Polinomial

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
grafik dari fungsi polinom dengan derajat 3

Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis sukubanyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Sebuah polinomial dalam satu variabel dengan koefisien konstan memiliki bentuk seperti berikut:

Pangkat tertinggi pada suatu polinomial menunjukkan orde atau derajat dari polinomial tersebut.

Grafik polinomial[sunting | sunting sumber]

Sebuah fungsi polinomial dalam satu variabel real dapat dinyatakan dalam grafik fungsi.

  • Grafik dari polinomial nol
f(x) = 0
adalah sumbu x.
  • Grafik dari polinomial berderajat nol
f(x) = a0, dimana a0 ≠ 0,
adalah garis horizontal dengan y memotong a0
  • Grafik dari polinomial berderajat satu (atau fungsi linear)
f(x) = a0 + a1x, dengan a1 ≠ 0,
adalah berupa garis miring dengan y memotong di a0 dengan kemiringan sebesar a1.
  • Grafik dari polinomial berderajat dua
f(x) = a0 + a1x + a2x2, dengan a2 ≠ 0
adalah berupa parabola.
  • Grafik dari polinomial berderajat tiga
f(x) = a0 + a1x + a2x2, + a3x3, dengan a3 ≠ 0
adalah berupa kurva pangkat 3.
  • Grafik dari polinomial berderajat dua atau lebih
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn, dengan an ≠ 0 and n ≥ 2
adalah berupa kurva non-linear.

Ilustrasi dari grafik-grafik tersebut adalah di bawah ini.

Polinomial dan kalkulus[sunting | sunting sumber]

Untuk menghitung turunan dan integral dari polinomial tidaklah terlalu sulit. Untuk fungsi polinomial

maka turunan terhadap x adalah

dan integral tak tentu terhadap x adalah

Pembagian Polinomial[sunting | sunting sumber]

Bentuk umum adalah

  • Keterangan:
  1. F(x): suku banyak (yang dibagi)
  2. P(x): pembagi
  3. H(x): hasil bagi
  4. S(x): sisa

Teorema sisa[sunting | sunting sumber]

Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k).
Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (ax – b) maka sisanya adalah F(b/a).
Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – a)(x - b) maka sisanya adalah .

Contoh

Berapa sisa dari F(x): dibagi dengan P(x): ?
F(x - 3) maka F(3)
F(x):
F(3):

pembuktian sesuai dengan di atas:

Suatu F(x) dibagi x - 2 bersisa 4, dibagi x - 3 bersisa 7. suatu G(x) dibagi x - 2 bersisa 3, dibagi x - 3 bersisa 2. Jika maka berapa sisa jika H(x) dibagi ?

karena variabel pembagi derajat dua maka variabel sisa derajat satu yaitu

persamaan pertama
persamaan kedua

dari persamaan pertama dan kedua dihitung menggunakan metode eliminasi maka menjadi a = 2 dan b = 8

jadi sisa tersebut adalah 2x + 8.

Metode[sunting | sunting sumber]

Metode ada 3 jenis yaitu:

Biasa

Contoh

Berapa hasil dan sisa dari F(x): dibagi dengan P(x): ?
H(x) =
S(x) =
Berapa hasil dan sisa dari F(x): dibagi dengan P(x): ?
H(x) =
S(x) =
Horner

cara ini dapat digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1.

Cara:

  • Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xn, xn – 1, … hingga konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)

Contoh: untuk , koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x3, x2, x, dan konstanta)

Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)
Jika pembagi dapat difaktorkan, maka
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 + S1
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3 + P1.S2 + S1 dan seterusnya

Jika hasil bagi adalah bukan bilangan pecahan maka proses rumus tetap. Contoh:

Berapa hasil dan sisa dari F(x): dibagi dengan P(x): ?

misalkan P: maka:

P1:
P2:
2 1 1 -9 3
0 2 6 -6
-4 1 3 -3 -3 (S1)
0 -4 4
1 -1 1 (S2)
H(x) =
S(x) = P1.S2 + S1 =

Jika hasil bagi adalah bilangan pecahan maka ada dua jenis yang ditentukan sbb:

posisi suku banyak tidak berubah maka hasil bagi harus dibagi konstanta dari faktor hasilnya. Contoh
Berapa hasil dan sisa dari F(x): dibagi dengan P(x): ?
Pilihan A

misalkan P: maka:

P1:
P2:
-3 2 19 33 -26
0 -6 -39 18
1/2 2 13 -6 -8 (S1)
0 1 7
2 14 1 (S2)
H(x) = harus bagi 1/2 menjadi
S(x) = P1.S2 + S1 =
Pilihan B

misalkan P: maka:

P1:
P2:
1/2 2 19 33 -26
0 1 10 43/2
-3 2 20 43 -9/2 (S1)
0 -6 -42
2 14 1 (S2)
H(x) = harus bagi 1/2 menjadi
S(x) = P1 S2 + S1 =
posisi suku banyak dibagi konstanta dari variabel berpangkat tinggi maka sisa harus dikali konstanta dari faktor hasilnya. Contoh
Berapa hasil dan sisa dari F(x): dibagi dengan P(x): ?
Pilihan A

misalkan P: maka:

P1:
P2:

dibagi 1/2 menjadi

-3 1 19/2 33/2 -13
0 -3 -39/2 9
1/2 1 13/2 -3 -4 (S1)
0 1/2 7/2
1 7 1/2 (S2)
H(x) =
S(x) = P1.S2 + S1 = harus kali 2 menjadi
Pilihan B

misalkan P: maka:

P1:
P2:

dibagi 1/2 menjadi

1/2 1 19/2 33/2 -13
0 1/2 5 43/4
-3 1 10 43/2 -9/4 (S1)
0 -3 -21
1 7 1/2 (S2)
H(x) =
S(x) = P1.S2 + S1 = harus kali 2 menjadi
Koefisien tak tentu

Contoh

Berapa hasil dan sisa dari F(x): dibagi dengan P(x): ?

Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka

H(x) berderajat 3 – 2 = 1
S(x) berderajat 2 – 1 = 1

Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d

maka:

samakan pada koefisien:

Jadi

H(x) = ax + b = x - 1
S(x) = cx + d = x - 5
Berapa hasil dan sisa dari F(x): dibagi dengan P(x): ?

Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka

H(x) berderajat 3 – 2 = 1
S(x) berderajat 2 – 1 = 1

Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d

maka:

samakan pada koefisien:

Jadi

H(x) = ax + b = x + 7
S(x) = cx + d = x - 5

Teorema faktor[sunting | sunting sumber]

Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)

Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)

Beberapa memungkinkan yang diketahui:

  • Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1.
  • Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = -1.
  • Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya:
untuk , faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2
untuk , faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari !

apakah salah satu akarnya adalah 1?

Ya

faktorkan tersebut

1 1 -2 -5 6
0 1 -1 -6
1 -1 -6 0

jadi himpunan penyelesaian adalah {-2, 1, 3}

Sifat Akar-akar Suku Banyak[sunting | sunting sumber]

Pada persamaan berderajat 3: ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3

dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a
Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a

Pada persamaan berderajat 4: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4

dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a
Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a
Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a
Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a

Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya. (amati pola: –b/a, c/a, –d/a, e/a, …)

Contoh:

Diberikan persamaan dengan akar-akarnya x1, x2 x3. Jika 2x1 = -x2-x3. Carilah nilai p dan akar-akarnya!
-3 1 -3 -10 24
0 -3 18 -24
1 -6 8 0

Pembagian istimewa[sunting | sunting sumber]

Ada 3 jenis yaitu:

  • Jika n adalah bilangan asli maka:
  • Jika 2n adalah bilangan genap maka:
  • Jika 2n + 1 adalah bilangan ganjil maka:

Bacaan lebih lanjut[sunting | sunting sumber]

  • Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-503-3.  (Indonesia)

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

  • (Inggris)Polynomial Artikel tentang polinomial di Wolfram MathWorld