Ukuran (matematika)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Lompat ke: navigasi, cari
.

Dalam matematika, konsep ukuran umumnya merujuk pada pengertian seperti "panjang", "luas" dan "volume".

Teori ukuran adalah cabang analisis real yang menginvestigasi aljabar σ, ukuran, fungsi ukuran dan integral. Selain itu ukuran juga penting dalam teori peluang.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Misalkan  ( X , \Sigma ) ruang terukur, yaitu  X suatu himpunan dan  \Sigma sebuah aljabar σ pada  X . Fungusi  \mu : \Sigma \rightarrow [0, + \infty] sebuat ukuran, jika memenuhi sifat-sifat:

  1.  \mu ( A ) \geq 0 untuk semua  A \in \Sigma .
  2.  \mu ( \emptyset ) = 0 .
  3.  \mu \left( \bigcup _{i=1} ^\infty A _ i \right) = \sum _{i=1} ^\infty \mu ( A _i ) untuk semua  A _1 , A _2 , \ldots \in \Sigma yang saling asil ( yaitu  A _i \cap A _j = \emptyset untuk semua  i \neq j ).

Anggota dari  \Sigma dikatakan himpunan terukur.

Selain itu,  ( X , \Sigma , \mu ) disebut ruang ukuran.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Ukuran Lebesgue[sunting | sunting sumber]

Ukuran Lebesgue di  \mathbb{R}  suatu perumuman dari panjang. Panjang interval  I = [a, b] , [a , b ) , ( a , b ] atau  (a,b) didefinisikan  | I | = b - a . Sekarang misalkan  A \subseteq \mathbb{R} suatu himpunan bagian. Keluarga interval  ( I _i ) _{i \in \mathbb{N}} dikatakan meliputi  A apabila  A \subseteq \bigcup _{i \in \mathbb{N}} I _i . Ukuran luar  A didefinisikan sebagai

  m ^\ast ( A ) = \inf \left\{   \sum _{i \in \mathbb{N}} | I _i | : ( I _i ) _{i \in \mathbb{N}} \mbox{ meliputi } A \right\} .

Tepatnya,  m ^\ast yang didefinisikan untuk semua himpunan bagian dari  \mathbb{R} bukan ukuran karena itu tidak memenuhi sifat-3 definisi ukuran.

Himpunan  A \subseteq \mathbb{R} dikatakan terukur (atau terukur Lebesgue) apabila untuk setiap  \varepsilon > 0 terdapat himpunan tertutup  F \subseteq A dan himpunan terbuka  G \supseteq A sedemikian sehingga  m ^\ast ( G \setminus F ) < \varepsilon . Sekarang misalkan  \Sigma adalah keluarga himpunan terukur. Tepatnya,  \Sigma aljabar sigma dan fungsi  m ^\ast yang dibatasi pada  \Sigma ukuran. Ukuran itu dikenal sebagai Ukuran Lebesgue (di  \mathbb{R} ) dan dilambangkan dengan  m .

Ukuran penghitungan[sunting | sunting sumber]

Misalnya  X suatu himpunan dan  \Sigma himpunan kunasa, yakni  \Sigma keluarga semua himpunan bagian dari  X . Jelas,  \Sigma aljabar sigma. Untuk  A \in \Sigma , nilai  \mu ( A ) definisikan sebagai jumlah unsur himpunan  A . Fungsi itu  \mu : \Sigma \rightarrow [ 0 , + \infty ] dikenal sebagai ukuran penghitungan di  X .

Referensi[sunting | sunting sumber]

  • Hendra Gunawan, 2014. Analisis Fourier dan Wavelet. Catatan Kuliah.
  • R. G. Bartle, 1995. The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley Interscience.
  • Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1  Chapter III.
  • R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
  • Folland, Gerald B. (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-317160-0 Check |isbn= value (bantuan)  Second edition.
  • D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
  • Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
  • R. Duncan Luce and Louis Narens (1987). "measurement, theory of," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v. 3, pp. 428-32.
  • M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.