Medan (matematika)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Lapangan atau medan dalam matematika adalah suatu struktur aljabar dengan operasi seperti penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang memenuhi aksioma tertentu. Lapangan yang kerap kali dijumpai adalah lapangan bilangan riil, lapangan bilangan kompleks dan bilangan rasional.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Contoh sebuah lapangan adalah himpunan bilangan rasional Q. Dalam Q terdapat empat operasi dasar: penjumlahan bersama dengan pengurangan, dan perkalian dengan pembagian. Secara intuitif, suatu lapangan adalah himpunan bilangan yang memiliki empat operasi seperti itu. Agar memenuhi syarat sebagai lapangan, operasi-operasi tersebut harus memenuhi aksioma tertentu.

Sebuah lapangan adalah sebuah himpunan, misalkan dinamakan F, bersama dengan dua operasi biner, yang biasanya dinamakan sebagai penambahan dan perkalian, masing-masing dilambangkan sebagai + dan ·, sehingga aksioma berikut berlaku:

Tertutup terhadap penambahan dan perkalian
Untuk semua a, b anggota F, baik a + b dan a · b ada dalam F (atau, dengan rumusan lebih formal, + dan . adalah operasi biner terhadap F).
Sifat asosiatif penambahan dan perkalian
Untuk semua a, b, and c dalam F, persamaan berikut berlaku:

a + (b + c) = (a + b) + c dan a · (b · c) = (a · b) · c.

Sifat komutatif penjumlahan dan perkalian
Untuk semua a dan b dalam F, kesamaan berikut berlaku:

a + b = b + a dan a · b = b · a.

Unsur identitas dalam penambahan dan perkalian
Terdapat anggota atau unsur F, yang dinamakan unsur identitas penambahan yang dilambangkan sebagai 0, sehingga untuk semua a dalam F,

a + 0 = a. Begitu pula, terdapat anggota, yang dinamakan sebagai unsur identitas perkalian yang dilambangkan dengan 1, sehingga untuk semua a dalam F, a · 1 = a. Unsur identitas penambahan dan perkalian disyaratkan berbeda, untuk alasan teknis.

Invers penambahan dan perkalian
Untuk setiap a dalam F, terdapat sebuah anggota, -a dalam F, sehingga

a + (−a) = 0. Dengan cara yang sama, untuk setiap a dalam F selain 0, terdapat anggota a−1 in F,sehingga a · a−1 = 1. (Unsur a + (−b) dan a · b−1 masing-masing dinamakan a − b and a/b) Dengan kata lain, terdapat operasi pengurangan dan pembagian.

Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
Untuk semua a, b dan c dalam F, kesamaan berikut berlaku:

a · (b + c) = (a · b) + (a · c).

Pranala luar[sunting | sunting sumber]