Grup automorfisme

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam matematika, grup automorfisme dari sebuah objek X adalah grup yang terdiri dari automorfisme dari X . Misalnya, jika X adalah dimensi hingga ruang vektor, maka grup automorfisme dari X adalah grup linier umum dari X , grup transformasi linear yang dapat dibalik dari X menjadi dirinya sendiri.

Khususnya dalam konteks geometris, grup automorfisme disebut juga sebagai grup simetri. Sebuah subgrup dari grup automorfisme disebut grup transformasi (terutama dalam literatur lama).

Contoh[sunting | sunting sumber]

  • Grup automorfisme dari himpunan X adalah grup simetris dari X .
  • A homomorfisme grup ke grup automorfisme dari himpunan X sama dengan aksi grup pada X : memang, setiap kiri G , trivial pada satu himpunan X menentukan , dan, sebaliknya, setiap homomorfisme mendefinisikan aksi dengan .
  • Misalkan menjadi dua himpunan terbatas dari kardinal yang sama dan himpunan dari semua bijeksi . Kemudian , yang merupakan kelompok simetris (lihat di atas), bertindak dari kiri bebas dan secara transitif; artinya, adalah torsor untuk (lih. #Dalam kategori teori).
  • Grup automorfisme dari grup siklik dari urutan n adalah isomorfis ke dengan isomorfisme yang diberikan oleh .[1] Secara khusus, adalah grup abelian.
  • Diberikan ekstensi bidang , grup automorfisme adalah grup yang terdiri dari automorfisme bidang L yang fix K : itu lebih dikenal sebagai grup Galois dari .
  • Grup automorfisme dari proyektif n - spasi di atas bidang k adalah grup linear proyektif [2]
  • Grup automorfisme dari aljabar Lie riil berdimensi-hingga] memiliki struktur (nyata) grup kebohongan (sebenarnya, ini bahkan grup aljabar linear: lihat di bawah). Jika G adalah grup Lie dengan aljabar Lie , maka grup automorfisme dari G memiliki struktur grup Lie yang diinduksi dari grup automorphism dari .[3][4]
  • Misalkan P menjadi dihasilkan secara terbatas modul proyektif di atas gelanggang R . Maka melekatkan , unique up to inner automorphisms.[5]

Dalam teori kategori[sunting | sunting sumber]

Grup automorfisme muncul secara alami dalam teori kategori.

Jika X adalah objek dalam kategori, maka grup automorfisme dari X adalah grup yang terdiri dari semua morfisme yang dapat dibalik dari X untuk dirinya sendiri. Ini adalah grup unit dari monoid endomorfisma dari X . (Untuk beberapa contoh, lihat PROP.)

Jika adalah objek dalam beberapa kategori, maka himpunan dari semua adalah kiri - torsi. Dalam istilah praktis, ini mengatakan bahwa pilihan yang berbeda dari titik dasar dibedakan secara jelas oleh elemen dari , atau bahwa setiap pilihan titik dasar justru merupakan pilihan penyederhanaan torsi.

Jika dan adalah objek dalam kategori dan , dan jika adalah functor memetakan ke , kemudian menginduksi homomorfisme grup , karena memetakan morfisme yang dapat dibalik menjadi morfisme yang dapat dibalik.

Secara khusus, jika G adalah grup yang dilihat sebagai kategori dengan satu objek * atau, lebih umum, jika G adalah groupoid, maka setiap functor , C kategori, disebut aksi atau representasi G pada objek , or the objects . Objek-objek itu kemudian dikatakan sebagai objek (sebagaimana mereka ditindaklanjuti ); lih. -object. Jika adalah kategori modul seperti kategori ruang vektor berdimensi-hingga, maka -objek juga disebut -modul.

Funktor grup automorfisme[sunting | sunting sumber]

Misalkan menjadi ruang vektor berdimensi-hingga di atas bidang k yang dilengkapi dengan beberapa struktur aljabar (yaitu, M adalah aljabar berdimensi-hingga di atas k ). Ini bisa berupa, misalnya, aljabar asosiatif atau aljabar Lie.

Sekarang, pertimbangkan k - peta linear yang mempertahankan struktur aljabar: mereka membentuk subruang vektor dari . Grup unit dari adalah grup automorfisme . Ketika basis pada M dipilih, adalah ruang dari matriks kuadrat dan adalah himpunan nol dari beberapa polinomial, dan pembalikan dijelaskan lagi oleh polinomial. Karenanya, adalah grup aljabar linear di atas k .

Sekarang ekstensi dasar yang diterapkan pada diskusi di atas menentukan sebuah funktor:[6] yaitu, untuk setiap gelanggang komutatif R di atas k , pertimbangkan R -peta linear melestarikan struktur aljabar: dilambangkan dengan . Kemudian grup unit gelanggang matriks lebih R adalah grup automorfisme dan adalah fungsi grup: fungsi dari kategori gelanggang komutatif di atas k ke kategori grup. Lebih baik lagi, ini diwakili oleh skema (karena grup automorfisme ditentukan oleh polinomial): skema ini disebut skema grup automorfisme dan dilambangkan dengan .

Secara umum, bagaimanapun, sebuah fungsi grup automorfisme mungkin tidak diwakili oleh skema.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Dummit & Foote 2004, § 2.3. Exercise 26.
  2. ^ Hartshorne 1977, Ch. II, Example 7.1.1.
  3. ^ Hochschild, G. (1952). "The Automorphism Group of a Lie Group". Transactions of the American Mathematical Society. 72 (2): 209–216. JSTOR 1990752. 
  4. ^ (following Fulton & Harris 1991, Exercise 8.28.) Pertama, jika G hanya terhubung, grup automorfisme dari G adalah . Kedua, setiap grup Lie yang terhubung berbentuk dimana adalah grup Lie yang terhubung sederhana dan C adalah subgrup pusat dan grup automorfisme G adalah grup automorfisme dari yang mempertahankan C . Ketiga, berdasarkan konvensi, grup Lie dapat dihitung kedua dan memiliki paling banyak komponen yang terhubung; dengan demikian, kasus umum direduksi menjadi casing yang terhubung.
  5. ^ Milnor 1971, Lemma 3.2.
  6. ^ Waterhouse 2012, § 7.6.

Pranala luar[sunting | sunting sumber]