Grup (matematika)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam matematika, grup adalah suatu himpunan, beserta satu operasi biner, seperti perkalian atau penjumlahan, yang memenuhi beberapa aksioma yang disebut aksioma grup. Misalnya, himpunan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut teori grup.

Banyak sekali objek yang dipelajari dalam matematika berupa grup. Hal ini mencakup sistem bilangan, seperti bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks terhadap penjumlahan, atau bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks yang tak-nol, masing-masing terhadap perkalian. Contoh penting lainnya misalnya matriks non-singular terhadap perkalian, dan secara umum, fungsi terinverskan terhadap komposisi fungsi. Teori grup memungkinkan sifat-sifat sistem-sistem ini dan berbagai sistem lain untuk dipelajari dalam lingkup yang umum, dan hasilnya dapat diterapkan secara luas. Teori grup juga merupakan sumber kaya berbagai teorema yang berlaku dalam lingkup grup.

Asal usul teori grup berawal dari kerja Evariste Galois (1830), yang berkaitan dengan masalah persamaan aljabar yang terpecahkan dengan radikal. Sebelum kerja Galois, grup lebih banyak dipelajari secara konkret, dalam bentuk permutasi; beberapa aspek teori grup abelian dikenal dalam teori bentuk-bentuk kuadrat.

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Lihat teori grup.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Suatu grup adalah suatu himpunan beserta satu operasi biner yang memenuhi aksioma-aksioma grup berikut:

  • Ketertutupan (closure): untuk setiap , berlaku .
  • Sifat asosiatif: untuk setiap , berlaku .
  • Unsur identitas: terdapat suatu sehingga untuk setiap berlaku (dapat dibuktikan bahwa dalam grup manapun hanya terdapat satu unsur identitas).
  • Unsur invers: untuk setiap , terdapat suatu sehingga , di mana adalah unsur identitas (dapat dibuktikan bahwa setiap unsur memiliki tepat satu unsur invers).

Notasi grup[sunting | sunting sumber]

Suatu grup yang terdiri atas himpunan dan operasi dapat ditulis .

Biasanya operasi dalam grup, apa pun sebetulnya operasi tersebut, dipikirkan sebagai analog dari perkalian, dan operasi grup ditulis seperti perkalian (notasi perkalian):

  • Kita menulis , atau bahkan , untuk .
  • Kita menulis untuk unsur identitas dan menyebutnya unsur satuan.
  • Kita menulis untuk invers dan menyebutnya kebalikan dari .

Tetapi, kadang-kadang operasi grup dipikirkan sebagai analog dari penjumlahan dan ditulis seperti penjumlahan (notasi penjumlahan):

  • Kita menulis untuk dan menyebutnya jumlah dan .
  • Kita menulis untuk unsur identitas dan menyebutnya unsur nol.
  • Kita menulis untuk invers dan menyebutnya lawan dari .

Biasanya, hanya grup abelian (grup yang operasinya komutatif untuk setiap dua unsur himpunan grup tersebut) yang ditulis dalam bentuk penjumlahan walaupun grup tersebut dapat juga ditulis dalam bentuk perkalian. Ketika bersifat noncommittal, kita dapat menggunakan notasi (dengan ) dan istilah yang dikemukakan dalam definisi menggunakan notasi sebagai invers dari .

Bila adalah sub himpunan dari dan unsur dari maka dalam notasi perkalian merupakan himpunan dari semua hasil perkalian untuk dalam (dengan kata lain, ). Hal yang sama juga dapat dilihat pada notasi , dan untuk dua sub himpunan dan dari kita dapat menulis untuk . Dalam notasi penjumlahan, kita menuliskan dan untuk masing-masing pasangan.

Beberapa contoh grup dan contoh bukan grup[sunting | sunting sumber]

Sebuah grup abelian: bilangan bulat terhadap penjumlahan[sunting | sunting sumber]

Contoh grup yang pernah diperkenalkan saat di sekolah dasar salah satunya adalah bilangan bulat terhadap penjumlahan. Misalkan merupakan himpunan bilangan bulat, dan simbol sebagai operasi penjumlahan. Dengan demikian, merupakan suatu grup.

Bukti:

  • Bila dan merupakan bilangan bulat maka juga merupakan bilangan bulat (ketertutupan).
  • Bila , , dan adalah bilangan bulat maka (sifat asosiatif).
  • adalah bilangan bulat dan untuk setiap bilangan bulat , (elemen identitas).
  • Bila sebuah bilangan bulat maka terdapat bilangan bulat sedemikian sehingga (elemen invers).

Grup ini juga merupakan abelian, karena (sifat komutatif).

Bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian membentuk struktur aljabar gelanggang yang lebih kompleks. Sebenarnya, elemen dari gelanggang apa saja membentuk sebuah grup abelian terhadap penjumlahan yang disebut “grup penjumlahan” dari gelanggang.

Bukan grup: bilangan bulat terhadap perkalian[sunting | sunting sumber]

Bilangan bulat terhadap perkalian yang dilambangkan dengan . Maka bukan sebuah grup. Alasannya:

  • Bila dan bilangan bulat maka merupakan bilangan bulat (ketertutupan).
  • Bila , , dan bilangan bulat maka (sifat asosiatif).
  • adalah bilangan bulat dan untuk setiap bilangan bulat , (elemen identitas).
  • Tetapi, bila sebaramg bilangan bulat bukan maka tidak ada bilangan bulat bukan yang memenuhi . Sebagai contoh, misalkan maka berapapun (bilangan bulat bukan ) maka (Syarat elemen invers tidak dipenuhi).

Karena tidak semua elemen dari mempunyai invers maka bukan merupakan grup. Kita dapat menyebut sebuah monoid komutatif.

Sebuah grup abelian: bilangan rasional bukan 0 terhadap perkalian[sunting | sunting sumber]

Misalkan sebagai himpunan bilangan rasional, yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dengan dengan dan merupakan bilangan bulat dan bukan nol. Misalkan pula operasi perkalian dinyatakan dengan simbol Karena bilangan rasional 0 tidak memiliki invers untuk perkalian maka , sebagaimana juga bukan sebuah grup.

Akan tetapi, kalau kita menggunakan himpunan , yang mencakup setiap bilangan rasional kecuali nol maka merupakan grup abelian. Invers adalah dan aksioma grup lainnya mudah diperiksa kebenarannya. Kita tidak kehilangan ketertutupan dengan menghilangkan nol karena hasil kali dua bilangan rasional tidak nol tidak akan pernah nol.

Sama seperti bilangan bulat yang membentuk gelanggang, demikian juga bilangan rasional yang membentuk struktur aljabar dari medan. Sebenarnya, elemen bukan nol dari medan apapun akan membentuk grup terhadap perkalian yang disebut “grup perkalian” dari medan.

Grup bukan abelian tertentu: permutasi dari himpunan[sunting | sunting sumber]

Misalkan tiga buah blok berwarna (merah, hijau, dan biru) yang mula-mula diletakkan dengan susunan MHB. Misalkan a merupakan aksi “menukarkan blok pertama dan blok kedua” dan b merupakan aksi “menukarkan blok kedua dan ketiga”.

Dalam bentuk perkalian, kita menuliskan xy untuk melambangkan aksi “pertama-tama lakukan y kemudian lakukan x” sehingga ab adalah aksi MHB → MBH → BMH yaitu “ambil blok terakhir dan pindahkan ke depan”. Bila kita menuliskan e untuk aksi “biarkan blok sebagaimana adanya” (aksi identitas) maka kita dapat menulis enam permutasi dari himpunan tiga blok sebagai berikut:

  • e: MHB → MHB
  • a: MHB → HMB
  • b: MHB → MBH
  • ab: MHB → BMH
  • ba: MHB → HBM
  • aba: MHB → BHM

Perhatikan bahwa aksi aa akan menyebabkan MHB → HMB → MHB atau aksi tersebut sama saja dengan aksi “biarkan blok sebagaimana adanya”. Dengan demikian, kita dapat menuliskan aa = e. Demikian pula,

  • bb = e
  • (aba)(aba) = e, dan
  • (ab)(ba) = (ba)(ab) = e.

Jadi, tiap aksi di atas mempunyai sebuah invers.

Dengan menyelidiki, kita juga dapat menentukan sifat asosiatif dan ketertutupan. Sebagai contoh perhatikan,

  • (ab)a = a(ba) = aba, dan
  • (ba)b = b(ab) = aba.

Grup ini disebut grup simetri pada tiga huruf, atau S3. Grup tersebut mempunyai orde 6 (atau 3!), dan bukan merupakan grup abelian (karena sebagai contoh abba). Karena S3 dibangun dari aksi dasar a dan b maka kita dapat mengatakan bahwa himpunan {a,b} membangun S3.

Setiap grup dapat diungkapkan dalam grup permutasi seperti S3. Hasilnya merupakan Teorema Cayley dan dipelajari sebgai bagian dari subyek aksi grup.

Contoh lanjutan[sunting | sunting sumber]

Untuk beberapa contoh lanjutan dari grup untuk berbagai aplikasi lihat contoh-contoh grup dan daftar grup kecil.

Teorema sederhana[sunting | sunting sumber]

  • Sebuah grup mempunyai hanya satu elemen identitas.
  • Setiap elemen mempunyai hanya satu invers.
  • Kita dapat membagi grup yaitu elemen grup a dan b dari grup , hanya ada satu solusi x dalam terhadap persamaan x * a = b dan hanya satu solusi y dalam untuk persamaan a * y = b.
  • Ungkapan a1 * a2 * ... * an tidak ambigu karena hasilnya akan sama dimana saja kita menempatkan tanda kurung.
  • Invers perkalian adalah hasil kali invers dalam susunan terbalik: (a * b)−1 = b−1 * a−1.

Faktor ini dan faktor dasar lainnya juga berlaku untuk semua grup tertentu yang membentuk bidang dari teori grup elementer.

Membuat grup baru dari suatu grup tertentu[sunting | sunting sumber]

  1. Bila sebuah sub himpunan dari grup ,
  2. Hasil kali dari dua grup dan merupakan himpunan x bersama dengan operasi (g1, h1)(g2, h2) = (g1 * g2, h1 × h2).
  3. “Penjumlahan eksternal secara langsung” dari anggota grup merupakan sub grup perkalian yang diwakilkan oleh elemen-elemen yang mempunyai sejumlah bagian bukan nol. Bila anggota bersifat tertentu maka penjumlahan langsung dan perkalian adalah sama.
  4. Grup tertentu dan sebuah sub grup normal , maka grup kuosien adalah himpunan dari kohimpunan dari terhadap operasi (g)(h) = gh.

Referensi[sunting | sunting sumber]