagian tak kosong berbatas dari bilangan real memiliki sebuah infimum dan sebuah supremum. Jika tidak berbatas bawah, salah satunya sering secara formal menulis . Jika kosong, salah satunya menulis .

Sifat-sifat[sunting | sunting sumber]

Rumus berikut bergantung pada sebuah notasi bahwa dengan mudah menggeneralisasi operasi-operasi aritmetika pada himpunan-himpunanː Misalkan himpunan , dan skalar . Mendefinisikan

  • ; produk skalar dari sebuah himpunan hanya skalar dikalikan oleh setiap anggota dalam himpunan.
  • ; jumlah aritmetika dua himpunan adalah jumlah dari semua kemungkinan pasangan bilangan-bilangan, salah satu dari setiap himpunan.
  • , produk artimetik dua himpunan adalah semua produk pasangan-pasangan anggota-anggota, salah satu dari setiap himpunan.

Dalam kasus-kasus itu dimana infima dan suprema dari himpunan-himpunan dan ada, identitas berikut berlakuː

  • jika dan hanya jika untuk setiap terdapat sebuah dengan , dan untuk setiap .
  • , jika dan hanya jika setiap terdapat sebuah dengan untuk setiap .
  • Jika , maka dan .
  • Jika , maka dan .
  • Jika , maka dan .
  • , dan .
  • Jika , himpunn tak kosong bilangan real positif maka , sama untuk suprema.[4]

Dualitas[sunting | sunting sumber]

Jika salah satu dilambangkan oleh , himpunan terurut parsial dengan hubungan urutan berlawanan, yaitu

  • dalam jika dan hanya jika dalam .

maka infimum dari sebuah himpunan bagian dalam sama dengan dan sebaliknya

Untuk himpunan bagian dari bilangan real, dualitas jenis lain berlaku , dimana .

Contoh-contoh[sunting | sunting sumber]

Infima[sunting | sunting sumber]

  • Infimum dari himpunan bilangan adalah . Bilangan adalah sebuah batas bawah, tetapi bukan batas bawah terbesar, dan karenanya bukan infimum.
  • Lebih umum, jika sebuah himpunan memiliki anggota terkecil, maka anggota terkecil adalah infimum untuk himpunan. Dalam kasus ini, itu juga disebut minimum dari himpunan.
  • .
  • ,
  • .
  • .
  • Jika adalah barisan menurun dengan limit , maka .

Suprema[sunting | sunting sumber]

  • Supremum dari himpunan bilangan adalah . Bilangan adalah sebuah batas atas, tetapi bukan batas paling atas, dan karenanya bukanlah supremum.
  • .
  • .
  • .
  • .

Di contoh terakhir, supremum dari sebuah himpunan rasional adalah irasional, yang berarti bahwa rasional tidak lengkap.

Salah satu sifat dasar dari supremum adalah

untuk setiap fungsional-fungsional dan .

Supremum dari sebuah himpunan dari , dimana melambangkan "pembagi" adalah kelipatan persekutuan terkecil dari anggota-anggota .

Supremum dari sebuah himpunan dari , dimana adalah himpunan pangkat dari beberapa himpunan, adalah supremum terhadap (himpunan bagian) dari sebuah himpunan bagian dari adalah gabungan dari anggota-anggota .

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ a b Rudin, Walter (1976). ""Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"". Principles of Mathematical AnalysisPerlu mendaftar (gratis) ("print") (edisi ke-3rd). McGraw-Hill. hlm. 4. ISBN 0-07-054235-X. 
  2. ^ a b Rudin, Walter (1976). ""Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"". Principles of Mathematical AnalysisPerlu mendaftar (gratis) ("print") (edisi ke-3rd). McGraw-Hill. hlm. 4. ISBN 0-07-054235-X. 
  3. ^ Rudin, Walter (1976). ""Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"". Principles of Mathematical AnalysisPerlu mendaftar (gratis) ("print") (edisi ke-3rd). McGraw-Hill. hlm. 4. ISBN 0-07-054235-X. 
  4. ^ Zakon, Elias (2004). Mathematical Analysis I. Trillia Group. hlm. 39–42. 

Pranala luar[sunting | sunting sumber]