Gelanggang hasil bagi

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Templat:Ring theory sidebar

Dalam teori gelanggang, cabang dari aljabar abstrak, gelanggang hasil bagi, juga dikenal sebagai gelanggang faktor, gelanggang perbedaan[1] atau gelanggang kelas residu, adalah konstruksi yang sangat mirip dengan kelompok hasil bagi dari teori kelompok dan ruang hasil bagi dari aljabar linear.[2][3] Ini adalah contoh spesifik dari hasil bagi, dilihat dari pengaturan umum aljabar universal. Yang pertama dimulai dengan cincin R dan ideal dua sisi I di R , dan membuat gelanggang baru, gelanggang hasil bagi R / I, yang elemennya adalah kohimpunan dari I pada R yang tunduk pada operasi + dan khusus.

Gelanggang hasil bagi berbeda dari yang disebut 'bidang hasil bagi', atau bidang pecahan, dari domain integral serta dari 'gelanggang quotients' yang lebih umum diperoleh dengan lokalisasi.

Konstruksi cincin hasil bagi formal[sunting | sunting sumber]

Diberikan sebuah cincin dan ideal dua sisi di , kita dapat mendefinisikan sebuah relasi ekivalen di sebagai berikut:

jika dan hanya jika ada di .

Menggunakan properti yang ideal, tidak sulit untuk memeriksanya adalah hubungan kesesuaian. Dalam hal , kami mengatakan bahwa dan adalah kongruen modulo . Kelas ekivalen dari elemen di diberikan oleh

.

Kelas kesetaraan ini terkadang juga ditulis sebagai dan disebut "kelas residu dari modulo ".

Himpunan dari semua kelas ekivalen dilambangkan dengan ; maka akan menjadi sebuah gelanggang, gelanggang faktor atau gelanggang hasil bagi dari modulo , jika didefinisikan

  • ;
  • .

(Di sini kita harus memeriksa bahwa definisi ini adalah terdefinisi dengan baik. Bandingkan koset dan kelompok hasil bagi.) Elemen nol dari adalah , dan identitas multiplikatifnya .

Peta dari ke didefinisikan oleh adalah surjektif gelanggang homomorfisme, kadang-kadang disebut peta kecerdasan alami atau homomorfisme kanonik.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Jika sebuah gelanggang dan a (dua sisi) ideal dari , kemudian membentuk himpunan dari kelas ekivalen pada modulo sebuah gelanggang dengan tautan berikut:

di mana didefinisikan sebagai .

Cincin ini disebut ring faktor modulo atau ring kelas sisa atau ring hasil bagi. (Namun, ini tidak ada hubungannya dengan istilah bidang hasil bagi atau gelanggang hasil bagi; ini adalah pelokalan.)

Teori ideal[sunting | sunting sumber]

Misalkan menjadi cincin komutatif dengan satu elemen dan sebuah cita-cita. Dari pada

  • ideal cincin persis seperti ideal dari , yang berisi (also )
  • bagian utama cincin persis seperti cita-cita utama yang berisi
  • ideal maksimal ring persis dengan ideal maksimal dari yang berisi

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Jacobson, Nathan (1984). Structure of Rings (edisi ke-revised). American Mathematical Soc. ISBN 0-821-87470-5. 
  2. ^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (edisi ke-3rd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9. 
  3. ^ Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X. 

Referensi lebih lanjut[sunting | sunting sumber]

Pranala luar[sunting | sunting sumber]