Aljabar

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Lompat ke: navigasi, cari
Rumus persamaan kuadrat mengungkapkan solusi dari persamaan derajat dua dalam hal koefisien , di mana adalah tidak nol.

Aljabar (dari bahasa arab "al-jabr" yang berarti "penyatuan kembali bagian yang rusak"[1]) adalah salah satu bagian dari bidang matematika yang luas, bersama-sama dengan teori bilangan, geometri dan analisis. Dalam bentuk paling umum, aljabar adalah ilmu yang mempelajari simbol-simbol matematika dan aturan untuk memanipulasi simbol-simbol ini;[2] aljabar adalah benang pemersatu dari hampir semua bidang matematika.[3] Selain itu, aljabar juga meliputi segala sesuatu dari dasar pemecahan persamaan untuk mempelajari abstraksi seperti kelompok, gelanggang, dan medan. Semakin banyak bagian-bagian dasar dari aljabar disebut aljabar dasar, sementara bagian aljabar yang lebih abstrak yang disebut aljabar abstrak atau aljabar modern. Aljabar dasar umumnya dianggap penting untuk setiap studi matematika, ilmu pengetahuan, atau teknik, serta aplikasi seperti obat-obatan dan ekonomi. Aljabar abstrak merupakan topik utama dalam matematika tingkat lanjut, yang dipelajari terutama oleh para profesional dan pakar matematika.

Dasar aljabar berbeda dari aritmetika dalam penggunaan abstraksi, seperti menggunakan huruf untuk mewakili angka-angka yang tidak diketahui atau diperbolehkan untuk mengambil banyak nilai-nilai. misalnya, dalam surat diketahui, tetapi hukum inversi dapat digunakan untuk menemukan nilai: . Dalam E = mc2E = mc2, huruf dan adalah variabel, dan surat adalah konstan, kecepatan cahaya dalam vakum. Aljabar memberikan metode untuk memecahkan persamaan dan mengekspresikan rumus yang lebih mudah (bagi mereka yang tahu bagaimana untuk menggunakan mereka) dari yang lebih tua metode menulis semuanya dalam kata-kata.

Kata aljabar juga digunakan dalam tertentu berupa cara-cara. Jenis khusus dari objek matematika dalam aljabar abstrak disebut "aljabar", dan kata ini digunakan, misalnya, dalam ungkapan aljabar linear dan topologi aljabar.

Seorang ahli matematika yang melakukan penelitian dalam aljabar disebut algebraist.

Etimologi[sunting | sunting sumber]

Kata aljabar berasal dari bahasa arab الجبر (al-jabr menyala. "pengumpulan bagian yang rusak") dari judul buku Ilm al-jabr wa'l-muḳābala oleh matematikawan dan astronom Persia, al-Khwarizmi. Kosa kata ini memasuki bahasa inggris selama abad kelima belas, baik dari spanyol, italia, atau Pertengahan Latin. Aljabar awalnya disebut prosedur operasi pengaturan patah atau dislokasi tulang. Matematika makna pertama kali tercatat pada abad keenam belas.[4]

Berbagai arti dari "aljabar"[sunting | sunting sumber]

Kata "aljabar" memiliki beberapa makna dalam matematika, sebagai kata tunggal atau dengan kualifikasi.

  • Sebagai kata tunggal tanpa sebuah artikel, "aljabar" nama-nama staf bagian dari matematika.
  • Sebagai kata tunggal dengan sebuah artikel atau dalam bentuk jamak, "aljabar" atau "algebras" menunjukkan spesifik struktur matematika, dan definisi yang tepat tergantung pada penulis. Biasanya struktur ini memiliki penambahan, perkalian, dan skalar perkalian (lihat Aljabar atas lapangan). Ketika beberapa penulis menggunakan istilah "aljabar", mereka membuat sebuah subset dari berikut asumsi tambahan: asosiatif, komutatif, unital, dan/atau finite-dimensional. Dalam aljabar universal, kata "aljabar" mengacu pada generalisasi dari konsep di atas, yang memungkinkan untuk n-ary operasi.
  • Dengan kualifikasi, ada perbedaan yang sama:
    • Tanpa sebuah artikel, itu berarti bagian dari aljabar, seperti aljabar linier, aljabar dasar (simbol-manipulasi aturan yang diajarkan dalam kursus sd matematika sebagai bagian dari primer dan sekunder pendidikan), atau aljabar abstrak (studi algebraic struktur untuk diri mereka sendiri).
    • Dengan sebuah artikel, itu berarti sebuah contoh dari beberapa abstrak struktur, seperti Berbohong aljabar, aljabar asosiatif, atau vertex operator aljabar.
    • Kadang-kadang kedua makna yang ada untuk kualifikasi yang sama, seperti dalam kalimat: aljabar Komutatif adalah studi tentang commutative ring, yang commutative algebras atas bilangan bulat.

Aljabar sebagai cabang dari matematika[sunting | sunting sumber]

Aljabar dimulai dengan perhitungan yang sama dengan aritmetika, dengan huruf digunakan untuk mewakili angka. hal Ini memungkinkan bukti dari sifat-sifat yang benar tidak peduli di mana angka-angka yang terlibat. Misalnya, dalam persamaan kuadrat

bisa menjadi nomor apapun (kecuali yang  tidak dapat ), dan rumus kuadrat dapat digunakan untuk dengan cepat dan mudah menemukan nilai-nilai dari kuantitas yang tidak diketahui  yang memenuhi persamaan. Itu adalah untuk mengatakan, untuk menemukan semua solusi dari persamaan.

Secara historis, dan dalam saat mengajar, studi aljabar dimulai dengan memecahkan persamaan seperti persamaan kuadrat di atas. Maka lebih banyak pertanyaan-pertanyaan umum, seperti "apakah persamaan memiliki solusi?", "berapa banyak solusi, dan tidak memiliki persamaan?", "apa yang dapat dikatakan tentang sifat dari solusi?" yang dianggap. Pertanyaan-pertanyaan ini menyebabkan ide-ide dari bentuk, struktur dan simetri.[5] Perkembangan ini diizinkan aljabar dapat diperpanjang untuk mempertimbangkan objek non-numerik, seperti vektor, matriks, dan polinomial. Sifat struktural ini non-numerik, objek yang kemudian disarikan untuk menentukan algebraic struktur seperti kelompok, gelanggang, dan medan.

Sebelum abad ke-16, matematika dibagi menjadi dua subbidang, aritmatika dan geometri. Meskipun beberapa metode, yang telah dikembangkan jauh lebih awal, mungkin dianggap saat ini sebagai aljabar, munculnya aljabar dan, segera setelah itu, kecil sekali kalkulus sebagai subbidang matematika hanya dari abad 16 atau abad ke-17. Dari paruh kedua abad ke-19, banyak hal baru dalam bidang matematika muncul, yang sebagian besar dibuat menggunakan kedua aritmatika dan geometri, dan hampir semuanya menggunakan aljabar.

Hari ini, aljabar telah berkembang hingga mencakup banyak cabang dari matematika, seperti dapat dilihat dalam Matematika Subjek Klasifikasi[6] di mana tak satu pun dari tingkat pertama area (dua digit entri) disebut aljabar. Hari ini aljabar meliputi bagian 08-General algebraic sistem, 12-Bidang teori dan polynomials, 13-Commutative aljabar, 15-Linear dan aljabar multilinear; teori matriks, 16-Asosiatif cincin dan algebras, 17-Nonassociative cincin dan algebras, 18-Kategori teori; homological aljabar, 19-K-teori dan 20-teori Grup. Aljabar juga digunakan secara ekstensif dalam 11-Nomor teori dan 14-Algebraic geometri.

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Sejarah awal aljabar[sunting | sunting sumber]

Halaman dari karya Al-Khwarizmi yang berjudul al-Kitab al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala

Akar aljabar dapat ditelusuri hingga Babilonia kuno,[7] yang dikembangkan sebagai lanjutan ilmu hitung dengan sistem yang mereka mampu untuk melakukan perhitungan dalam gaya algoritma. Bangsa Babilonia mengembangkan rumus untuk menghitung solusi dari masalah-masalah yang biasanya diselesaikan hari ini dengan menggunakan persamaan linear, persamaan kuadrat, dan tak tentu persamaan linear. Sebaliknya, sebagian besar orang Mesir era ini, serta yunani dan Cina matematika dalam 1 milenium SM, biasanya menyelesaikan persamaan tersebut dengan metode geometris, seperti yang dijelaskan dalam Rhind Mathematical Papyrus, euclid's Elements, dan Sembilan turki pada Matematika Seni. Geometris bekerja dari Yunani, terutama dalam unsur-Unsur, menyediakan kerangka kerja untuk generalisasi formula melampaui solusi dari masalah tertentu menjadi lebih umum sistem yang menyatakan dan memecahkan persamaan, meskipun ini tidak akan terwujud sampai matematika yang dikembangkan di abad pertengahan Islam.[8]

Pada zaman Plato, matematika Yunani telah mengalami perubahan drastis. Pada masa Yunani menciptakan aljabar geometrik dimana istilah yang diwakili oleh sisi dari objek geometris, biasanya garis-garis, yang memiliki surat-surat yang berhubungan dengan mereka.[9] Diophantus (abad ke-3 masehi) adalah seorang ahli matematika yunani Iskandariyah dan penulis serangkaian buku yang disebut Arithmetica. Teks-teks ini bergerak dengan memecahkan persamaan aljabar,[10] dan memiliki led, teori bilangan modern merupakan gagasan dari persamaan Diophantine.

Sebelumnya tradisi yang dibahas di atas memiliki pengaruh langsung pada persia Muḥammad bin Mūsā al-Khwarizmi (c. 780-850). Dia kemudian menulis Kitab singkat tapi lengkap Perhitungan dengan Penyelesaian dan Balancing, yang didirikan aljabar sebagai disiplin ilmu yang independen dari geometri dan aritmatika.[11]

The Hellenistic matematika Hero dari Alexandria dan Diophantus[12] serta India yang hebat matematika seperti Brahmagupta melanjutkan tradisi Mesir dan Babilonia, meskipun Diophantus' Arithmetica dan Brahmagupta ini Brāhmasphuṭasiddhānta berada pada tingkat yang lebih tinggi.[13] misalnya, pertama menyelesaikan aritmatika solusi (termasuk nol dan negatif solusi) untuk persamaan kuadrat yang dijelaskan oleh Brahmagupta dalam bukunya Brahmasphutasiddhanta. Kemudian, persia, dan arab yang hebat matematika yang dikembangkan aljabar metode untuk tingkat yang jauh lebih tinggi dari kecanggihan. Meskipun Diophantus dan Babel yang digunakan sebagian besar khusus ad hoc metode untuk memecahkan persamaan, Al-Khwarizmi adalah kontribusi mendasar. Dia menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat tanpa algebraic simbolisme, angka negatif atau nol, dengan demikian ia telah membedakan beberapa jenis persamaan.[14]

Dalam konteks di mana aljabar diidentifikasi dengan teori persamaan, yunani matematika Diophantus secara tradisional telah dikenal sebagai "bapak aljabar" tapi dalam masa yang lebih baru ada banyak perdebatan mengenai apakah al-Khawarizmi, yang didirikan disiplin al-jabr, layak untuk mendapatkan gelar itu bukan.[15] orang-Orang yang mendukung Diophantus menunjukkan fakta bahwa aljabar yang ditemukan dalam Al-Jabr adalah sedikit lebih dasar dari aljabar yang ditemukan dalam Arithmetica dan yang Arithmetica adalah sinkopasi sementara Al-Jabr adalah sepenuhnya retoris.[16] orang-Orang yang mendukung Al-Khwarizmi menunjukkan fakta bahwa ia memperkenalkan metode "pengurangan" dan "balancing" (transposisi dikurangi syarat untuk sisi lain dari persamaan, yaitu, pembatalan seperti ketentuan di sisi berlawanan dari persamaan) yang dalam istilah al-jabr awalnya disebut,[17] dan bahwa ia memberikan penjelasan lengkap dari pemecahan persamaan kuadrat,[18] yang didukung oleh bukti-bukti geometris, sementara memperlakukan aljabar sebagai disiplin independen dalam dirinya sendiri.[19] Nya aljabar juga tidak lagi peduli "dengan serangkaian masalah yang harus diselesaikan, tapi sebuah pameran yang dimulai dengan primitif istilah di mana kombinasi harus memberikan semua kemungkinan prototipe untuk persamaan, untuk selanjutnya yang secara eksplisit merupakan benar objek penelitian". Ia juga mempelajari persamaan untuk kepentingan diri sendiri dan "di generik cara, sejauh hal itu tidak hanya muncul dalam memecahkan masalah, tetapi secara khusus dipanggil untuk mendefinisikan sebuah kelas terbatas masalah".[20]

Lain matematikawan persia Omar Khayyam adalah dikreditkan dengan mengidentifikasi dasar-dasar aljabar geometri dan menemukan umum geometris solusi dari persamaan kubik. Bukunya Risalah pada Demonstrasi dari masalah-Masalah Aljabar (1070), yang meletakkan prinsip-prinsip aljabar, adalah bagian dari tubuh persia matematika yang akhirnya menular ke Eropa.[21] Namun lain matematikawan persia, Sharaf al-Din al-Tūsī, ditemukan algebraic dan solusi numerik untuk berbagai kasus dari persamaan kubik.[22] Ia juga mengembangkan konsep fungsi.[23] Para ahli matematika India Mahavira dan Bhaskara II, matematikawan persia Al-Karaji,[24] dan Cina matematika Zhu Shijie, memecahkan berbagai kasus kubik, quartic, quintic dan lebih tinggi-order polinomial persamaan menggunakan metode numerik. Pada abad ke-13, solusi dari persamaan kubik dengan Fibonacci merupakan perwakilan dari awal kebangkitan di Eropa aljabar. Sebagai dunia Islam menurun, Eropa dunia naik. Dan itu adalah di sini bahwa aljabar dikembangkan lebih lanjut.

Sejarah aljabar[sunting | sunting sumber]

Matematikawan italia Girolamo Cardano menerbitkan solusi untuk fungsi kubik dan persamaan kuadrat dalam bukunya pada tahun 1545 yang berjudul Ars magna.

François Viète's bekerja pada aljabar pada penutupan abad ke-16 adalah sebuah langkah penting menuju aljabar modern. Pada tahun 1637, René Descartes menerbitkan La Géométrie, menciptakan geometri analitik dan memperkenalkan modern aljabar notasi. Acara penting lainnya dalam pengembangan lebih lanjut dari aljabar adalah general algebraic solusi dari persamaan kubik dan quartic, yang dikembangkan di pertengahan abad ke-16. Ide penentu dikembangkan oleh matematikawan Jepang Seki Kōwa pada abad ke-17, diikuti secara mandiri oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun kemudian, untuk tujuan memecahkan sistem simultan persamaan linear dengan menggunakan matriks. Gabriel Cramer juga melakukan beberapa pekerjaan pada matrik dan determinan pada abad ke-18. Permutasi dipelajari oleh Joseph-Louis Lagrange - nya 1770 kertas Pikiran sur la resolusi algébrique des persamaan dikhususkan untuk solusi dari persamaan aljabar, di mana dia diperkenalkan Lagrange resolvents. Paolo Ruffini adalah orang pertama yang mengembangkan teori dari permutasi kelompok, dan seperti pendahulunya, juga dalam konteks memecahkan persamaan aljabar.

Aljabar abstrak dikembangkan pada abad ke-19, yang berasal dari bunga dalam memecahkan persamaan, awalnya berfokus pada apa yang sekarang disebut teori Galois, dan pada constructibility masalah.[25] George Peacock adalah pendiri berpikir aksiomatis dalam aritmatika dan aljabar. Augustus De Morgan menemukan hubungan aljabar dalam Silabus dari Sistem yang Diusulkan secara Logika. Josiah Willard Gibbs mengembangkan aljabar dari vektor-vektor dalam ruang tiga-dimensi, dan Arthur Cayley mengembangkan aljabar matriks (ini adalah noncommutative aljabar).[26]

Bidang matematika dengan kata aljabar pada nama mereka[sunting | sunting sumber]

Beberapa bidang matematika masuk klasifikasi aljabar abstrak memiliki kata aljabar dalam nama mereka; aljabar linear adalah salah satu contoh. Tetapi ada juga yang tidak, misalnya: teori grup, teori gelanggang, dan teori bidang. Di bagian ini, kita daftar beberapa bidang matematika dengan kata "aljabar" dalam nama.

  • Aljabar dasar, bagian dari aljabar yang biasanya diajarkan di sekolah dasar program studi matematika.
  • Aljabar abstrak, di mana struktur aljabar seperti kelompok, gelanggang dan medan yang didalamnya sistem aksioma didefinisikan dan diselidiki.
  • Aljabar Linear, di mana sifat-sifat tertentu dari persamaan linear, ruang vector dan matriks yang dipelajari.
  • Aljabar komutatif, studi tentang gelanggang komutatif.
  • Aljabar komputer, penerapan metode alajabar sebagai algoritma dan program komputer.
  • Aljabar homologikal, studi struktur aljabar yang mendasar untuk mempelajari ruang topologi.
  • Aljabar Universal, di mana sifat-sifat yang umum untuk semua struktur aljabar dipelajari.
  • Teori bilangan aljqbar, di mana sifat-sifat bilangan yang dipelajari dari sudut pandang aljabar.
  • Geometri aljabar, sebuah cabang dari geometri, dalam bentuk primitif menentukan kurva dan permukaan sebagai solusi dari persamaan polinomial.
  • Algebraic combinatorics, di mana aljabar metode yang digunakan untuk mempelajari kombinasi pertanyaan.
  • Aljabar relasional: satu set finitary hubungan yang ditutup di bawah beberapa operator tertentu.

Banyak struktur matematika yang disebut algebras:

  • Aljabar lebih dari satu bidang atau lebih umumnya aljabar di atas ring.
    Banyak kelas algebras atas suatu bidang atau lebih cincin memiliki nama khusus:
    • Aljabar asosiatif
    • Non-aljabar asosiatif
    • Aljabar Lie
    • Aljabar Hopf
    • Aljabar C*
    • Aljabar Simetris
    • Aljabar Eksterior
    • Aljabar Tensor
  • Dalam mengukur teori,
  • Dalam teori kategori
    • Alajabar F dan koaljabar F
    • Aljabar T
  • Dalam logika,
    • Relasi aljabar, residuated aljabar Boolean diperluas dengan involusi disebut converse.
    • Aljabar Boolean, struktur mengabstraksi perhitungan dengan nilai-nilai kebenaran palsu dan sejati. Dalam struktur ini juga memiliki nama yang sama.
    • Aljabar Heyting

Aljabar elementer[sunting | sunting sumber]

Notasi ekspresi aljabar:
  1 – power (eksponen)
  2 – koefisien
  3 – istilah
  4 – operator
  5 – istilah konstanta
  x y c – variabel/konstanta

Aljabar elementer adalah bentuk paling dasar dari aljabar. Aljabar ini diajarkan kepada siswa yang dianggap tidak memiliki pengetahuan tentang matematika di luar prinsip-prinsip dasar aritmetika. Dalam aritmatika, hanya terdapat angka dan operasi ilmu hitung (seperti +, −, ×, ÷). Dalam aljabar, angka sering diwakili oleh simbol-simbol yang disebut variabel (seperti a, n, x, y atau z). Hal ini berguna karena:

  • Hal ini memungkinkan rumusan umum mengenai aturan ilmu hitung (seperti a + b = b + a untuk semua a dan b), dan dengan demikian adalah langkah pertama untuk eksplorasi sistematis dari sifat-sifat sistem bilangan real.
  • Hal ini memungkinkan untuk merujuk kepada angka-angka yang "tidak diketahui" angka-angka, rumusan persamaan dan mempelajari bagaimana untuk memecahkan masalah ini. (Misalnya, "Cari nomor x sedemikian sehingga 3x + 1 = 10" atau pergi sedikit lebih jauh "Cari nomor x sedemikian sehingga ax + b = c". Langkah ini mengarah pada kesimpulan bahwa itu bukan sifat dari nomor tertentu yang memungkinkan kita untuk menyelesaikannya, tetapi operasi yang terlibat.)
  • Hal ini memungkinkan perumusan fungsional hubungan. (Misalnya, "Jika anda menjual x promo, maka profit anda akan menjadi 3x − 10 dolar, atau f(x) = 3x − 10, dimana f adalah fungsi, dan x adalah bilangan dimana fungsi ini diterapkan".)

Polinomial[sunting | sunting sumber]

Grafik dari fungsi polinomial dalam derajat 3.

Polinomial adalah sebuah ekspresi, merupakan jumlah yang terbatas konstanta bilangan bukan nol, setiap istilah yang terdiri dari produk konstan dan terbatas jumlah variabel dinaikkan ke seluruh nomor kekuatan. Misalnya, x2 + 2x − 3 adalah polinomial dalam satu variabel x. Sebuah polinomial ekspresi adalah ungkapan yang dapat ditulis ulang sebagai polinomial, dengan menggunakan komutatif, dan asosiativitas distributif penjumlahan dan perkalian. Misalnya, (x − 1)(x + 3) adalah polinomial ekspresi, yang, dinyatakan dengan benar, bukan banyak jumlahnya. Sebuah fungsi polinomial adalah fungsi yang didefinisikan oleh banyqk jumlahnya, atau, ekuivalen, dengan jumlahnya banyak ekspresi. Dua contoh sebelumnya tentukan sama jumlahnya banyak fungsi.

Dua hal yang penting dan terkait masalah-masalah dalam aljabar adalah faktorisasi dari polinomial, yaitu mengekspresikan diberikan polinomial sebagai produk lain polinomial yang tidak dapat diperhitungkan lebih jauh, dan perhitungan jumlahnya banyak pembagi umum terbesar. Contoh polinomial di atas dapat diperhitungkan sebagai (x − 1)(x + 3). Sebuah kelas yang terkait dengan masalah ini menemukan ekspresi aljabar untuk akar dari polinomial dalam satu variabel.

Pendidikan[sunting | sunting sumber]

Ia telah mengemukakan bahwa dasar aljabar harus diajarkan untuk siswa berumur sebelas tahun,[27] meskipun dalam beberapa tahun terakhir ini lebih umum untuk umum untuk memulai pelajaran di kelas viii tingkat (≈ 13 y.o. ±) di Amerika Serikat.[28]

Sejak tahun 1997, Virginia Tech dan beberapa perguruan tinggi lainnya telah mulai menggunakan model pribadi dari pengajaran aljabar yang menggabungkan umpan balik instan dari berupa perangkat lunak komputer dengan satu-satu dan kelompok kecil les, yang telah mengurangi biaya dan meningkatkan prestasi siswa.[29]

Aljabar abstrak[sunting | sunting sumber]

Aljabar abstrak merupakan perluasan konsep-konsep yang ditemukan dalam aljabar dasar dan konsep-konsep aritmetika dari angka-angka yang lebih umum. Di sini tercantum konsep dasar dalam aljabar abstrak.

Menetapkan: Bukan hanya mengingat berbagai jenis bilangan, aljabar abstrak berkaitan dengan yang lebih umum konsep set: kumpulan semua benda (disebut elemen) yang dipilih oleh properti tertentu untuk mengatur. Semua koleksi akrab jenis nomor set. Contoh lain dari set termasuk himpunan semua dua-dua matriks, himpunan semua kedua-derajat polinomial (ax2 + bx + c), himpunan semua dua dimensi vektor dalam pesawat, dan berbagai kelompok terbatas seperti siklik kelompok, yaitu kelompok dari bilangan bulat modulo n. Teori ini merupakan cabang dari logika dan tidak secara teknis sebuah cabang dari aljabar.

Operasi biner: gagasan penambahan (+) disarikan untuk memberikan sebuah operasi biner, ∗ mengatakan. Gagasan dari operasi biner berarti tanpa mengatur di mana operasi yang didefinisikan. Selama dua unsur a dan b dalam himpunan S, ab adalah unsur lain dalam set; kondisi ini disebut penutupan. Penambahan (+), pengurangan (−), perkalian (x), dan pembagian (÷) dapat operasi biner ketika didefinisikan pada set yang berbeda, seperti penambahan dan perkalian matriks, vektor, dan polinomial.

Identitas unsur-unsur: angka-angka nol dan satu yang disarikan untuk memberikan gagasan dari sebuah elemen identitas untuk operasi. Nol adalah elemen identitas untuk penjumlahan dan salah satunya adalah elemen identitas untuk perkalian. Untuk operator biner ∗ dengan elemen identitas e harus memenuhi ae = a dan ea = a, dan ini tentu unik, jika ada. Ini berlaku untuk penambahan a + 0 = a dan 0 + a = a dan penggandaan a × 1 = a 1 × a = a. Tidak semua set dan operator kombinasi yang memiliki elemen identitas; sebagai contoh, himpunan positif bilangan asli (1, 2, 3, ...) tidak memiliki elemen identitas untuk penjumlahan.

Invers unsur-unsur: angka negatif menimbulkan konsep invers elemen. Untuk itu, invers dari a adalaha, dan untuk perkalian invers ditulis a-1. Umum dua sisi elemen invers a-1 memenuhi properti yang aa-1 = e dan a-1a = e, dimana e adalah elemen identitas.

Asosiativitas: Penambahan bilangan bulat memiliki properti yang disebut associativity. Artinya, pengelompokan angka yang akan ditambahkan tidak mempengaruhi jumlah. Misalnya: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Secara umum, hal ini menjadi (ab) ∗ c = a ∗ (bc). Properti ini dimiliki oleh sebagian besar operasi biner, tetapi tidak pengurangan atau divisi atau perkalian oktinion.

Komutatif: Penjumlahan dan perkalian bilangan real yang keduanya komutatif. Artinya, urutan nomor tidak mempengaruhi hasil. Sebagai contoh: 2 + 3 = 3 + 2. Secara umum, hal ini menjadi ab = ba. Properti ini tidak berlaku untuk semua operasi biner. Sebagai contoh, perkalian matriks dan perkalian angka empat adalah investasi non-komutatif.

Kelompok[sunting | sunting sumber]

Menggabungkan konsep-konsep di atas memberikan salah satu struktur yang paling penting dalam matematika: kelompok. Kelompok adalah kombinasi dari sebuah himpunan S dan satu operasi biner ∗, didefinisikan dalam cara apapun yang dipilih, tapi dengan sifat sebagai berikut:

  • Sebuah elemen identitas e yang ada, sedemikian sehingga setiap anggota a dari S, ea dan ae yang kedua identik dengan sebuah.
  • Setiap elemen mempunyai invers: untuk setiap anggota a dari S, ada anggota a-1 seperti yang aa-1 dan a-1a keduanya identik dengan elemen identitas.
  • Operasi asosiatif: jika a, b dan c adalah anggota dari S, maka (ab) ∗ c identik dengan a ∗ (bc).

Jika kelompok ini juga commutative—yaitu, untuk setiap dua anggota a dan b dari S, ab adalah identik untuk ba—maka kelompok tersebut dikatakan abelian.

Sebagai contoh, himpunan bilangan bulat dibawah operasi penjumlahan merupakan grup. Dalam kelompok ini, elemen identitas 0 dan invers dari setiap elemen a adalah negasi, −a. Associativity persyaratan terpenuhi, karena untuk setiap bilangan bulat a, b dan c, (a + b) + c = a + (b + c)

Bilangan rasional bukan nol membentuk kelompok di bawah perkalian. Di sini, identitas elemen adalah 1, karena 1 × a = a × 1 = a untuk setiap bilangan rasional a. Invers dari a adalah 1/a, karena a × 1/a = 1.

Bilangan bulat dibawah operasi perkalian, namun, tidak membentuk sebuah kelompok. Hal ini karena, secara umum, perkalian invers dari bilangan bulat yang bukan bilangan bulat. Misalnya, 4 adalah bilangan bulat, tetapi multiplicative inverse adalah¼, yang bukan merupakan bilangan bulat.

Teori kelompok yang dipelajari dalam teori grup. Besar hasil dalam teori ini adalah klasifikasi sederhana kelompok terbatas, sebagian besar diterbitkan antara tahun 1955 dan tahun 1983, yang memisahkan terbatas kelompok sederhana menjadi kira-kira 30 jenis dasar.

I justSemigroups, quasigroups, dan monoids adalah struktur yang mirip dengan kelompok, tetapi lebih umum. Mereka terdiri dari satu set dan tertutup operasi biner, tetapi tidak selalu memenuhi kondisi lain. Sebuah semigroup memiliki asosiatif operasi biner, tetapi mungkin tidak memiliki elemen identitas. Sebuah monoid adalah sebuah semigroup yang tidak memiliki identitas, tetapi mungkin tidak memiliki invers untuk setiap elemen. Sebuah quasigroup memenuhi persyaratan bahwa setiap elemen dapat berubah menjadi yang lain, baik oleh unik kiri-perkalian atau kanan-perkalian; namun operasi biner mungkin tidak asosiatif.

Gelanggang dan bidang[sunting | sunting sumber]

Kelompok-kelompok yang hanya memiliki satu operasi biner. Untuk menjelaskan perilaku dari berbagai jenis nomor, struktur dengan dua operator perlu dipelajari. Yang paling penting dari ini adalah gelanggang, dan medan.

Gelanggang memiliki dua operasi biner (+) dan ( × ) × distributif lebih dari +. Di bawah operator pertama (+) membentuk sebuah grup abelian. Di bawah kedua operator (×) itu adalah asosiatif, tapi itu tidak perlu untuk memiliki identitas, atau invers, sehingga divisi ini tidak diperlukan. Aditif (+) elemen identitas ditulis sebagai 0 dan invers aditif dari a ditulis sebagai −a.

Distributif merupakan generalisasi hukum distributif untuk angka. Untuk bilangan bulat (a + b) × c = a × c + b × c dan c × (a + b) = c × a + c × b, dan × dikatakan distributif lebih dari +.

Bilangan bulat adalah contoh dari sebuah cincin. Bilangan bulat memiliki sifat tambahan yang membuat sebuah integral domain.

Medan adalah gelanggang dengan properti tambahan yang semua unsurnya tidak termasuk 0 membentuk suatu grup abelian bawah ×. Perkalian (×) identitas ditulis sebagai 1 dan merupakan multiplikatif invers dari a ditulis sebagai a-1.

Bilangan rasional, bilangan real dan bilangan kompleks adalah contoh dari bidang.

Lihat juga[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ "algebra". Oxford English Dictionary. Oxford University Press. 
  2. ^ I. N. Herstein, Topics in Algebra, "An algebraic system can be described as a set of objects together with some operations for combining them." p. 1, Ginn and Company, 1964
  3. ^ I. N. Herstein, Topics in Algebra, "...it also serves as the unifying thread which interlaces almost all of mathematics." p. 1, Ginn and Company, 1964
  4. ^ T. F. Hoad, ed. (2003). "Algebra". The Concise Oxford Dictionary of English Etymology. Oxford: Oxford University Press. (subscription required (help)). 
  5. ^ Gattengo, Caleb (2010). The Common Sense of Teaching Mathematics. Educational Solutions Inc. ISBN 978-0878252206. 
  6. ^ "2010 Mathematics Subject Classification". Diakses tanggal 5 October 2014. 
  7. ^ Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60255-9. 
  8. ^ [[#CITEREF|]]
  9. ^ ([[#CITEREF|]]) "In the arithmetical theorems in Euclid's Elements VII-IX, numbers had been represented by line segments to which letters had been attached, and the geometric proofs in al-Khwarizmi's Algebra made use of lettered diagrams; but all coefficients in the equations used in the Algebra are specific numbers, whether represented by numerals or written out in words.
  10. ^ Cajori, Florian (2010). A History of Elementary Mathematics – With Hints on Methods of Teaching. p. 34. ISBN 1-4460-2221-8. 
  11. ^ Roshdi Rashed (November 2009). "Al Khwarizmi: The Beginnings of Algebra". Saqi Books. ISBN 0-86356-430-5 
  12. ^ "Diophantus, Father of Algebra". Diakses tanggal 5 October 2014. 
  13. ^ "History of Algebra". Diakses tanggal 5 October 2014. 
  14. ^ Josef W. Meri (2004). Medieval Islamic Civilization. Psychology Press. p. 31. ISBN 978-0-415-96690-0. Diakses tanggal 25 November 2012. 
  15. ^ Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Second ed.). Wiley. pp. 178, 181. ISBN 0-471-54397-7. 
  16. ^ Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Second ed.). Wiley. p. 228. ISBN 0-471-54397-7. 
  17. ^ ([[#CITEREF|]]) "It is not certain just what the terms al-jabr and muqabalah mean, but the usual interpretation is similar to that implied in the translation above.
  18. ^ ([[#CITEREF|]]) "The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root.
  19. ^ Gandz and Saloman (1936), The sources of al-Khwarizmi's algebra, Osiris i, p. 263–277: "In a sense, Khwarizmi is more entitled to be called "the father of algebra" than Diophantus because Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers".
  20. ^ Rashed, R.; Armstrong, Angela (1994). The Development of Arabic Mathematics. Springer. pp. 11–2. ISBN 0-7923-2565-6. OCLC 29181926 
  21. ^ Mathematical Masterpieces: Further Chronicles by the Explorers, p. 92
  22. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi", Arsip Sejarah Matematika MacTutor, Universitas St Andrews .
  23. ^ Victor J. Katz, Bill Barton; Barton, Bill (October 2007). "Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching". Educational Studies in Mathematics (Springer Netherlands) 66 (2): 185–201 [192]. doi:10.1007/s10649-006-9023-7 
  24. ^ ([[#CITEREF|]]) "Abu'l Wefa was a capable algebraist as well as a trigonometer. 
  25. ^ "The Origins of Abstract Algebra".
  26. ^ "The Collected Mathematical Papers".
  27. ^ "Hull's Algebra" (pdf). New York Times. July 16, 1904. Diakses tanggal September 21, 2012. 
  28. ^ Quaid, Libby (September 22, 2008). "Kids misplaced in algebra" (Report). Associated Press. Diakses tanggal September 23, 2012. 
  29. ^ Hamilton, Reeve (7 September 2012). "THE TEXAS TRIBUNE; U.T.-Arlington Adopts New Way to Tackle Algebra". The New York Times. Diakses tanggal 10 September 2012. 

Referensi[sunting | sunting sumber]

  • Boyer, Carl B. (1991), A History of Mathematics (Second ed.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-54397-7  More than one of |author-link=, |author-link=, dan |authorlink= specified (bantuan); More than one of |ISBN= dan |isbn= specified (bantuan)More than one of |author-link=, |author-link=, dan |authorlink= specified (bantuan); More than one of |ISBN= dan |isbn= specified (bantuan)
  • Donald R. Hill, Islam Sains dan Teknik (Edinburgh University Press, 1994).
  • Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, dan Borin Van Loon, Memperkenalkan Matematika (Totem Buku, 1999).
  • George Gheverghese Joseph, Puncak Merak: Non-Eropa Akar Matematika (Penguin Books, 2000).
  • John J o'connor dan Edmund F Robertson, Sejarah Topik: Aljabar Indeks. Di MacTutor History of Mathematics arsip (University of St Andrews, 2005).
  • I. N. Herstein: Topik dalam Aljabar. ISBN 0-471-02371-X
  • R. B. J. T. Allenby: Cincin, Bidang dan Kelompok. ISBN 0-340-54440-6
  • L. Euler: unsur-Unsur dari Aljabar, ISBN 978-1-899618-73-6
  • Asimov, Isaac (1961). Realm of Algebra. Houghton Mifflin. 

Pranala luar[sunting | sunting sumber]