Limit langsung

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam matematika, limit langsung adalah cara untuk membangun objek (biasanya besar) dari banyak objek (biasanya lebih kecil) yang disatukan dengan cara tertentu. Objek ini mungkin grup, gelanggang, ruang vektor atau dalam objek umum dari kategori. Cara mereka disatukan ditentukan oleh sistem homomorfisme (homomorfisme kelompok, homomorfisme gelanggang, atau secara umum morfisme dalam kategori) di antara objek-objek yang lebih kecil. Limit langsung benda , di mana berkisar di beberapa himpunan terarah , dilambangkan dengan . (Ini adalah sedikit penyalahgunaan notasi karena menekan sistem homomorfisme yang penting untuk struktur batas.)

Batas langsung adalah kasus khusus dari konsep kolom di teori kategori. Limit langsung adalah ganda sampai limit invers yang juga merupakan kasus khusus limit dalam teori kategori.

Definisi formal[sunting | sunting sumber]

Pertama kami akan memberikan definisi untuk struktur aljabar seperti grup dan modul, dan kemudian definisi umumnya, yang bisa digunakan dalam setiap kategori

Limit langsung objek aljabar[sunting | sunting sumber]

Dalam bagian ini objek dipahami terdiri dari himpunan yang mendasari dengan struktur aljabar yang diberikan, seperti kelompok, gelanggang, modul (di atas gelanggang tetap), aljabar (di atas bidang tetap), dll. Dengan pemikiran ini, homomorfisme dipahami dalam pengaturan yang sesuai (grup homomorfisme, dll.) .

Karenanya jadilah kumpulan diarahkan dipesan sebagian (perhatikan bahwa tidak semua pengarang memerlukan I untuk diarahkan). Maka A = (Ai)iI menjadi keluarga objek indeks oleh dan menjadi homomorfisme untuk semua dengan properti berikut:

  1. adalah identitas , dan
  2. Kondisi kompatibilitas : untuk ; maka adalah

Setelah itu pasangan disebut sistem langsung melalui . Peta fij disebut ikatan, menghubungkan, transisi, atau menghubungkan peta/morfisme dari sistem. Jika peta ikatan dipahami atau jika tidak perlu memberikan simbol (misalnya seperti dalam pernyataan beberapa teorema) maka peta ikatan akan sering dihilangkan (yaitu tidak tertulis); untuk alasan ini adalah umum untuk melihat pernyataan seperti "maka menjadi sistem langsung. "[note 1]

Limit langsung dalam kategori sebarang[sunting | sunting sumber]

Batas langsung dapat ditentukan dalam sembarang kategori melalui sifat universal. Maka menjadi sistem langsung dari objek dan morfisme (seperti yang didefinisikan di atas). Sebuah target atau kocone adalah sepasang dimana adalah objek pada dan adalah morfisme untuk masing-masing seperti yang bilamana . limit dari sistem langsung is a secara universal menolak target dalam arti itu adalah target dan untuk setiap target , ada morfisme yang unik seperti yang untuk setiap i . Diagram berikut

Direct limit category.svg

kemudian akan perjalanan untuk semua i, j.

Limit langsung sering kali dilambangkan

dengan sistem langsung dan morfisme kanonik dipahami.

Tidak seperti objek aljabar, tidak setiap sistem langsung dalam kategori arbitrer memiliki batas langsung. Namun, jika ya, batas langsungnya unik dalam arti yang kuat: diberi batas langsung lain X′ ada unik isomorfisme X′ → X yang beralih dengan morfisme kanonik.

Sifat-sifat[sunting | sunting sumber]

Batas langsung ditautkan ke limit invers melalui

Properti penting adalah bahwa mengambil batasan langsung dalam kategori modul adalah fungsi tepat. Ini berarti bahwa jika Anda mulai dengan sistem terarah dari urutan persis pendek dan membentuk limit langsung, Anda mendapatkan urutan persis yang pendek .

Terminologi[sunting | sunting sumber]

Dalam literatur ditemukan istilah "batas terarah", "batas induktif langsung", "colimit terarah", "garis batas langsung "dan" batas induktif "untuk konsep batas langsung yang didefinisikan di atas. Istilah" batas induktif "bersifat ambigu, karena beberapa penulis menggunakannya untuk konsep umum kolom.

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Ini adalah penyalahgunaan notasi dan terminologi sejak pemanggilan sistem langsung secara teknis tidak benar.

Referensi[sunting | sunting sumber]

Templat:Category theory