Uji kekonvergenan

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Uji kekonvergenan (bahasa Inggris: convergence tests) dalam matematika adalah kumpulan metode untuk melakukan uji yang berkenaan dengan deret konvergen, kekonvergenan bersyarat, kekonvergenan mutlak, kekonvergenan selang atau divergensi suatu deret tak terhingga.

Daftar tes[sunting | sunting sumber]

Limit dari jinumlah[sunting | sunting sumber]

Jika limit dari jinumlah (atau limit dari yang dijumlahkan) tidak dapat didefinisikan atau bukan nol, yaitu , maka deret tersebut pasti divergen. Dalam hal ini, jumlah parsial merupakan barisan Cauchy hanya jika limit ini ada dan sama dengan nol. Uji ini tidak mempunyai kesimpulan jika limit jumlah semua elemen sama dengan nol.

Uji rasio[sunting | sunting sumber]

Ini juga dikenal sebagai "Kriteria D'Alembert" (D'Alembert's criterion). Andaikan terdapat sedemikian rupa sehingga

Jika r < 1, maka deret tersebut konvergen.
Jika r > 1, maka deret tersebut divergen.
Jika r = 1, uji rasio tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.

Uji akar[sunting | sunting sumber]

Ini juga dikenal sebagai "Uji akar ke-n" (nth root test atau "Kriteria Cauchy", Cauchy's criterion). Misalkan

di mana melambangkan limit atas (kemungkinannya ∞; jika ada limit, maka itulah nilainya).
Jika r < 1, maka deret tersebut konvergen.
Jika r > 1, maka deret tersebut divergen.
Jika r = 1, uji akarnya tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.

Uji integral[sunting | sunting sumber]

Deret itu dapat dibandingkan dengan suatu integral untuk menguji apakah konvergen atau divergen. Misalnya adalah suatu fungsi positif dan monoton menurun sedemikian rupa sehingga .

Jika maka deret tersebut konvergen
Jika integralnya divergen, maka deret tersebut juga divergen.

Dengan kata lain, deret konvergen jika dan hanya jika integralnya konvergen.

Uji perbandingan langsung[sunting | sunting sumber]

Jika deret merupakan suatu deret konvergen mutlak dan untuk n yang cukup besar, maka deret konvergen mutlak.

Uji perbandingan limit[sunting | sunting sumber]

Jika , dan limit ada, merupakan terhingga dan bukan nol, maka konvergen jika dan hanya jika konvergen.

Uji kondensasi Cauchy[sunting | sunting sumber]

Misalkan adalah urutan positif yang tidak meningkat. Maka jumlah adalah konvergen jika dan hanya jika jumlah konvergen. Lagi pula, jika konvergen, maka berlaku.

Uji Abel[sunting | sunting sumber]

Misalnya pernyataan-pernyataan berikut ini benar:

  1. adalah suatu deret konvergen,
  2. {bn} adalah suatu urutan monoton, dan
  3. {bn} mempunyai batasan (bounded).

Maka juga konvergen.

Uji Raabe–Duhamel[sunting | sunting sumber]

Misalkan { an } > 0.

Definisikan

.

Jika ada, maka ada tiga kemungkinan:

  • Jika L > 1 deret itu konvergen
  • Jika L < 1 deret itu divergen
  • Jika L = 1 tes itu tidak konklusif.

Suatu rumus selang-seling dari uji ini adalah sebagai berikut. Misalkan {an} adalah suatu deret bilangan real. Maka jika b > 1 dan K (sebuah bilangan asli) ada sedemikian sehingga

untuk semua n > K maka deret { an } itu konvergen.

Catatan[sunting | sunting sumber]

  • Untuk sejumlah jenis deret tertentu ada tes konvergensi yang lebih khusus, misalnya untuk deret Fourier digunakan uji Dini

Perbandingan[sunting | sunting sumber]

Uji akar lebih kuat dari uji rasio (lebih kuat karena syarat yang dibutuhkan lebih lemah): bilamana uji rasio menentukan suatu deret tak terhingga itu konvergen atau divergen, maka hasil yang sama didapat dari uji akar, tetapi sebaliknya tidak selalu demikian.[1]

Contohnya, untuk deret

1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ... = 4

konvergen menurut tes akar tetapi tidak konvergen menurut tes rasio.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Pertimbangkan deret

.

Uji kondensasi Cauchy menyiratkan bahwa (*) konvergen hingga jika

secara finit konvergen. Karena

(**) merupakan deret geometrik dengan rasio . (**) merupakan konvergen hingga jika rasionya kurang dari satu (yaitu ). Jadi, (*) merupakan konvergen hingga jika dan hanya jika .

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Tes Rasio

Pranala luar[sunting | sunting sumber]