Kaidah diferensiasi

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Lompat ke: navigasi, cari

Kaidah diferensiasi (atau Aturan diferensiasi; bahasa Inggris: Rules of differentiation) berikut merupakan ringkasan kaidah-kaidah untuk menghitung derivatif suatu fungsi dalam kalkulus. Untuk daftar yang lebih lengkap, lihat Tabel turunan.

Kaidah dasar diferensiasi[sunting | sunting sumber]

Kecuali dinyatakan lain, semua fungsi merupakan fungsi bilangan real (R) yang menghasilkan nilai bilangan real; meskipun secara lebih umum, rumus-rumus berikut dapat diterapkan di manapun jika didefinisikan dengan baik[1][2]— termasuk bilangan kompleks (C).[3]

Diferensiasi adalah linier[sunting | sunting sumber]

Untuk fungsi-fungsi f dan g dan bilangan real a dan b apapun, turunan fungsi h(x) = af(x) + bg(x) terhadap x dapat ditulis

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

Kasus-kasus khusus meliputi:

  • Kaidah pengurangan

Kaidah hasil kali[sunting | sunting sumber]

Untuk fungsi-fungsi f dan g, turunan fungsi h(x) = f(x) g(x) terhadap x dapat ditulis

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

Kaidah rantai[sunting | sunting sumber]

Turunan dari fungsi h(x) = f(g(x)) terhadap x dapat ditulis

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

Namun, dengan melonggarkan penafsiran h sebagai suatu fungsi, dapat ditulis lebih sederhana sebagai

Kaidah fungsi inversi[sunting | sunting sumber]

Jika fungsi f mempunyai suatu fungsi invers g, yaitu g(f(x)) = x dan f(g(y)) = y, maka

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

Hukum pangkat, polinomial, hasil bagi, dan timbal-balik[sunting | sunting sumber]

Kaidah pangkat polinomial atau elementer[sunting | sunting sumber]

Jika , untuk bilangan bulat n apapun maka

Kasus-kasus khusus meliputi:

  • Kaidah konstanta: jika f merupakan fungsi konstanta f(x) = c, untuk bilangan c apapun, maka untuk semua x, f′(x) = 0.
  • jika f(x) = x, maka f′(x) = 1. Kasus khusus ini dapat digeneralisasi menjadi:
    Turunan suatu fungsi affine adalah suatu konstanta: jika f(x) = ax + b, maka f′(x) = a.

Penggabungan kaidah ini dengan kelinearan turunan dan kaidah penjumlahan memungkinan penghitungan turunan polinomial apapun.

Kaidah timbal balik[sunting | sunting sumber]

Turunan dari h(x) = 1/f(x) untuk fungsi f (yang "tidak menghilang"; nonvanishing) manapun adalah:

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

Kaidah timbal balik (reciprocal rule) dapat diturunkan dari kaidah rantai (chain rule) dan kaidah pemangkatan (kaidah pangkat; power rule).

Kaidah hasil bagi[sunting | sunting sumber]

Jika f dan g adalah fungsi, maka:

dimana g bukan nol.

Ini dapat diturunkan dari kaidah timbal balik dan kaidah darab. Sebaliknya (menggunakan kaidah konstanta) kaidah timbal balik dapat diturunkan dari kasus khusus f(x) = 1.

Kaidah pemangkatan yang digeneralisasi[sunting | sunting sumber]

Kaidah pemangkatan elementer menggeneralisasi luas. Kaidah pemangkat yang paling luas adalah "kaidah pemangkatan fungsional" (functional power rule): untuk fungsi-fungsi f dan g apappun,

di mana kedua sisi didefinisikan dengan baik.

Kasus-kasus khusus:

  • Jika f(x) = xa, f′(x) = axa − 1 bilamana a adalah suatu bilangan real dan x adalah positif.
  • Kaidah timbal balik (reciprocal rule) dapat diturunkan sebagai kasus khsusu di mana g(x) = −1.

Turunan fungsi eksponensial dan logaritmik[sunting | sunting sumber]

perhatikan bahwa persamaan di atas adalah benar untuk semua c, tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks.

persamaan di atas adalah benar untuk semua c, tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks.

Turunan logaritmik[sunting | sunting sumber]

Turunan logaritmik adalah cara lain untuk menyatakan kaidah diferensiasi logaritma suatu fungsi (menggunakan kaidah rantai):

wherever f is positive.

Turunan fungsi trigonometri[sunting | sunting sumber]

Adalah lazim untuk mendefinisikan lebih lanjut suatu fungsi tangen inversi dengan dua argumen, . Nilainya terletak dalam rentang dan mencerminkan kuadran dari titik . Untuk kuadran pertama dan keempat (yaitu ) maka . Turunan parsialnya adalah

, and

Turunan fungsi hiperbolik[sunting | sunting sumber]

Turunan fungsi-fungsi khusus[sunting | sunting sumber]

Fungsi gamma

Fungsi Riemann Zeta

Derivatif integral[sunting | sunting sumber]

Misalkan dibutuhkan untuk menghitung turunan terhadap x dalam fungsi

di mana fungsi-fungsi dan keduanya kontinu dalam dan dalam wilayah tertentu bidang , termasuk , dan fungsi-fungsi dan keduanya kontinu dan memiliki turunan kontinu untuk . Maka untuk :

Rumus ini merupakan bentuk umum dari kaidah integral Leibniz dan dapat diturunkan menggunakan Teorema fundamental kalkulus.

Turunan ke-n[sunting | sunting sumber]

Ada sejumlah kaidah untuk menghitung turunan ke-n suatu fungsi, di mana n adalah sebuah bilangan bulat positif. Di antaranya:

Rumus Faà di Bruno[sunting | sunting sumber]

Jika f dan g dapat diturunkan n kali, maka

di mana dan himpunan terdiri dari semua solusi bilangan bulat bukan negatif dari persamaan Diophantine .

Kaidah Leibniz umum[sunting | sunting sumber]

Jika f dan g dapat diturunkan n kali, maka

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Calculus (5th edition), F. Ayres, E. Mendelson, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2.
  2. ^ Advanced Calculus (3rd edition), R. Wrede, M.R. Spiegel, Schuam's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7.
  3. ^ Complex Variables, M.R. Speigel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161569-3

Sumber dan pustaka tambahan[sunting | sunting sumber]

Kaidah-kaidah ini ditulis dalam banyak buku, baik kalkulus elementer maupun lanjutan, dalam matematika murni maupun terapan. Notasi dalam halaman ini (selain pada rujukan-rujukan di atas) dapat dijumpai dalam:

  • Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.
  • The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
  • Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
  • NIST Handbook of Mathematical Functions, F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5.

Pranala luar[sunting | sunting sumber]