Garis bilangan real

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Lompat ke: navigasi, cari
Garis bilangan real

Garis bilangan real (bahasa Inggris: real number line atau real line) dalam matematika, adalah garis di mana setiap titiknya melambangan suatu bilangan real. Jadi, garis bilangan real adalah himpunan semua bilangan real R, dipandang sebagai suatu ruang geometri, yaitu ruang Euklidean dalam satu dimensi.

Sebagai continuum linear[sunting | sunting sumber]

Garis bilangan real adalah suatu continuum linear menurut tatanan < standar. Secara khusus, garis bilangan real adalah himpunan tatanan linear menurut <, dan tatanan ini adalah dense dan mempunyai sifat batasan-bawah-terkecil.

Sebagai ruang metrik[sunting | sunting sumber]

Metrik pada garis bilangan real adalah perbedaan absolut.

Garis bilangan real membentuk suatu ruang metrik, dengan fungsi jarak yang dinyatakan oleh perbedaan absolut:

d(x, y)  =  | xy | .

Sebagai ruang topologi[sunting | sunting sumber]

Garis bilangan real dapat mengalami kompaktifikasi dengan penjumlahan suatu titik pada tak terhingga.

Garis bilangan real memuat suatu topologi standar yang dapat diperkenalkan dalam dua jalan ekuivalen yang berbeda.

  • Pertama, karena bilangan real adalah tertata total, bilangan-bilangan itu memuat topologi tatanan.
  • Kedua, bilangan-bilangan real mewarisi suatu topologi metrik dari metrik sesuai definisi di atas. Topologi tatanan dan topologi metrik pada R adalah sama. Sebagai suatu ruang topologi, garis bilangan real bersifat homeomorfik pada interval terbuka (0, 1).

Sebagai suatu ruang vektor[sunting | sunting sumber]

Garis bilangan real adalah suatu ruang vektor atas bidang R dari bilangan real (yaitu, atas dirinya sendiri) dari dimensi 1. Mempunyai suatu produk dalam standar, membuatnya suatu ruang Euklidean. (Produk dalam hanyalah suatu perkalian biasa dari bilangan-bilangan real.) norma standar pada R adalah sekadar fungsi nilai absolut.

Sebagai suatu ruang pengukuran[sunting | sunting sumber]

Garis bilangan real memuat suatu pengukuran kanonikal, yaitu "pengukuran Lebesque". Pengukuran ini dapat didefinisikan sebagai kelengkapan suatu pengukuran Borel yang didefinisikan pada R, di mana pengukuran pada interval apapun merupakan panjang dari interval itu.

Pengukuran Lebesgue pada garis bilangan real adalah satu contoh paling sederhana dari suatu pengukuran Haar pada sebuah kelompok kompak lokal.

Dalam aljabar bilangan real[sunting | sunting sumber]

Garis bilangan real merupakan sub-ruang satu dimensi dari suatu aljabar bilangan real A di mana RA. Misalnya, dalam bidang kompleks z = x + iy, sub-ruang {z : y = 0} adalah suatu garis bilangan real. Mirip dengan itu, aljabar kuaternion

q = w + x i + y j + z k

mempunyai suatu garis bilangan real dalam sub-ruang {q : x = y = z = 0 }.

Ketika aljabar bilangan real adalah suatu jumlah langsung maka suatu konjugasi pada A dinyatakan dengan pemetaan sub-ruang V. Secara demikian garis bilangan real terdiri dari titik-titik tetap pada konjugasi itu.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]