Gelanggang komutatif

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam teori gelanggang, cabang dari aljabar abstrak, gelanggang komutatif adalah gelanggang dengan operasi perkalian komutatif. Studi tentang cincin komutatif disebut aljabar komutatif. Sebagai pelengkap, aljabar nonkomutatif adalah studi tentang gelanggang nonkomutatif di mana perkalian tidak diperlukan untuk menjadi komutatif.

Templat:Ring theory sidebar

Definisi dan contoh pertama[sunting | sunting sumber]

Gelanggang adalah himpunan R yang dilengkapi dengan dua operasi biner, yaitu operasi yang menggabungkan dua elemen cincin ke sepertiga. Mereka disebut penjumlahan dan perkalian dan biasanya dilambangkan dengan "+" dan "⋅"; misalnya a + b dan ab. Untuk membentuk sebuah cincin, kedua operasi ini harus memenuhi sejumlah sifat: cincin harus berupa kelompok abelian di bawah penjumlahan serta monoid di bawah perkalian, di mana perkalian mendistribusikan melebihi penjumlahan; yaitu, a ⋅ (b + c) = (ab) + (ac). Elemen identitas untuk penjumlahan dan perkalian masing-masing dilambangkan dengan 0 dan 1.

Jika perkaliannya komutatif, yaitu

ab = ba,

maka cincin R disebut komutatif . Di sisa artikel ini, semua cincin akan komutatif, kecuali secara eksplisit dinyatakan lain.

Contoh pertama[sunting | sunting sumber]

Sebuah contoh penting, dan dalam arti penting, adalah gelanggang bilangan bulat Z dengan dua operasi penjumlahan dan perkalian. Karena perkalian bilangan bulat adalah operasi komutatif, ini adalah gelanggang komutatif. Biasanya dilambangkan dengan Z sebagai singkatan dari Jerman kata Zahlen (bilangan).

Sebuah bidang adalah gelanggang komutatif di mana dan setiap bukan nol elemen a dapat dibalik; Yaitu, memiliki pembalikan perkalian b sehingga ab = 1. Oleh karena itu, menurut definisi, bidang apa pun adalah cincin komutatif. Bidang bentuk rasional, nyata dan bilangan kompleks.

Jika R adalah cincin komutatif tertentu, maka himpunan dari semua polinomial dalam variabel X yang koefisiennya ada di R membentuk gelanggang polinomial, dilambangkan R[X]. Hal yang sama berlaku untuk beberapa variabel.

Jika V adalah beberapa spasi topologi, misalnya subset dari beberapa Rn, fungsi kontinu nilai riil atau kompleks pada V membentuk gelanggang komutatif. Hal yang sama juga berlaku untuk terdiferensiasi atau fungsi holomorfik, ketika dua konsep didefinisikan, seperti untuk V manifold kompleks.

Pembagian[sunting | sunting sumber]

Berbeda dengan bidang, di mana setiap elemen bukan nol dapat dibalik secara multiplikasi, konsep dapat dibagi untuk gelanggang. Sebuah elemen a dari gelanggang R disebut sebagai unit jika memiliki invers perkalian. Jenis elemen khusus lainnya adalah pembagi nol, yaitu elemen a sedemikian rupa sehingga terdapat elemen bukan nol b dari cincin tersebut sehingga ab = 0. Jika R tidak memiliki pembagi bukan nol nol, itu disebut domain integral (atau domain). Sebuah elemen a yang memuaskan an = 0 untuk beberapa bilangan bulat positif n disebut nilpoten.

Lokalisasi[sunting | sunting sumber]

Lokalisasi cincin adalah proses di mana beberapa elemen dibuat dapat dibalik, yaitu pembalikan perkalian ditambahkan ke gelanggang. Secara konkret, jika S adalah subset yang ditutup secara multiplik dari R (yaitu s, tS lalu begitu juga st ) lalu lokalisasi dari R pada S , atau gelanggang pecahan dengan penyebut di S , biasanya dilambangkan S−1R terdiri dari simbol

dengan rR, sS

kaidah tertentu yang meniru pembatalan akrab dari bilangan rasional. Memang, dalam bahasa ini Q adalah pelokalan dari Z di semua bilangan bulat bukan nol. Konstruksi ini berfungsi untuk domain integral R , bukan Z. Lokalisasi (R \ {0})−1R adalah bidang, yang disebut bidang hasil bagi dari R .

Ideal dan modul[sunting | sunting sumber]

Banyak dari pengertian berikut juga ada untuk cincin komutatif tidak harus, tetapi definisi dan sifat biasanya lebih rumit. Misalnya, semua ideal dalam lingkaran komutatif secara otomatis dua sisi, yang sangat menyederhanakan situasi.

Modul dan ideal[sunting | sunting sumber]

Untuk gelanggang R , adalah seperti ruang vektor untuk sebuah bidang. Artinya, elemen dalam modul dapat ditambahkan; mereka dapat dikalikan dengan elemen R yang tunduk pada aksioma yang sama seperti pada ruang vektor. Studi tentang modul secara signifikan lebih terlibat daripada studi ruang vektor di aljabar linear, karena beberapa fitur ruang vektor gagal untuk modul secara umum: modul tidak perlu bebas, yaitu, dalam bentuk

Bahkan untuk modul gratis, peringkat modul bebas (yaitu analog dari dimensi ruang vektor) mungkin tidak terdefinisi dengan baik. Akhirnya, submodul dari modul yang dibuat secara terbatas tidak perlu dibuat secara terbatas (kecuali R adalah Noetherian, lihat di bawah).

Ideal[sunting | sunting sumber]

Ideal dari gelanggang R adalah submodul dari R , yaitu modul yang terdapat dalam R . Lebih detail, ideal I adalah subset yang tidak kosong dari R sehingga untuk semua r pada R , i dan j pada I , baik ri dan i + j pada I . Untuk berbagai aplikasi, memahami cita-cita sebuah cincin sangat penting, tetapi seringkali seseorang melanjutkan dengan mempelajari modul secara umum.

Setiap cincin memiliki dua ideal, yaitu nol ideal {0} dan R , keseluruhan cincin. Kedua cita-cita ini adalah satu-satunya justru jika R adalah sebuah bidang. Diberikan himpunan bagian F = {fj}jJ of R (di mana J adalah beberapa set indeks), ideal yang dihasilkan oleh F adalah ideal terkecil yang berisi F . Secara ekivalen, ini diberikan oleh kombinasi linear terbatas

r1f1 + r2f2 + ... + rnfn.

Domain ideal utama[sunting | sunting sumber]

Jika F terdiri dari satu elemen r , ideal yang dihasilkan oleh F terdiri dari kelipatan r , yaitu elemen dengan bentuk rs untuk elemen s . Cita-cita seperti itu disebut cita-cita pokok. Jika setiap cita-cita adalah cita-cita prinsipal, R disebut sebagai gelanggang ideal pokok; dua kasus penting adalah Z dan k[X], cincin polinomial di atas bidang k . Keduanya adalah domain tambahan, sehingga disebut domain ideal utama.

Tidak seperti cincin umum, untuk domain ideal utama, sifat elemen individu sangat terikat dengan sifat cincin secara keseluruhan. Misalnya, setiap domain ideal utama R adalah domain faktorisasi unik (UFD) yang berarti bahwa setiap elemen adalah produk dari elemen yang tidak dapat direduksi, dengan cara yang unik (hingga penataan ulang faktor). Di sini, elemen a dalam domain disebut tak tereduksi jika satu-satunya cara untuk mengekspresikannya sebagai produk

a = bc,

adalah dengan b atau c menjadi satu unit. Contoh, penting dalam teori medan, adalah polinomial tak tersederhanakan, yaitu elemen tak tersederhanakan dalam k[X], untuk bidang k . Fakta bahwa Z adalah UFD dapat dinyatakan lebih elementer dengan mengatakan bahwa bilangan asli apa pun dapat didekomposisi secara unik sebagai hasil perkalian bilangan prima. Ia juga dikenal sebagai teorema dasar aritmetika.

Unsur a adalah elemen utama jika setiap kali a membagi produk bc , a membagi b atau c . Dalam sebuah domain, menjadi prima berarti tidak dapat direduksi. Kebalikannya benar dalam domain faktorisasi unik, tetapi salah secara umum.

Spektrum gelanggang komutatif[sunting | sunting sumber]

Ideal utama[sunting | sunting sumber]

Seperti disebutkan di atas, Z adalah domain faktorisasi unik. Ini tidak benar untuk cincin yang lebih umum, seperti yang disadari oleh ahli aljabar pada abad ke-19. Misalnya, dalam

ada dua cara yang sangat berbeda untuk menulis 6 sebagai produk:

Ideal utama, sebagai lawan dari elemen utama, menyediakan cara untuk menghindari masalah ini. Ideal utama adalah ideal yang tepat (yaitu, secara ketat terkandung dalam R ) p sedemikian rupa, setiap kali produk ab dari dua elemen cincin a dan b ada di p , setidaknya satu dari dua elemen sudah ada di p . (Kesimpulan yang berlawanan berlaku untuk ideal apa pun, menurut definisi). Jadi, jika sebuah ideal prima adalah prinsipal, ia secara ekuivalen dihasilkan oleh elemen prima. Namun, di gelanggang seperti itu , ideal utama tidak perlu menjadi prinsipal. Ini membatasi penggunaan elemen prima dalam teori gelanggang. Landasan teori bilangan aljabar adalah, bagaimanapun, fakta bahwa dalam gelanggang Dedekind (yang mencakup dan lebih umum gelanggang bilangan bulat di bidang bilangan) setiap ideal (seperti yang dihasilkan oleh 6) terurai secara unik sebagai produk dari ideal prima.

Spektrum[sunting | sunting sumber]

Spek (Z) berisi titik untuk ideal nol. Penutupan titik ini adalah seluruh ruang. Poin yang tersisa adalah poin yang sesuai dengan cita-cita ( p ), di mana p adalah bilangan prima. Poin-poin ini adalah c.

Spektrum gelanggang R ,[nb 1] dilambangkan dengan Spec R , adalah himpunan dari semua cita-cita utama dari R . Ia dilengkapi dengan topologi, topologi Zariski, yang mencerminkan sifat aljabar R : dasar subset terbuka diberikan oleh

D(f) = {pSpec R, fp}, di mana f adalah elemen cincin apa saja.

Menafsirkan f sebagai fungsi yang mengambil nilai f mod p (yaitu, gambar f di bidang residu R/p), subset ini adalah lokus di mana f bukan nol. Spektrum juga membuat intuisi yang tepat bahwa lokalisasi dan cincin faktor saling melengkapi: peta alam RRf dan RR / fR sesuai, setelah memberikan spektrum cincin tersebut dengan topologi Zariski mereka, untuk melengkapi open dan perendaman tertutup]. Bahkan untuk gelanggang dasar, seperti yang diilustrasikan untuk R = Z di sebelah kanan, topologi Zariski sangat berbeda dari yang ada pada himpunan bilangan real.

Spektrum berisi kumpulan ideal maksimal, yang terkadang dilambangkan dengan mSpek (R). Untuk bidang tertutup aljabar k , mSpek (k[T1, ..., Tn] / (f1, ..., fm)) berada di bijeksi dengan himpunan

{x =(x1, ..., xn) ∊ kn | f1(x) = ... = fm(x) = 0.}

Dengan demikian, ideal maksimal mencerminkan sifat geometris kumpulan solusi polinomial, yang merupakan motivasi awal untuk mempelajari gelanggang komutatif. Namun, pertimbangan ideal non-maksimal sebagai bagian dari sifat geometris sebuah gelanggang berguna karena beberapa alasan. Misalnya, ideal prima minimal (yaitu, yang tidak hanya berisi yang lebih kecil) sesuai dengan komponen tak tersederhanakan dari Spek R . Untuk gelanggang Noetherian R , Spek R hanya memiliki banyak komponen tak tersederhanakan. Ini adalah pernyataan kembali geometris dari dekomposisi primer, yang dengannya setiap ideal dapat diuraikan sebagai produk dari banyak ideal primer. Fakta ini adalah generalisasi akhir dari dekomposisi menjadi ideal utama dalam gelanggang Dedekind.

Gelanggang homomorfisme[sunting | sunting sumber]

Gelanggang homomorfisme atau, lebih seringnya, hanya peta , adalah peta f : R S sehingga

f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b) and f(1) = 1.

Kondisi ini memastikan f(0) = 0. Mirip dengan struktur aljabar lainnya, homomorfisme cincin dengan demikian merupakan peta yang kompatibel dengan struktur objek aljabar yang dimaksud. Dalam situasi seperti itu, S juga disebut R , dengan memahami bahwa s dalam S dapat dikalikan dengan beberapa r dari R ' ', dengan pengaturan

r · s := f(r) · s.

Kernel dan geleri dari f didefinisikan oleh ker (f) = {rR, f(r) = 0} and im (f) = f(R) = {f(r), rR}. Kernel adalah ideal dari R , dan image adalah subgelanggang dari S .

Homomorfisme cincin disebut isomorfisme jika bersifat bijektiva. Contoh isomorfisme cincin, yang dikenal sebagai Teorema sisa Cina, adalah

dimana n = p1p2...pk adalah produk dari bilangan prima yang berbeda berpasangan.

Cincin komutatif, bersama dengan homomorfisme cincin, membentuk kategori. Gelanggang Z adalah objek awal dalam kategori ini, yang berarti bahwa untuk setiap gelanggang komutatif R , ada homomorfisma gelanggang unik Z R . Melalui peta ini, integer n dapat dianggap sebagai elemen R . Misalnya, rumus binomial

yang berlaku untuk dua elemen a dan b dalam setiap cincin komutatif R dipahami dalam pengertian ini dengan menafsirkan koefisien binomial sebagai elemen R menggunakan peta ini.

Sifat universal dari S R T menyatakan bahwa untuk dua peta S W dan T W yang membuat bolak-balik segi empat luar, ada peta unik S R TW yang membuat seluruh diagram bolak-balik.

Diberikan dua R -aljabar S dan T , produk tensor mereka

SR T

lagi-lagi merupakan aljabar komutatif R . Dalam beberapa kasus, hasil kali tensor dapat berfungsi untuk mencari T yang terkait dengan Z karena S terkait dengan R . Sebagai contoh,

R[X] ⊗R T = T[X].

Sifat[sunting | sunting sumber]

Dengan Teorema Wedderburn, setiap cincin pembagian berhingga adalah komutatif, dan karenanya medan berhingga. Kondisi lain yang memastikan komutatifitas cincin, karena Jacobson, adalah sebagai berikut: untuk setiap elemen r dari R terdapat bilangan bulat n > 1 maka rn = r.[1] Jika, r2 = r untuk setiap r , gelanggang itu disebut gelanggang Boolean. Kondisi yang lebih umum yang menjamin komutatifitas gelanggang juga diketahui.[2]

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Gagasan ini dapat dikaitkan dengan spektrum dari operator linier, lihat Spektrum aljabar C* dan representasi Gelfand.

Kutipan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Jacobson 1945
  2. ^ Pinter-Lucke 2007

Referensi[sunting | sunting sumber]