Integral lipat

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Integral sebagai luasan antara dua kurva
Integral lipat dua sebagai volume di bawah luasan . Daerah persegi panjang di dasar volume adalah domain integrasi, sedangkan permukaan adalah grafik fungsi dua variabel yang akan diintegrasikan.

Integral lipat adalah generalisasi integral tentu terhadap fungsi beberapa variabel, seperti f(xy) or f(xyz). Integral suatu fungsi dua variabel terhadap luasan di R2 dinamakan integral lipat dua, dan integral fungsi tiga variabel pada volume R'3 dinamakan integral lipat tiga.[1]

Pendahuluan[sunting | sunting sumber]

Sama seperti integral pasti dari fungsi positif dari satu variabel mewakili luas dari daerah antara grafik fungsi dan x sumbu, integral lipat dari fungsi positif dua variabel mewakili volume dari wilayah antara permukaan yang ditentukan oleh fungsi (pada [[bidang Cartesian] tiga dimensi z = f(x, y) dan bidang yang berisi domain. [1] Bila ada lebih banyak variabel, beberapa integral akan menghasilkan hipervolume fungsi multidimensi.

Integrasi berganda dari suatu fungsi di n variabel: f(x1, x2, ..., xn) di atas domain D paling sering diwakili oleh tanda integral bersarang dalam urutan eksekusi terbalik (tanda integral paling kiri dihitung terakhir), diikuti oleh argumen fungsi dan integrand dalam urutan yang benar (integral sehubungan dengan argumen paling kanan dihitung terakhir). The domain of integration is baik diwakili secara simbolis untuk setiap argumen pada setiap tanda integral, atau disingkat dengan variabel di tanda integral paling kanan:[2]

Karena konsep antiturunan hanya didefinisikan untuk fungsi variabel nyata tunggal, definisi umum dari integral tak tentu tidak segera meluas ke beberapa inte.

Definisi Matematika[sunting | sunting sumber]

bagi n > 1, pertimbangkan apa yang disebut "setengah terbuka" n domain Hiper-Persegi panjang dimensi T, didefinisikan sebagai:

Partisi ​​setiap interval [aj, bj) menjadi keluarga yang terbatas Ij dari subinterval yang tidak tumpang tindih ijα, dengan setiap subinterval ditutup di ujung kiri, dan terbuka di ujung kanan.

Kemudian keluarga terbatas sub-persegipanjang C diberikan oleh

adalah partisi ​​dari T; yaitu, sub-persegipanjang Ck tidak tumpang tindih dan serikat mereka T.

Jika rumus f : TR menjadi fungsi yang didefinisikan pada T. Pertimbangkan partisi C dari T seperti yang didefinisikan di atas, seperti itu bahwa C adalah keluarga dari sub-persegi panjang m Cm and

Kami dapat memperkirakan totalnya (n + 1) volume dimensi yang dibatasi di bawah oleh n hyperrectangle dimensi T dan di atasnya oleh n grafik dimensi f dengan jumlah Riemann berikut:


Properti[sunting | sunting sumber]

Integral berganda memiliki banyak sifat yang sama dengan integral fungsi satu variabel (linieritas, komutatif, monotonitas, dan seterusnya). Salah satu sifat penting dari banyak integral adalah bahwa nilai integral tidak bergantung pada urutan integral dalam kondisi tertentu. Properti ini dikenal sebagai Teorema Fubini.[3]

Kasus tertentu[sunting | sunting sumber]

Dalam kasus TR2, integral

adalah integral ganda dari f pada T, dan jika TR3 the integral

adalah integral tripel dari f pada T.

Perhatikan bahwa, menurut kesepakatan, integral ganda memiliki dua tanda integral, dan integral rangkap tiga memiliki tiga; ini adalah ketentuan notasi yang berguna saat menghitung integral berganda sebagai integral iterasi, seperti yang ditunjukkan nanti di artikel ini.

Perubahan variabel[sunting | sunting sumber]

Batasan integral seringkali tidak mudah dipertukarkan (tanpa normalitas atau dengan formula kompleks untuk diintegrasikan). Seseorang membuat perubahan variabel untuk menulis ulang integral di wilayah yang lebih "nyaman", yang dapat dijelaskan dalam rumus yang lebih sederhana. Untuk melakukannya, fungsinya harus disesuaikan dengan koordinat baru.

Contoh 1a. Fungsinya adalah f(x, y) = (x − 1)2 + y; jika seseorang mengadopsi substitusi x′ = x − 1, y′ = y karena itu x = x′ + 1, y = y seseorang mendapatkan fungsi baru f2(x, y) = (x′)2 + y.

  • Begitu pula untuk domain karena dibatasi oleh variabel asli yang diubah sebelumnya (x and y contohnya).
  • perbedaan dx dan dy mentransformasikan melalui nilai absolut determinan matriks Jacobian yang berisi turunan parsial transformasi terkait variabel baru (pertimbangkan, sebagai contoh, transformasi diferensial dalam koordinat kutub).

Ada tiga "jenis" utama dari perubahan variabel (one in R2, two di R3); namun, substitusi yang lebih umum dapat dilakukan dengan menggunakan prinsip yang sama.


Contoh[sunting | sunting sumber]

Integral ganda di atas persegi panjang[sunting | sunting sumber]

Mari kita asumsikan bahwa kita ingin mengintegrasikan fungsi multivariabel f di suatu wilayah A:

Dari sini kami merumuskan integral iterasi

Integral bagian dalam dilakukan terlebih dahulu, berintegrasi dengan x dan mengambil y sebagai konstanta, karena ini bukan variabel integrasi. Hasil integral ini, yang merupakan fungsi yang hanya bergantung pada y, kemudian diintegrasikan sehubungan dengan y.

Kami kemudian mengintegrasikan hasilnya sehubungan dengan y.

Dalam kasus di mana integral ganda dari nilai absolut fungsi berhingga, urutan integrasi dapat dipertukarkan, yaitu, x pertama dan mengintegrasikan sehubungan dengan y pertama menghasilkan hasil yang sama. Itulah Teorema Fubini. Misalnya, melakukan perhitungan sebelumnya dengan urutan terbalik memberikan hasil yang sama:

Integral ganda di atas domain normal[sunting | sunting sumber]

Example: double integral over the normal region D

Pertimbangkan wilayahnya (lihat grafik di contoh):

Calculate

Domain ini normal dalam kaitannya dengan x dan y sumbu. Untuk menerapkan rumus, diperlukan untuk menemukan fungsi yang menentukan D dan interval di mana fungsi ini didefinisikan. Dalam hal ini kedua fungsi tersebut adalah:

sedangkan interval diberikan oleh perpotongan fungsi dengan x = 0, jadi interval dari [ab] = [0, 1] (normalitas telah dipilih sehubungan dengan sumbu x untuk pemahaman visual yang lebih baik).

Sekarang dimungkinkan untuk menerapkan rumus:

(pada awalnya integral kedua dihitung dengan mempertimbangkan x sebagai konstanta). Operasi yang tersisa terdiri dari penerapan teknik dasar integral:

Bila kita memilih normalitas sehubungan dengan sumbu y - kita dapat menghitung

dan mendapatkan nilai yang sama.

Example of domain in R3 that is normal with respect to the xy-plane.

Menghitung volume[sunting | sunting sumber]

Menggunakan metode yang dijelaskan sebelumnya, dimungkinkan untuk menghitung volume beberapa padatan umum.

  • Tabung: Volume silinder dengan tinggi h dan dasar lingkaran jari-jari R dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta h di atas alas lingkaran, menggunakan koordinat kutub.

Ini sesuai dengan rumus volume sebuah prisma

  • Bola: Volume bola dengan jari-jari R dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta 1 di atas bola, menggunakan koordinat bola.
  • Tetrahedron (segitiga piramida atau 3 - simpleks): Volume tetrahedron dengan puncaknya pada titik asal dan tepi panjang sepanjang x-, y- dan z-sumbu dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta 1 di atas tetrahedron.
Hal ini sesuai dengan rumus volume sebuah piramid
Example of an improper domain.

Beberapa integral tak wajar[sunting | sunting sumber]

Dalam kasus domain tidak terikat atau fungsi tidak terikat di dekat batas domain, kita harus memperkenalkan double integral tidak tepat atau integral tidak tepat rangkap tiga.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ a b Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals, 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8
  2. ^ Larson; Edwards (2014). Kalkulus Multivariabel (edisi ke-10th). Cengage Learning. ISBN 978-1-285-08575-3. 
  3. ^ Jones, Frank (2001). Integrasi Lebesgue di Ruang EuklidesAkses gratis dibatasi (uji coba), biasanya perlu berlangganan. Jones and Bartlett. hlm. 527–529. [tanpa ISBN]

Pranala luar[sunting | sunting sumber]