Ukuran (matematika)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Jump to navigation Jump to search
.

Dalam matematika, konsep ukuran umumnya merujuk pada pengertian seperti "panjang", "luas" dan "volume".

Teori ukuran adalah cabang analisis real yang menginvestigasi aljabar σ, ukuran, fungsi ukuran dan integral. Selain itu ukuran juga penting dalam teori peluang.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Misalkan ruang terukur, yaitu suatu himpunan dan sebuah aljabar σ pada . Fungsi sebuat ukuran, jika memenuhi sifat-sifat:

  1. untuk semua .
  2. .
  3. untuk semua yang saling asil ( yaitu untuk semua ).

Anggota dari dikatakan himpunan terukur.

Selain itu, disebut ruang ukuran.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Ukuran Lebesgue[sunting | sunting sumber]

Ukuran Lebesgue di suatu perumuman dari panjang. Panjang interval atau didefinisikan . Sekarang misalkan suatu himpunan bagian. Keluarga interval dikatakan meliputi apabila . Ukuran luar didefinisikan sebagai

Tepatnya, yang didefinisikan untuk semua himpunan bagian dari bukan ukuran karena itu tidak memenuhi sifat-3 definisi ukuran.

Himpunan dikatakan terukur (atau terukur Lebesgue) apabila untuk setiap terdapat himpunan tertutup dan himpunan terbuka sedemikian sehingga . Sekarang misalkan adalah keluarga himpunan terukur. Tepatnya, aljabar sigma dan fungsi yang dibatasi pada ukuran. Ukuran itu dikenal sebagai Ukuran Lebesgue (di ) dan dilambangkan dengan .

Ukuran penghitungan[sunting | sunting sumber]

Misalnya suatu himpunan dan himpunan kunasa, yakni keluarga semua himpunan bagian dari . Jelas, aljabar sigma. Untuk , nilai definisikan sebagai jumlah unsur himpunan . Fungsi itu dikenal sebagai ukuran penghitungan di .

Referensi[sunting | sunting sumber]