Polinomial

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Jump to navigation Jump to search

Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis sukubanyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Sebuah polinomial dalam satu variabel dengan koefisien konstan memiliki bentuk seperti berikut:

Pangkat tertinggi pada suatu polinomial menunjukkan orde atau derajat dari polinomial tersebut.

Grafik polinomial[sunting | sunting sumber]

Sebuah fungsi polinomial dalam satu variabel real dapat dinyatakan dalam grafik fungsi.

  • Grafik dari polinomial nol
f(x) = 0
adalah sumbu x.
  • Grafik dari polinomial berderajat nol
f(x) = a0, dimana a0 ≠ 0,
adalah garis horizontal dengan y memotong a0
  • Grafik dari polinomial berderajat satu (atau fungsi linear)
f(x) = a0 + a1x , dengan a1 ≠ 0,
adalah berupa garis miring dengan y memotong di a0 dengan kemiringan sebesar a1.
  • Grafik dari polinomial berderajat dua
f(x) = a0 + a1x + a2x2, dengan a2 ≠ 0
adalah berupa parabola.
  • Grafik dari polinomial berderajat tiga
f(x) = a0 + a1x + a2x2, + a3x3, dengan a3 ≠ 0
adalah berupa kurva pangkat 3.
  • Grafik dari polinomial berderajat dua atau lebih
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn , dengan an ≠ 0 and n ≥ 2
adalah berupa kurva non-linear.

Ilustrasi dari grafik-grafik tersebut adalah di bawah ini.

Polinomial dan kalkulus[sunting | sunting sumber]

Untuk menghitung turunan dan integral dari polinomial tidaklah terlalu sulit. Untuk fungsi polinomial

maka turunan terhadap x adalah

dan integral tak tentu terhadap x adalah

Pembagian Polinomial[sunting | sunting sumber]

Bentuk umum adalah

  • Keterangan:
  1. F(x) : suku banyak
  2. P(x) : pembagi
  3. H(x) : hasil bagi
  4. S(x) : sisa

Teorema sisa[sunting | sunting sumber]

Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k).
Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (ax – b) maka sisanya adalah F(b/a).
Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – a)(x - b) maka sisanya adalah .

Metode[sunting | sunting sumber]

Metode ada 4 jenis yakni

Biasa
Contoh berapa hasil dan sisa dari F(x): dibagi dengan P(x): !
Horner

cara ini dapat digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1

Cara:

  • Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xn, xn – 1, … hingga konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)

Contoh: untuk 4x3 – 1, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x3, x2, x, dan konstanta)

Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)
Jika pembagi dapat difaktorkan, maka
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 + S1
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3 + P1.S2 + S1 dan seterusnya
Contoh berapa hasil dan sisa dari F(x): dibagi dengan P(x): !

misalkan P: maka:

P1 :
P2 :
1 1 -4 -7 10
0 1 -3 -10
-2 1 -3 -10 0 (S1)
0 -2 10
1 -5 0 (S2)
H(x) =
S(x) = P1 S2 + S1 =
Koefisien tak tentu
Contoh berapa hasil dan sisa dari F(x): dibagi dengan P(x): !

Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka

H(x) berderajat 3 – 2 = 1
S(x) berderajat 2 – 1 = 1

Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d

maka:

samakan pada koefisien:

Jadi

H(x) = ax + b = x - 5
S(x) = cx + d = 0

Teorema faktor[sunting | sunting sumber]

Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)

Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)

Beberapa memungkinkan yang diketahui:

  • Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1.
  • Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = -1.
  • Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya:
untuk , faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2
untuk , faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4

Sifat Akar-akar Suku Banyak[sunting | sunting sumber]

Pada persamaan berderajat 3: ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3

dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a
Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a

Pada persamaan berderajat 4: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4

dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a
Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a
Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a
Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a

Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya. (amati pola: –b/a, c/a, –d/a , e/a, …)

Pembagian istimewa[sunting | sunting sumber]

Ada 3 jenis yakni:

  • Jika n adalah bilangan asli maka:
  • Jika 2n adalah bilangan genap maka:
  • Jika 2n + 1 adalah bilangan ganjil maka:

Bacaan lebih lanjut[sunting | sunting sumber]

  • Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-503-3.  Parameter |coauthors= yang tidak diketahui mengabaikan (|author= yang disarankan) (bantuan) (Indonesia)

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

  • (Inggris)Polynomial Artikel tentang polinomial di Wolfram MathWorld