Ruang Banach

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam matematika, lebih khusus lagi dalam analisis fungsional, Ruang Banach (pengucapan [ˈbanax]) adalah lengkap ruang vektor bernorma. Jadi, ruang Banach adalah ruang vektor dengan metrik yang memungkinkan penghitungan panjang vektor dan jarak antara vektor dan lengkap dalam arti bahwa urutan Cauchy vektor selalu konvergen ke batas yang didefinisikan dengan baik yang ada di dalam ruang.

Spasi Banach dinamai menurut ahli matematika Polandia Stefan Banach, yang memperkenalkan konsep ini dan mempelajarinya secara sistematis pada 1920–1922 bersama dengan Hans Hahn dan Eduard Helly.[1] Maurice René Fréchet adalah orang pertama yang menggunakan istilah "ruang Banach" dan Banach pada gilirannya kemudian menciptakan istilah "Ruang Fréchet."[2] Ruang Banach awalnya tumbuh dari studi ruang fungsi oleh Hilbert, Fréchet, and Riesz di awal abad ini. Ruang Banach memainkan peran sentral dalam analisis fungsional. Di bidang lain analisis, ruang yang diteliti sering kali merupakan ruang Banach.

Pangkalan Schauder[sunting | sunting sumber]

Basis Schauder dalam ruang Banach X adalah urutan {en}n ≥ 0 vektor di X dengan properti untuk setiap vektor x di X, ada skalar yang didefinisikan secara unik {xn}n ≥ 0 tergantung pada x, seperti itu

Ruang banach dengan basis Schauder harus dapat dipisahkan, karena himpunan kombinasi linier hingga yang dapat dihitung dengan koefisien rasional (katakanlah) padat.

Ini mengikuti dari Teorema Banach–Steinhaus bahwa pemetaan linier {Pn} secara seragam dibatasi oleh beberapa konstanta C. Maka {e
n
}
menunjukkan fungsi koordinat yang menetapkan ke setiap x di X koordinat xn dari x dalam ekspansi di atas. Mereka disebut fungsi biorthogonal. Ketika vektor basis memiliki norma 1, koordinat berfungsi {e
n
}
bersila ≤ 2C di rangkap dua dari X.

Sebagian besar ruang terpisah klasik memiliki basis eksplisit. Sistem Haar {hn} adalah dasar untuk Lp([0, 1]), 1 ≤ p < ∞. sistem trigonometri adalah basis dalam Lp(T) adalah 1 < p < ∞. Sistem Schauder adalah dasar di ruang C([0, 1]).[3] Pertanyaan apakah aljabar disk A(D) berdasar[4] tetap terbuka selama lebih dari empat puluh tahun, sampai Bočkarev menunjukkan pada tahun 1974 bahwa A(D) mengakui dasar yang dibangun dari Sistem Franklin.[5]

Karena setiap vektor x dalam ruang Banach X dengan basis adalah batas dari Pn(x), dengan Pn dari pangkat hingga dan berbatas seragam, spasi X memenuhi properti aproksimasi terbatas. Contoh pertama oleh Enflo dari spasi yang gagal properti aproksimasi adalah pada saat yang sama contoh pertama dari spasi Banach yang dapat dipisahkan tanpa basis Schauder.[6]

Robert C. James mencirikan refleksivitas di ruang Banach dengan dasar: ruang X dengan basis Schauder bersifat refleksif jika dan hanya jika basisnya adalah menyusut dan lengkap terbatas.[7] Dalam hal ini, fungsi biorthogonal membentuk dasar dari rangkap X.

Produk Tensor[sunting | sunting sumber]

Tensor-diagramB.jpg

Misalkan X dan Y menjadi dua ruang vektor-K. Produk tensor XY dari X dan Y adalah ruang vektor- K dengan Z dengan pemetaan bilinear T : X × YZ yang memiliki sifat universal berikut:

Jika T1 : X × YZ1 adalah setiap pemetaan bilinear menjadi a ruang vektor-K pada Z1, lalu ada pemetaan linear yang unik f  : ZZ1 dirumu T1 = fT.

Gambar di bawah T pasangan (x, y) pada X × Y dilambangkan dengan xy, dan disebut tensor sederhana. Setiap elemen z dengan XY adalah jumlah terbatas tensor sederhana tersebut.

Ada berbagai norma yang dapat ditempatkan pada hasil kali tensor ruang vektor yang mendasarinya, antara lain norma silang proyektif dan norma silang injeksi yang diperkenalkan oleh A. Grothendieck pada tahun 1955.[8]

Secara umum, hasil kali tensor ruang komplek tidak kompleks lagi. Saat bekerja dengan ruang Banach, biasanya dikatakan bahwa produk tensor proyektif[9] dari dua ruang Banach X dan Y adalah penyelesaian dari hasil kali tensor aljabar XY dilengkapi dengan norma tensor proyektif, dan juga untuk produk tensor injektor [10] . Grothendieck secara khusus membuktikan bahwa[11]

di mana K adalah ruang Hausdorff yang padat, C(K, Y) ruang Banach fungsi kontinu dari K ke Y dan L1([0, 1], Y) ruang fungsi yang dapat diukur dan diintegrasikan Bochner dari [0, 1] hingga Y, dan di mana isomorfisme adalah isometrik. Dua isomorfisme di atas adalah ekstensi masing-masing dari peta yang mengirimkan tensor f  ⊗ y to the vector-valued function sK →  f (s)yY.

Produk Tensor dan properti aproksimasi[sunting | sunting sumber]

Misalkan X menjadi spasi Banach. Produk tensor diidentifikasi secara isometrik dengan penutupan di B(X) dari himpunan operator peringkat terbatas. Jika X memiliki properti aproksimasi, penutupan ini bertepatan dengan spasi operator kompak pada X.

Untuk setiap ruang Banach Y, ada norma alami 1 peta linear

diperoleh dengan memperluas peta identitas produk tensor aljabar. Grothendieck menghubungkan masalah perkiraan dengan pertanyaan apakah peta ini satu-ke-satu jika Y adalah rangkap dari X. Tepatnya, untuk setiap ruang Banach X, peta

bersifat satu-ke-satu jika dan hanya jika X memiliki properti aproksimasi.[12]

Grothendieck menduga bahwa dan harus berbeda X dan Y adalah ruang Banach berdimensi tak hingga. Hal ini dibantah oleh Gilles Pisier pada tahun 1983.[13] Pisier membangun ruang Banach berdimensi tak hingga X maka and adalah sama. Lebih lanjut, seperti contoh Enflo's, spasi ini X adalah ruang "buatan tangan" yang gagal memiliki properti aproksimasi. Di sisi lain, Szankowski membuktikan bahwa ruang klasik B(ℓ2) tidak memiliki properti aproksimasi.[14]

Beberapa hasil klasifikasi[sunting | sunting sumber]

Penokohan ruang Hilbert di antara ruang Banach[sunting | sunting sumber]

Kondisi yang diperlukan dan cukup agar norma spasi Banach X dikaitkan dengan hasil kali dalam adalah identitas jajaran genjang:

Ini mengikuti, misalnya, bahwa ruang Lebesgue Lp([0, 1]) adalah ruang Hilbert hanya jika p = 2. Jika identitas ini terpenuhi, produk dalam terkait diberikan oleh identitas polarisasi. Dalam kasus skalar nyata, ini memberikan:

Untuk skalar kompleks, tentukan produk dalam C-linear di x, antilinear di y, identitas polarisasi dirumuskan:

Untuk melihat bahwa hukum jajaran genjang cukup, kita mengamati dalam kasus nyata bahwa < x, y > adalah simetris, dan dalam kasus yang kompleks, ia memenuhi properti Simetri Hermitian dan < ix, y > = i < x, y >. Hukum jajaran genjang menyiratkan bahwa < x, y > adalah aditif di x. Oleh karena itu, ia linier di atas rasio, sehingga linier oleh kontinuitas.

Beberapa karakterisasi ruang isomorfik (bukan isometrik) ke ruang Hilbert tersedia. Hukum jajaran genjang dapat diperpanjang hingga lebih dari dua vektor, dan diperlemah dengan diperkenalkannya pertidaksamaan dua sisi dengan konstanta c ≥ 1: Kwapień membuktikan bahwa jika

untuk bilangan bulat n dan semua famili vektor {x1, ..., xn} ⊂ X, maka ruang Banach X isomorfik ke ruang Hilbert.[15] Maka, Ave± menunjukkan rata-rata selama 2n kemungkinan pilihan tanda ±1. Dalam artikel yang sama, Kwapień membuktikan bahwa validitas Teorema Parseval yang bernilai Banach untuk transformasi Fourier mencirikan ruang Banach isomorfik ke ruang Hilbert.

Lindenstrauss dan Tzafriri membuktikan bahwa ruang Banach di mana setiap subruang linier tertutup saling melengkapi (yaitu, kisaran proyeksi linier yang dibatasi) isomorfik ke ruang Hilbert.[16] Buktinya bersandar pada Teorema Dvoretzky tentang penampang Euklides benda cembung simetris terpusat berdimensi tinggi. Dengan kata lain, teorema Dvoretzky menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat n, setiap ruang bernorma berdimensi-hingga, dengan dimensi yang cukup besar dibandingkan dengan n, berisi subruang yang hampir isometrik dengan ruang Euklides berdimensi n.

Klasifikasi metrik[sunting | sunting sumber]

Jika adalah isometri dari ruang Banach ke ruang Banach (dengan dan adalah ruang vektor berakhir ), lalu Teorema Mazur-Ulam menyatakan bahwa harus berupa transformasi affine. Secara khusus, jika , ini memetakan nol dari ke nol dari , kemudian harus linear. Hasil ini menyiratkan bahwa metrik dalam ruang Banach, dan lebih umum lagi dalam ruang bernorma, sepenuhnya menangkap struktur liniernya.

Klasifikasi topologi[sunting | sunting sumber]

Ruang Banach berdimensi hingga bersifat homeomorfik sebagai ruang topologi, jika dan hanya jika memiliki dimensi yang sama dengan ruang vektor nyata.

Teorema Anderson–Kadec (1965–66) proves[17] that any two infinite-dimensional separable Banach spaces are homeomorphic as topological spaces. Kadec's theorem was extended by Torunczyk, who proved[18] bahwa dua ruang Banach bersifat homeomorfik jika dan hanya jika keduanya memiliki karakter kerapatan yang sama, kardinalitas minimum dari himpunan bagian padat.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Glosarium simbol:

Classical Banach spaces
Ruang ganda Refleksif selesai secara berurutan lemah Norma Catatan
Kn Kn Ya Ya Ruang Euklides
n
p
n
q
Ya Ya
n
n
1
Ya Ya
p q Ya Ya
1 Tidak Ya
ba Tidak Tidak
c 1 Tidak Tidak
c0 1 Tidak Tidak Isomorfik tetapi bukan isometrik ke c.
bv Tidak Ya Isometrik isomorfik ke 1.
bv0 Tidak Ya 1.
bs ba Tidak Tidak Isometrically isomorphic to .
cs 1 Tidak Tidak Isometrically isomorphic to c.
B(X, Ξ) ba(Ξ) Tidak Tidak
C(X) rca(X) Tidak Tidak
ba(Ξ) ? Tidak Ya
ca(Σ) ? Tidak Ya A closed subspace of ba(Σ).
rca(Σ) ? Tidak Ya A closed subspace of ca(Σ).
Lp(μ) Lq(μ) Ya Ya
L1(μ) L(μ) Tidak Ya The dual is L(μ) if μ is σ-finite.
BV(I) ? Tidak Ya Vf (I) is the total variation of f
NBV(I) ? Tidak Ya NBV(I) consists of BV(I) functions such that
AC(I) K + L(I) Tidak Ya Isomorphic to the Sobolev space W 1,1(I).
Cn([a, b]) rca([a,b]) Tidak Tidak Isomorphic to RnC([a,b]), essentially by Taylor's theorem.

Turunan[sunting | sunting sumber]

Beberapa konsep turunan dapat didefinisikan di ruang Banach. Lihat artikel di Turunan Fréchet dan Turunan Gateaux untuk detailnya. Derivatif Fréchet memungkinkan perluasan konsep dari turunan total ke ruang Banach. Turunan Gateaux memungkinkan perpanjangan turunan arah ke konveks lokal ruang vektor topologis. Diferensiasi Fréchet adalah kondisi yang lebih kuat daripada daya diferensiasi Gateaux. Kuasi-turunan adalah generalisasi turunan terarah lain yang menyiratkan kondisi yang lebih kuat, tetapi kondisi yang lebih lemah dari diferensiasi Fréchet.

Generalisasi[sunting | sunting sumber]

Beberapa ruang penting dalam analisis fungsional, misalnya ruang dari semua fungsi yang seringkali terdiferensiasi tanpa batas RR, atau ruang dari semua distribusi pada R, lengkap tetapi bukan ruang vektor bernorma dan karenanya bukan ruang Banach. Dalam ruang Fréchet yang satu masih memiliki metrik lengkap, sementara ruang-LF adalah ruang vektor seragam lengkap yang muncul sebagai batas ruang Fréchet.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Bourbaki 1987, V.86
  2. ^ Narici & Beckenstein 2011, hlm. 93.
  3. ^ Lihat (Lindenstrauss & Tzafriri 1977) p. 3.
  4. ^ pertanyaan muncul p. 238, §3 dalam buku Banach, (Banach 1932).
  5. ^ lihat S. V. Bočkarev, "Keberadaan basis dalam ruang fungsi analitik dalam disk, dan beberapa properti sistem Franklin". (Rusia) Mat. Sb. (N.S.) 95 (137) (1974), 3–18, 159.
  6. ^ see Enflo, P. (1973). "A counterexample to the approximation property in Banach spaces" (PDF). Acta Math. 130: 309–317. doi:10.1007/bf02392270. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2016-03-03. Diakses tanggal 2016-06-02. 
  7. ^ lihat R.C. James, "Basis dan refleksivitas ruang Banach". Ann. Matematika. (2) 52, (1950). 518–527. Lihat pula (Lindenstrauss & Tzafriri 1977) p. 9.
  8. ^ lihat A. Grothendieck, "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires". Mem. Amer. Math. Soc. 1955 (1955), no. 16, 140 pp., dan A. Grothendieck, "Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques". Bol. Soc. Mat. São Paulo 8 1953 1–79.
  9. ^ lihat bab. 2, hal. 15 in (Ryan 2002).
  10. ^ lihat bab. 3, hal. 45 inci (Ryan 2002).
  11. ^ lihat Contoh. 2.19, hal. 29, dan hlm. 49–50 dalam (Ryan 2002).
  12. ^ see Proposition 4.6, p. 74 in (Ryan 2002).
  13. ^ lihat Pisier, Gilles (1983), "Counterexamples to a conjecture of Grothendieck", Acta Math. 151:181–208.
  14. ^ Lihat Szankowski, Andrzej (1981), "B(H) tidak memiliki properti aproksimasi ", Acta Math. 147: 89–108. Ryan mengklaim bahwa hasil ini karena Per Enflo, hal. 74 inci (Ryan 2002).
  15. ^ lihat Kwapień, S. (1970), "A linear topological characterization of inner-product spaces", Studia Math. 38:277–278.
  16. ^ lihat Lindenstrauss, J. and Tzafriri, L. (1971), "On the complemented subspaces problem", Israel J. Math. 9:263–269.
  17. ^ C. Bessaga, A. Pełczyński (1975). Selected Topics in Infinite-Dimensional Topology. Panstwowe wyd. naukowe. hlm. 177–230. 
  18. ^ H. Torunczyk (1981). Characterizing Hilbert Space Topology. Fundamenta MAthematicae. hlm. 247–262. 

Bibliografi[sunting | sunting sumber]

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

Weisstein, Eric W. "Banach Space". MathWorld. 

Templat:Ruang Banach Templat:Analisis Fungsional