Penjumlahan

Dalam matematika, penjumlahan adalah penambahan dari suatu urutan bilangan apa pun, hasilnya adalah jumlah atau total mereka. Selain bilangan, tipe nilai lainnya dapat dijumlahkan juga: fungsi, vektor, matriks, polinomial dan, secara umum, anggota dari semua jenis objek matematika di mana operasi yang dilambangkan "+" didiefinisikan.

Penjumlahan tak hingga disebut deret tak hingga. Mereka melibatkan konsep limit, dan tidak dipertimbangkan dalam artikel ini.

Penjumlahan dari urutan eksplisit dilambangkan sebagai suksesi penambahan. Sebagai contoh, penjumlahan $[1,2,4,2]$ dilambangkan $1+2+4+2$, dan menghasilkan $9$, yaitu, $1+2+4+2=9$. Karena penambahan bersifat asosiatif dan komutatif, maka tidak perlu tanda kurung, dan hasilnya tidak tergantung pada urutan puncak. Penjumlahan dari urutan hanya satu elemen menghasilkan elemen ini sendiri. Penjumlahan dari urutan kosong (urutan dengan elemen nol) hasil, dengan konvensi, dalam 0.

Sangat sering, elemen-elemen dari suatu urutan didefinisikan, melalui pola reguler, sebagai fungsi tempat mereka dalam urutan. Untuk pola sederhana, penjumlahan dari deretan panjang dapat direpresentasikan dengan sebagian besar penjumlahan digantikan oleh elips. Sebagai contoh, penjumlahan dari 100 bilangan asli pertama dapat ditulis $1+2+3+4+\cdots +99+100$. Jika tidak, penjumlahan dinotasikan dengan menggunakan notasi Σ, di mana $\sum$ adalah huruf Yunani Sigma yang diperbesar. Sebagai contoh, jumlah bilangan bulat $n$ alami pertama dilambangkan $\sum _{i=1}^{n}i$.

Untuk penjumlahan panjang, dan penjumlahan dari panjang variabel (didefinisikan dengan elips atau notasi Σ), itu adalah masalah umum untuk menemukan ekspresi bentuk-tertutup untuk hasilnya. Sebagai contoh,

$\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$.

Meskipun rumus seperti itu tidak selalu ada, banyak rumus penjumlahan telah ditemukan. Beberapa yang paling umum dan dasar tercantum dalam artikel ini.

Notasi

Notasi kapital Sigma

Notasi matematis menggunakan simbol yang secara ringkas mewakili penjumlahan dari banyak istilah yang serupa: simbol penjumlahan, $\sum$, bentuk diperbesar dari huruf Yunani tegak huruf Yunani Sigma. Ini didefinisikan sebagai:

$\sum _{i=m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$

Dimana $i$ adalah indeks penjumlahan; $a_{i}$ adalah variabel yang diindeks yang mewakili setiap istilah dari jumlah; $m$ adalah batas bawah penjumlahan, dan $n$ adalah batas atas penjumlahan. "$i=m$" di bawah simbol penjumlahan berarti bahwa indeks saya mulai sama dengan $m$. Indeks, $i$, bertambah satu untuk setiap istilah berturut-turut, berhenti ketika $i=n$.

Ini dibaca "penjumlahan pada $a_{i}$ dari $i=m$ ke $n$".

Berikut adalah contoh yang menunjukkan penjumlahan kuadrat:

$\sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86$.

Penulisan informal terkadang menghilangkan definisi indeks dan batasan penjumlahan ketika ini jelas dari konteksnya, seperti pada:

$\sum a_{i}=\sum _{i=m}^{n}a_{i}$

Kita sering melihat generalisasi dari notasi ini di mana suatu kondisi logis sebarang disediakan, dan jumlah tersebut dimaksudkan untuk diambil alih semua nilai yang memenuhi kondisi tersebut. Berikut ini beberapa contoh umum:

$\sum _{0<k\leq 100}f(k)$

adalah jumlah pada $f(k)$ untuk seluruh bilangan bulat $k$ dalam rentang yang ditentukan,

$\sum _{x\in S}f(x)$

adalah jumlah pada $f(x)$, untuk seluruh anggota $x$ pada himpunan $S$.

$\sum _{d|n}\mu (d)$

adalah jumlah pada $\mu (d)$, untuk seluruh bilangan bulat positif $d$ membagi $n$.

Ada juga cara untuk menggeneralisasi penggunaan banyak notasi Sigma. Sebagai contoh,

$\sum _{i,j}$

Ini sama saja dengan

$\sum _{i}\sum _{j}$.

Notasi yang sama diterapkan ketika datang untuk menunjukkan produk dari suatu urutan, yang mirip dengan notasi Sigma, tetapi yang menggunakan operasi perkalian alih-alih penambahan (dan memberikan 1 untuk urutan kosong, bukan 0). Struktur dasar yang sama digunakan, dengan $\prod$, adalah huruf kapital Pi Yunani, menggantikan $\sum$.

Kasus spesial

Dimungkinkan untuk menjumlahkan kurang dari 2 angka:

• Jika penjumlahan memiliki satu penjumlahan $x$, maka jumlah yang dievaluasi adalah $x$.
• Jika penjumlahan tidak memiliki penjumlahan, maka jumlah yang dievaluasi adalah nol, karena nol adalah identitas tambahan. Ini dikenal sebagai jumlah kosong.

Definisi formal

Penjumlahan dapat didefinisikan secara rekursif sebagai berikut

$\sum _{i=a}^{b}g(i)=0,\ {\textrm {jika}}\ a>b$.

$\sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i),\ {\textrm {jika}}\ b\geq a$

Notasi teorema pengukuran

Dalam notasi teori ukuran dan integrasi, jumlah dapat dinyatakan sebagai integral tentu,

$\sum _{k=a}^{b}f(k)=\int _{[a,b]}f\ d\mu$

di mana $[a,b]$ adalah himpunan bagian bilangan bulat dari $a$ ke $b$, dan di mana $\mu$ adalah ukuran penghitungan.

Kalkulus pada perbedaan hingga

Diberikan fungsi $f$ yang didefinisikan atas bilangan bulat dalam interval $[m,n]$, kita memiliki:

$f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}[f(i+1)-f(i)]$

$f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f^{\prime }(x)\ dx$,

dimana:

$f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

adalah turunan dari fungsi $f$.

Contoh penerapan persamaan di atas adalah:

$n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right)$

Dengan menggunakan teorema binomial, ini ditulis ulang sebagai:

$n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left(\sum _{j=0}^{i-1}{\binom {k}{j}}x^{j}\right)$.

Rumus di atas lebih umum digunakan untuk membalik dari operator selisih $\Delta$ yang didefinisikan oleh

$\Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n)$

Dimana $f$ adalah fungsi yang didefinisikan pada bilangan bulat tidak negatif. Jadi, mengingat fungsi $f$ seperti itu, masalahnya adalah menghitung antiselisih dari $f$, yaitu fungsi $F=\Delta ^{-1}f$ sedemikian rupa sehingga $\Delta F=f$, yaitu, $F(n+1)-F(n)=f(n)$. Fungsi ini didefinisikan hingga penambahan konstanta, dan dapat dipilih sebagai:

$F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i)$

Tidak selalu ada ekspresi bentuk-tertutup untuk penjumlahan tersebut, tetapi rumus Faulhaber menyediakan formulir tertutup dalam kasus $f(n)=n^{k}$ dan, dengan linearitas untuk setiap fungsi polinomial $n$.

Aproksimasi oleh integral tentu

Banyaknya aproksimasi semacam itu dapat diperoleh dengan koneksi berikut antara notasi Sigma dan integral, yang berlaku untuk semua:

Peningkatan fungsi $f$

$\int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds$

Penurunan fungsi $f$

$\int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds$

Untuk perkiraan yang lebih umum, lihat rumus Euler-Maclaurin.

Untuk penjumlahan di mana penjumlahan diberikan (atau dapat diinterpolasi) oleh fungsi indeks yang dapat diintegrasikan, penjumlahan tersebut dapat diinterpretasikan sebagai jumlah Riemann yang terjadi dalam integral tentu yang sesuai.

${\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx$.

karena sisi kanan adalah definisi batas untuk $n\to \infty$ dari sisi kiri. Namun, untuk penjumlahan tertentu $n$ diperbaiki, dan sedikit yang bisa dikatakan tentang kesalahan dalam perkiraan di atas tanpa asumsi tambahan tentang $f$: jelas bahwa untuk fungsi berosilasi liar, jumlah Riemann dapat secara sebarang jauh dari integral Riemann.

Identitas

Rumus di bawah ini melibatkan jumlah terbatas; untuk penjumlahan tak terhingga atau penjumlahan terhingga pada ekspresi yang melibatkan fungsi trigonometri atau fungsi transendental lainnya, lihat daftar deret-deret matematika.

Identitas Umum

$\sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad$ , (distributif)

$\sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)\pm g(n)\right]\quad :$ , (asosiatif dan komutatif)

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s\pm p}^{t\pm p}f(n\mp p)$ , (pergeseran indeks)

$\sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m))$ , untuk bijeksi $\sigma$ dari himpunan terbatas $A$ ke himpunan $B$ (perubahan indeks); ini menggeneralisasi formula sebelumnya.

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)$ , (memecahkan jumlah, menggunakan sifat asosiatif).

$\sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)$ , (varian dari rumus sebelumnya).

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)$ , (jumlah dari istilah pertama hingga yang terakhir sama dengan jumlah dari yang terakhir hingga yang pertama).

$\sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)$ , (kasus rumus tertentu di atas).

$\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}$ , (asosiatif dan komutatif, lagi)

$\sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}$ , (penerapan pada asosiatif dan komutatif)

$\sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)$ , (memecahkan jumlah menjadi bagian yang ganjil dan genap, untuk indeks genap)

$\sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)$ , (memecahkan jumlah menjadi bagian yang ganjil dan genap, untuk indeks ganjil)

$\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}\right)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}$ , (distributif)

$\sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}=\left(\sum _{i=s}^{m}a_{i}\right)\left(\sum _{j=t}^{n}c_{j}\right)$ , (distributif yang memungkinkan faktorisasi)

$\sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)$ , (logaritma suatu produk adalah jumlah dari faktor-faktor logaritma)

$C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}$ , (eksponensial dari jumlah adalah produk dari eksponensial pada penjumlahan)

Eksponen dan logaritma pada deret aritmetika

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=nc\quad }$, untuk setiap $c$ yang tidak bergantung pada $i$.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad }$ , (jumlah dari perkembangan aritmetika yang paling sederhana, terdiri dari $n$ bilangan asli pertama)

$\sum _{i=1}^{n}[2i-1]=n^{2}$ , (jumlah bilangan asli ganjil pertama).

$\sum _{i=0}^{n}[2i]=n(n+1)$ , (jumlah bilangan asli genap pertama).

$\sum _{i=1}^{n}\log i=\log n!$ , (jumlah dari logaritma adalah logaritma produk)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad }$, (jumlah kuadrat pertama, lihat bilangan piramidal persegi)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad }$ , (Teorema Nicomachus)

Lebih umum, terdapat rumus Faulhaber,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}\,n^{p-k+1}}$

Dimana $B_{k}$ melambangkan bilangan Bernoulli, dan ${\binom {p}{k}}$ adalah koefisien binomial.

Indeks Penjumlahan dalam Eksponen

Dalam penjumlahan berikut, $a$ diasumsikan berbeda dari $1$.

$\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}$ , (jumlah pada sebuah deret geometri)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}}$ , (kasus spesial untuk $a={\frac {1}{2}}$)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}$ , ($a$ dikali turunan terhadap $a$ pada deret geometri)

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}}$ , (jumlah pada sebuah deret aritmetika-geometri)

Koefisien binomial dan faktorial

Artikel Utama: Koefisien Binomial dan Jumlah pada Koefisien Binomial

Ada sangat banyak penjumlahan identitas yang melibatkan koefisien binomial (seluruh bab Concrete Mathematics dikhususkan hanya untuk teknik dasar). Beberapa yang paling mendasar adalah sebagai berikut.

Melibatkan Teorema Binomial

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n}}$ , teorema binomial

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}}$ , kasus spesial untuk $a=b=1$.

$}{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1$ , kasusu spesial dimana $p=a=1-b$, dimana $0\leq p\leq 1$, mengekspresikan jumlah pada distribusi binomial.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1})}$ , nilai ketika $a=b=1$ pada turunan terhadap $a$ pada teorema binomial.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}}$ , nilai ketika $a=b=1$ pada antiturunan terhadap $a$ pada teorema binomial.

Melibatkan permutasi

Dalam penjumlahan berikut, $_{n}P_{k}$ adalah jumlah permutasi $k$ dari $n$.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})}$

$\sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}}$, dimana $\lfloor x\rfloor$ menyatakan fungsi floor.

Lainnya

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}\left({\begin{array}{c}n+k\\n\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}n+m+1\\n+1\\\end{array}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}}$

Bilangan harmonik

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}$ , (itu adalah bilangan harmonik $n$)

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}$ , (itu adalah bilangan harmonik umum $n$)

Pertumbuhan rata-rata

Berikut ini adalah aproksimasi yang berguna (menggunakan notasi theta):c

$\sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})$, untuk bilangan real $c$ lebih besar daripada $-1$.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log _{e}n)}$, lihat bilangan Harmonik.

$\sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})$, untuk bilangan real $c$ lebih besar daripada $1$.

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})$, untuk bilangan real non-negatif $c$.

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})$, untuk bilangan real non-negatif $c$, $d$.

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})$, untuk bilangan real non-negatif $b>1$, $c$, $d$.

Lihat pula

• Notasi Einstein
• Kurung Iverson
• Opearsi biner berulang
• Algoritma penjumlahan Kahan
• Produk pada deret
• Produk (matematika)

Catatan

1. ^ Untuk penjelas, lihat bilangan triangular.
2. ^ Untuk penjelas terinci pada notasi Sigma dan Aritmetika dengan penjumlahan, lihat Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). "Chapter 2: Sums". Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (PDF) (2nd ed.). Addison-Wesley Professional. ISBN 978-0201558029.^{[permanent dead link]}
3. ^ Meskipun nama variabel boneka tidak masalah (menurut definisi), orang biasanya menggunakan huruf dari tengah alfabet ($i$ melalui $q$) untuk menunjukkan bilangan bulat, jika ada risiko kebingungan. Sebagai contoh, bahkan jika seharusnya tidak ada keraguan tentang interpretasi, itu bisa terlihat sedikit membingungkan bagi banyak matematikawan untuk melihat $x$ daripada $k$ dalam rumus di atas yang melibatkan. Lihat juga konvensi tipografi dalam rumus matematika.

Sumber

1. Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics, Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1

Bacaan lebih lanjut

• Matematika SMA dan MA jilid 3B untuk Kelas XII Semester II Program IPA. Sri Kurnianingsih. Jakarta: Esis. 2007. ISBN 978-979-015-297-7.