Analisis kompleks

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam matematika, analisis kompleks (bahasa Inggris: complex analysis), merupakan cabang analisis matematis yang membahas fungsi dari bilangan kompleks (yakni mengkaji tidak hanya satu bilangan, melainkan dua bilangan, yakni bilangan riil dan bilangan imajiner[1]).

Analisis kompleks biasanya dikenal sebagai teori fungsi variabel kompleks atau teori fungsi peubah kompleks.

Konsep analisis kompleks[sunting | sunting sumber]

Konsep analisis kompleks ini hampir mirip dengan konsep analisis real. Berikut ini merupakan konsep-konsep analisis kompleks, diantaranya

Bilangan kompleks[sunting | sunting sumber]

Himpunan bilangan kompleks () terdiri himpunan bilangan riil () dan bilangan imajiner.

Dalam matematika, khususnya analisis kompleks, bilangan kompleks merupakan himpunan bilangan yang terdiri dua himpunan bilangan, yakni bilangan riil dan imajiner. Mengenai definisi bilangan kompleks, kita misalkan adalah bilangan kompleks, sehingga dapat didefinisikan

[2]

serta himpunannya didefinisikan sebagai

,[3]

dimana adalah bagian riil, dinotasikan dan adalah bagian imajiner, dinotasikan ,[2] atau dan .[3]

Ilustrasi mengenai bilangan kompleks secara geometri.

Fungsi elementer[sunting | sunting sumber]

Pada konsep ini akan diperkenalkan fungsi elementer, yakni fungsi suku banyak, fungsi rasional, fungsi eksponensial, fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik, fungsi logaritma (beserta inversnya), dan fungsi aljabar dan transenden.[4]

Fungsi suku banyak[sunting | sunting sumber]

Dalam analisis kompleks, fungsi suku banyak didefinisikan sebagai

dimana , adalah konstanta kompleks dan adalah bilangan bulat positif yang dinamakan derajat suku polinom .[4] Mengingat kembali, fungsi rasional adalah fungsi yang mana setiap pembilang dan penyebutnya berupa fungsi polinomial. Misalkan dan adalah fungsi polinomial dengan variabel kompleks sehingga

adalah fungsi rasional bilangan kompleks,[5] dengan kasus khusus diperoleh

adalah suatu transformasi linear atau dinamakan transformasi bilinear.[6]

Fungsi eksponensial[sunting | sunting sumber]

Dalam cabang ini, eksponensial dapat memperluas deret kuasa fungsi eksponensial dari bilangan riil ke bilangan kompleks. Untuk suatu bilangan riil ,

Karena dan (lihat disini mengenai hubungan fungsi trigonometri dengan deret), maka

[7]

Hubungan fungsi eksponensial dengan bilangan kompleks ini dapat kita sebut sebagai rumus Euler.

Fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik beserta inversnya[sunting | sunting sumber]

Mengenai fungsi trigonometri cukup kita turunan rumus Euler, sehingga didapati

dan

Sifat-sifat mengenai fungsi trigonometri dalam bilangan riil berlaku juga dalam bilangan kompleks.[8] Karena fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik[9] (beserta inversnya) berhubungan, maka berlaku juga dalam bilangan kompleks.[10]

Fungsi logaritma[sunting | sunting sumber]

Dalam konsep ini, fungsi ini berupa generalisasi logaritma alami terhadap bilangan kompleks bukan nol. Misalkan , dimana dan persamaan ini ekuivalen dengan

.[11]

Dengan substitusi, maka diperoleh

[7]

dimana .

Limit dan kekontinuan[sunting | sunting sumber]

Suatu fungsi terdefinisi atau mempunyai limit untuk mendekati dituliskan sebagai

.[12]

Definisi limit dapat kita agak-agihkan lebih lanjut menggunakan definsi limit (ε,δ).

Teorema — Jika nilai mendekati untuk setiap mendekati , maka untuk setiap bilangan real positif sangat kecil , dapat ditemukan bilangan real positif sangat kecil yang bergantung pada sedemikian rupa sehingga untuk setiap di dalam lengkungan kecuali pada , diperoleh . Secara simbolik dituliskan sebagai berikut.

Untuk semua , terdapat sedemikian rupa sehingga .[13]

Turunan[sunting | sunting sumber]

Turunan dalam analisis kompleks mirip dengan turunan dalam analisis riil. Namun, karena halaman ini membahas tentang analisis kompleks, kita akan menganggap adalah bilangan kompleks. Menurut definisi, jika diturunkan di , maka turunan dirumuskan

atau .[14]

Integral[sunting | sunting sumber]

Dalam analisis kompleks, integral mirip dengan analisis riil (termasuk juga dengan kalkulus), yakni cabang dari analisis matematis yang menyelidiki fungsi dari bilangan kompleks. Dengan memisalkan adalah fungsi kompleks dengan variabel riil dimana sehingga dan kontinu di interval . Kita dapat menuliskannya sebagai

.[15]

Integral dalam cabang ini dibagi menjadi:

  • Integral lintasan, yaitu suatu integral yang didefinisikan dalam bentuk sepanjang lintasan dari hingga ke . Ini dapat ditulis sebagai

atau .[16]

Bila analitik di dalam dan pada kontur tertutup sederhana arah positif dan bila suatu titik di dalam maka

jika dan hanya jika

.[20]


Residu[sunting | sunting sumber]

Residu dalam analisis kompleks ialah bilangan kompleks yang sebanding dengan integral kontur dari fungsi meromorfik di sepanjang lintasan yang melintasi salah satu singularitasnya. Biasanya dilambangkan sebagai atau . Misal adalah fungsi yang analitik di titik , yang dapat diekspansi ke dalam deret Laurent yang berbentuk

.

Pada koefisien , terdapat pada suku deret Laurent yang berbentuk dinamakan residu pada . Ini ditulis dengan

.[21]

Teorema residu Cauchy[sunting | sunting sumber]

Teorema residu (kadangkala disebut teorema residu Cauchy) merupakan teorema yang cukup penting untuk menghitung integral garis fungsi analitik terhadap kurva tertutup dan kerap kala dipakai untuk menghitung integral riil dan deret takhingga juga. Diberikan adalah lintasan tertutup sederhana yang berorientasi positif, dengan eksepsi pada berhingga banyaknya titik yang masing-masing merupakan singularitas terasing . Maka,

[22]

atau kita tuliskan sebagai

.[23]
Ilustrasi mengenai pemetaan konformal , yang mengakibatkan besar dan arah sudut tidak berubah.

Pemetaan konformal[sunting | sunting sumber]

Pemetaan konformal (terkadang disebut juga sebagai transformasi konformal atau pemetaan bihomorfik) merupakan suatu pemetaan yang mempertahankan besar dan arah sudut. Pemetaan ini juga didefinisikan sebagai suatu teknik dalam matematika (terutama analisis kompleks) yang digunakan untuk mentransformasikan suatu permasalahan matematika beserta penyelesaiannya ke bentuk lain.

Dengan meninjau diberikan suatu pemetaan, , beserta sebarang dua kurva , pada bidang berpotongan pada titik dipetakan berturut-turut sebagai kurva dan pada bidang yang berpotongan di antara kurva dan , maka pemetaan konformal pada .[24]

Dimensi fraktal dalam bilangan kompleks[sunting | sunting sumber]

Dimensi fraktal merupakan dimensi dengan rasio yang memberikan kompleksitas indeks statistik dengan membandingkan bagaimana detail dalam pola fraktal berubah skalanya pada saat diukur. Namun, halaman ini membahas dimensi fraktal dalam bilangan kompleks, salah satu himpunan yang terkenal adalah himpunan Julia dan himpunan Mandelbrot.[25]

Himpunan Julia[sunting | sunting sumber]

Julia set, plotted with Matplotlib.svg

Himpunan Julia, himpunan yang pertama kali diselidiki matematikawan Prancis, Gaston Julia, merupakan salah satu contoh himpunan fraktal yang didefinisikan pada bilangan kompleks dan dibangun dari iterasi-iterasi fungsi kompleks.[26] Salah satu fungsi yang sederhana yang membangun himpunan Julia adalah

.

Dalam dinamika kompleks, himpunan Julia sangat terkait erat dengan himpunan Mandelbrot.[26]

Himpunan Mandelbrot[sunting | sunting sumber]

Himpunan Mandelbrot, dinamai dari Benoît Mandelbrot (matematikawan berkebangsaan Prancis dan Amerika Serikat) merupakan kumpulan titik-titik pada bidang kompleks yang dibangun dengan mengiterasikan fungsi dengan nilai awal bernilai .[27]

Hubungan analisis kompleks dengan cabang lainnya[sunting | sunting sumber]

Analisis kompleks berguna terhadap cabang matematika lainnya, diantaranya: geometri aljabar, hubungan dimana metode transendental ke geometri aljabar, bersama dengan lebih banyak aspek geometri analisis kompleks, yaitu geometri kompleks; teori bilangan, salah satunya hipotesis Riemann, berasal dari Masalah Milenium. Masalah ini diperluas ke seluruh bidang kompleks melalui kontinuasi analitik.[28]; dan kombinatorik analitik, dimana cabang ini dapat diterapkan pada ekspansi binomial pada bilangan kompleks, seperti deret Taylor, deret Laurent, dan teorema binomial.[29]

Namun, hubungan analisis kompleks masih berkaitan dengan cabang fisika, di antaranya: hidrodinamika atau dinamika fluida, dimana bilangan kompleks dapat diterapkan ke dalam kasus penghitungan potensial untuk aliran inkompresibel dimensi 2.[30]; termodinamika, dimana hipotesis Riemann berhubungan dengan mekanika statistik, lihat gas Riemann bebas (en); dan mekanika kuantum, bilangan kompleks dapat diterapkan pada dualitas gelombang partikel, kontroversi kucing Schrödinger, studi kasus spin dan dadu, percobaan celah ganda (berupa contoh pedagogik), dan lain sebagainya.[31]

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Fitri Aryani (2014). Sifat Subkelas Fungsi Univalen, hlm. 1
  2. ^ a b Ahmad Lubab M.Si., Fungsi kompleks, Buku Perkuliahan Program S-1 Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN Sunan Ampel Surabaya. hlm. 6
  3. ^ a b Endang Dedy, M.Si, Encum Sumianti, M.Si, Fungsi Variabel Kompleks. PT Bumi Aksara, hlm. 1. ISBN 978-602-444-713-7
  4. ^ a b M.Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks (PDF). UIN JAKARTA PRESS. hlm. 61. ISBN 978-602-346-028-1. 
  5. ^ Ahlfors, Lars V. Complex Analysis, An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable, Third Edition (PDF). hlm. 30. 
  6. ^ M. Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks. UIN JAKARTA PRESS. hlm. 62. ISBN 978-602-346-028-1. 
  7. ^ a b Howie, John. M. (January 2003). Complex Analysis. hlm. 24. 
  8. ^ M.Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks (PDF). UIN JAKARTA PRESS. hlm. 70. ISBN 978-602-346-028-1. 
  9. ^ M. Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks (PDF). UIN JAKARTA PRESS. hlm. 77. ISBN 978-602-346-028-1. 
  10. ^ M. Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks (PDF). UIN JAKARTA PRESS. hlm. 86. ISBN 978-602-346-028-1. 
  11. ^ Ahlfors, Lars V. Complex Analysis, An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable, Third Edition. hlm. 46. 
  12. ^ M.Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks (PDF). UIN JAKARTA PRESS. hlm. 97. ISBN 978-602-346-028-1. 
  13. ^ M.Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks (PDF). UIN JAKARTA PRESS. hlm. 97. ISBN 978-602-346-028-1. 
  14. ^ M.Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks (PDF). UIN JAKARTA PRESS. hlm. 116. ISBN 978-602-346-028-1. 
  15. ^ Nurwan, S.Pd. M.Si, 2019, Integral Kompleks, hlm. 1
  16. ^ Drs. Bainnudin Yani, M.S., M.Pd. Dr. Anwar, Drs. Syahjuzar M.Si, Pengantar Analisis Kompleks, Syiah Kuala Universitas Press, hlm. 127. ISBN 978-602-5679-03-2
  17. ^ Stalker, John (1998). Complex Analysis: Fundamentals of the Classical Theory of Functions. Springer. hlm. 77. ISBN 0-8176-4038-X. 
  18. ^ Bak, Joseph; Newman, Donald J. (1997). "Chapters 11 & 12". Complex Analysis. Springer. hlm. 130–156. ISBN 0-387-94756-6. 
  19. ^ Krantz, Steven George (1999). "Chapter 2". Handbook of Complex Variables. Springer. ISBN 0-8176-4011-8. 
  20. ^ Dra. Retno Marsitin, M.Pd, | Fungsi Kompleks, Yayasan Edelweis, hlm. 122. ISBN 978-602-14916-3-8
  21. ^ Dian Devita Yohanie, Aplikasi Teori Rsidu Dalam Perhitungan Suatu Integral, hlm. 17.
  22. ^ Dian Devita Yohanie, Aplikasi Teori Rsidu Dalam Perhitungan Suatu Integral, hlm. 20 (teorema 1).
  23. ^ Residu dan Pole, hlm. 5.
  24. ^ H. A. Parhusip, Sulistyono, Pemetaan Konformal Dan Modifikasinya Untuk Suatu Bidang Persegi, hlm. AA-43.
  25. ^ Yohanes Dimas Nugrahanto Wibowo, Dimensi Hausdorff dari Beberapa Bangun Fraktal, hlm. 75.
  26. ^ a b Titik Murwani, Dimensi Fraktal Himpunan Julia, hlm. 63.
  27. ^ Endang Ekowati, Pewarnaan Himpunan Mandelbrot, hlm. 4.
  28. ^ Hendra Gunawan, Fungsi zeta Riemann & Hipotesis Riemann.
  29. ^ Siti Ayu Setia Nastiti, Fungsi Pembangkit dari Polinomial Chebyshev Berdasarkan Ekspansi Binomial , hlm. 11.
  30. ^ Evita Chandra, Aplikasi Bilangan Kompleks pada Dinamika Fluida.
  31. ^ Hendradi Hardhienata, Tutorial Mekanika Kuantum, (ver.1.1 [16.01.14] Vol. I.