Aljabar asosiatif

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam matematika, aljabar asosiatif adalah struktur aljabar dengan operasi penjumlahan, perkalian yang kompatibel (diasumsikan sebagai asosiatif), dan perkalian skalar dengan elemen bidang. Operasi penjumlahan dan perkalian A dengan struktur gelanggang; operasi penjumlahan dan perkalian skalar bersama-sama memberikan A struktur dari ruang vektor di atas K. Dalam artikel ini kita juga akan menggunakan istilah aljabar-K untuk berarti aljabar asosiatif di atas bidang K. Contoh standar pertama dari aljabar-K adalah gelanggang matriks kuadrat di atas bidang K, dengan perkalian matriks biasa.

Aljabar komutatif adalah aljabar asosiatif yang menggunakan perkalian komutatif atau ekuivalen, aljabar asosiatif yang juga merupakan gelanggang komutatif.

Dalam artikel ini, aljabar asosiatif menggunakan identitas perkalian, dilambangkan dengan 1; kadang-kadang disebut aljabar asosiatif unital untuk klarifikasi. Dalam beberapa bidang matematika asumsi tidak dibuat, dan struktur aljabar non-unital dari aljabar asosiatif. Gelanggang adalah unital dari semua homomorfisme gelanggang.

Banyak penulis mempertimbangkan konsep umum dari aljabar asosiatif di atas gelanggang komutatif R, dari bidang: aljabar-R adalah modul-R dengan operasi asosiatif bilinear-R, juga menggunakan identitas perkalian. Untuk contoh konsep ini, jika S adalah gelanggang dengan pemusat C, maka S adalah aljabar asosiatif C.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Misalkan R adalah gelanggang komutatif tetap. Aljabar-R asosiatif (atau lebih singkatan, aljabar-R) adalah aditif grup abelian A menggunakan struktur gelanggang dan modul-R, sehingga perkalian skalar adalah

untuk rR dan x, yA. Selanjutnya, A adalah unital, artinya menggunakan unsur 1 sehingga

untuk xA. Perhatikan bahwa elemen 1 adalah sama dengan.

Maka, A adalah modul-R dengan bilinear-R operasi biner A × AA memiliki sifat asosiatif dan identitas. [1] Jika untuk asosiatif, maka sifat tersebut yaitu aljabar non-asosiatif.

Jika A termasuk komutatif (sebagai gelanggang) maka disebut aljabar-R komutatif.

Sebagai objek monoid dalam kategori modul[sunting | sunting sumber]

Definisi dengan asosiatif unital aljabar-R adalah objek monoid dalam Mod-R (kategori monoidal dari aljabar-R). Menurut definisi, gelanggang adalah benda monoid di kategori grup abelian; pengertian aljabar asosiatif dengan mengganti kategori grup abelian dengan kategori modul.

Mendorong gagasan, beberapa penulis telah memperkenalkan "gelanggang umum" sebagai objek monoid di beberapa kategori lain seperti kategori modul. Maka, reinterpretasi ini memungkinkan untuk referensi eksplisit ke elemen aljabar A. Misalnya, asosiativitas dapat diungkapkan sebagai berikut: dengan sifat universal dari produk tensor modul, perkalian (peta bilinear-R) dengan peta linear-R

.

Asosiatif dengan identitas:

Bentuk homomorfisme gelanggang[sunting | sunting sumber]

Aljabar asosiatif dari homomorfisme gelanggang terletak di pemusat. Maka, dimulai dengan gelanggang A dan homomorfisme gelanggang terletak di antara pemusat dari A, maka A dari aljabar-R dengan mendefinisikan

untuk rR dan xA. Jika A adalah aljabar-R, dengan x = 1, rumus dengan cara mendefinisikan homomorfisme gelanggang dimana citra yang terletak di tengah.

Jika gelanggang bersifat komutatif maka sama dengan pemusatnya, sehingga komutatif aljabar-R didefinisikan sebagai gelanggang komutatif A dengan homomorfisme gelanggang komutatif .

Homomorfisme gelanggang η di atas disebut peta struktur. Dalam kasus komutatif, dapat mempertimbangkan kategori dengan objek homomorfisme gelanggang RA; yaitu, komutatif aljabar-R dan morfisme dari homomorfisme gelanggang AA'; yaitu RAA' adalah RA' (yaitu, kategori coslice dari kategori gelanggang komutatif di bawah R.) Funktor Spek dari spektrum prima menentukan anti-ekuivalen dari kategori dengan kategori skema Affine di atas Spek R.

Cara mengamsumsikan komutatifitas adalah geometri aljabar nonkomutatif dan geometri aljabar turunan. Lihat pula: gelanggang matriks generik.

Homomorfisme aljabar[sunting | sunting sumber]

Homomorfisme diantara aljabar-R adalah linear-R dari homomorfisme gelanggang. Secara eksplisit, adalah homomorfisme aljabar asosiatif jika

Kelas dari aljabar-R dengan homomorfisme aljabar diantara kategori, biasanya dilambangkan dengan R-Alj.

Subkategori dari komutatif aljabar-R dikarakterisasi sebagai kategori coslice R/CGelanggang dimana CGelanggang adalah kategori gelanggang komutatif.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Contoh paling dasar adalah gelanggang; aljabar di atas subgelanggang yang terletak di tengahnya. Secara khusus, gelanggang komutatif apa pun adalah aljabar di atas salah satu subringnya. Contoh lain berlimpah baik dari aljabar dan bidang matematika lainnya.

Aljabar[sunting | sunting sumber]

  • Gelanggang A dapat dianggap sebagai aljabar-Z. Homomorfisme gelanggang dari Z hingga A, 1 ke identitas A. Oleh karena itu, gelanggang dan aljabar-Z adalah konsep ekuivalen, dengan modul grup abelian dan ekuivalen-Z.
  • Gelanggang karakteristik n adalah aljabar-(Z/nZ) dalam penggunaan yang sama.
  • Maka modul-R dari M, gelanggang endomorfisma dari M, dilambangkan EndR(M) adalah aljabar-R dengan mendefinisikan (r·φ)(x) = r·φ(x).
  • Gelanggang matriks dengan koefisien dalam gelanggang komutatif R membentuk aljabar-R di bawah penjumlahan dan perkalian matriks. Sebagai contoh sebelumnya ketika M adalah modul-R yang dihasilkan secara hingga.
  • Persegi n-oleh-n matriks dengan entri dari bidang K membentuk aljabar asosiatif di atas K. Secara khusus, 2 × 2 matriks real membentuk aljabar asosiatif yang berguna dalam pemetaan bidang.
  • Bilangan kompleks membentuk aljabar asosiatif 2 dimensi di atas bilangan riil.
  • Kuaternion membentuk aljabar asosiatif 4 dimensi di atas riil (tetapi bukan aljabar di atas bilangan kompleks, karena bilangan kompleks tidak berada di tengah kuartenion).
  • Polinomial dengan koefisien riil membentuk aljabar asosiatif di atas real.
  • Gelanggang polinomial R[x1, ..., xn] adalah aljabar komutatif R. Maka, aljabar komutatif bebas R di himpunan {x1, ..., xn}.
  • Aljabar-R bebas pada himpunan E adalah aljabar dari 'polinomial' dengan koefisien dalam R dan tak tentu tidak komuter yang diambil dari himpunan E.
  • Aljabar tensor dari modul-R secara alami adalah aljabar-R. Hal yang sama juga berlaku untuk hasil-hasil seperti eksterior dan aljabar simetris. Berbicara secara kategoris, funktor yang memetakan modul-R ke aljabar tensor adjoin kiri ke funktor yang mengirimkan aljabar-R ke modul-R yang mendasari (struktur perkalian).
  • Gelanggang berikut digunakan dalam teori gelanggang-λ. Gelanggang komutatif A, misalkan himpunan deret pangkat formal dengan suku konstanta 1. Merupakan gru0 abelian dengan operasi grup yaitu perkalian deret pangkat. Kemudian gelanggang dengan perkalian, dilambangkan dengan , sehingga ditentukan dengan aksioma gelanggang. Identitas aditif adalah 1 dan identitas perkaliannya adalah . Then memiliki struktur kanonik aljabar- oleh homomorfisme gelanggang
Di sisi lain, jika A adalah gelanggang-λ, maka ada homomorfisme gelanggang
struktur dari aljabar-A.

Teori Representasi[sunting | sunting sumber]

  • Aljabar pembungkus universal dari aljabar Lie adalah aljabar asosiatif yang digunakan untuk mempelajari aljabar Lie.
  • Jika G adalah grup dan R adalah gelanggang komutatif maka himpunan fungsi dari G hingga R dengan bentuk hingga dan aljabar-R dengan konvolusi sebagai perkalian. Aljabar grup dari G. Konstruksi adalah titik awal untuk penerapan studi grup (diskrit).
  • Jika G adalah grup aljabar (misalnya grup Lie kompleks), maka gelanggang koordinat dari G adalah Aljabar hopf A yang bersesuaian dengan G. Struktur G menjadi struktur A.
  • Aljabar kuiver (atau aljabar jalur) dari grafik berarah adalah aljabar asosiatif gratis di atas bidang yang dihasilkan oleh jalur dalam grafik.

Analisis[sunting | sunting sumber]

Geometri dan kombinatorik[sunting | sunting sumber]

Konstruksi[sunting | sunting sumber]

Subaljabar
Subaljabar aljabar-R dari A adalah himpunan bagian dari A yang merupakan subgelanggang dan submodul dari A. Artinya, harus ditutup dengan penjumlahan, perkalian gelanggang, perkalian skalar, dan harus mengandung elemen identitas A.
Aljabar hasil bagi
Misalkan A dari aljabar-R. Gelanggang-teori ideal I dari A secara umum adalah modul-R karena r · x = (r1A)x. Gelanggang hasil bagi A / I struktur dari sebuah modul-R dari aljabar-R. Oleh karena itu, gambar homomorfik gelanggang dari A juga merupakan aljabar R.
Produk langsung
Produk langsung dari aljabar-R adalah produk langsung teori gelanggang. Ini menjadi aljabar-R dengan perkalian skalar.
Produk bebas
bentuk aljabar bebas dari aljabar-R dengan produk grup bebas. Produk gratisnya adalah koproduk dalam kategori aljabar-R.

Aljabar seperabel[sunting | sunting sumber]

Misalkan A menjadi aljabar di atas gelanggang komutatif R. Maka aljabar A adalah[2] modul di atas dengan tindakan . Kemudian, menurut definisi, A dikatakan seperabel jika peta perkalian sebagai peta linear-,[3] dimana adalah modul- oleh . Ekuivalen,[4] seperabel jika itu adalah modul proyektif di atas ; jadi, dimensi proyek dari A, terkadang disebut bidimensi dari A , mengukur keterpisahan.

Aljabar non-unital[sunting | sunting sumber]

Beberapa penulis menggunakan istilah "aljabar asosiatif" untuk merujuk pada struktur yang tidak selalu memiliki identitas perkalian, dan karenanya pertimbangkan homomorfisme yang belum tentu unital.

Salah satu contoh aljabar asosiatif non-unital diberikan oleh himpunan fungsi f: RR yang limit sebagai x mendekati tak hingga adalah nol.

Contoh lain adalah ruang vektor dari fungsi periodik kontinu, bersama-sama dengan konvolusi.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Catatan teknis: identitas perkalian adalah fungsi trivial dari kategori aljabar asosiatif unital hingga kategori aljabar asosiatif non-unital. Dengan sama dengan identitas perkalian, "satuan" digunakan oleh sifat.
  2. ^ Catatan editorial: ternyata, adalah gelanggang matriks penuh dalam kasus yang menarik dan lebih konvensional karena matriks dari kanan.
  3. ^ Cohn 2003, § 4.7.
  4. ^ Untuk melihat kesetaraan, perhatikan bagian dari dapat digunakan untuk bagian dari suatu perkiraan.

Referensi[sunting | sunting sumber]