Medan hingga

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam matematika, medan berhingga (disebut juga medan Galois dari matematikawan Evariste Galois) adalah medan yang berisi elemen berjumlah berhingga. Seperti medan lainnya, medan berhingga adalah himpunan yang memiliki operasi pertambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang didefinisikan dan memenuhi aturan tertentu. Contoh umum medan berhingga adalah bilangan bulat mod p dengan p adalah bilangan prima.

Medan berhingga adalah dasar dalam beberapa bidang matematika dan ilmu komputer, termasuk teori bilangan, geometri aljabar, teori Galois, geometri berhingga, kriptografi, dan teori kode.

Sifat-sifat[sunting | sunting sumber]

Medan berhingga adalah himpunan berhingga yang termasuk medan, yakni bahwa pertambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian (kecuali pembagian dengan nol) terdefinisi dan memenuhi aturan tertentu yang dikenal sebagai aksioma medan.

Jumlah elemen dalam medan berhingga disebut derajat atau ukuran. Medan berhingga berderajat q ada jika dan hanya jika derajat q adalah perpangkatan prima pk dengan p adalah bilangan prima dan k adalah bilangan bulat positif. Dalam bidang berderajat pk, penambahan elemen apa pun sebanyak p akan menghasilkan nol, yaitu karakteristik medan itu ialah p.

Bila q = pk, semua medan berderajat q isomorfik.[1] Terlebih lagi, suatu medan tidak dapat memiliki dua submedan berhingga dengan derajat yang sama. Semua medan dengan derajat yang sama dapat dituliskan sebagai , Fq, atau GF(q) dengan GF singkatan dari Galois field (medan Galois).[2]

Contoh medan berhingga paling sederhana adalah medan berderajat prima: untuk setiap bilangan prima p, medan prima berderajat p yang disimbolkan dengan GF(p), Z/pZ, , atau Fp dapat disusun dari bilangan bulat modulus p.

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Moore, E. H. (1896), "A doubly-infinite system of simple groups", dalam E. H. Moore; et al., Mathematical Papers Read at the International Mathematics Congress Held in Connection with the World's Columbian Exposition, Macmillan & Co., hlm. 208–242 
  2. ^ Notasi terakhir dikenalkan oleh E. H. Moore pada tahun 1893 dalam International Mathematical Congress yang diselenggarakan di Chicago (Mullen dan Panario, 2013: 10).

Daftar pustaka[sunting | sunting sumber]