Integral Lebesgue

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam matematika modern, Integral Lebesgue suatu konsep integral.

Konstruksi[sunting | sunting sumber]

Ruang ukuran[sunting | sunting sumber]

Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu ruang ukuran .

Integral dari fungsi sederhana[sunting | sunting sumber]

Fungsi karakteristik untuk himpunan adalah

Suatu fungsi tersebut fungsi sederhana, jika

untuk , dan .

Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana sebagai

Integral dari fungsi tak negatif[sunting | sunting sumber]

Misalnya suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai

Perhatikan bahwa .

Integral dari fungsi terukur sembarang[sunting | sunting sumber]

Misalnya suatu fungsi terukur. Selanjutnya fungsi tak negatif dan adalah didefinisikan tik demi tik sebagai dan . Perhatikan bahwa dan .

Jika dan , maka dikatakan terintegralkan dan kita mendefinisikan

Jelas, terintegralkan jika dan hanya jika .

Sifat-sifat dasar[sunting | sunting sumber]

  • Integral itu linear, yaitu jika dan fungsi terintegralkan, maka juga terintegralkan dengan
  • Integral itu monoton, yaitu jika fungsi terintegralkan dan , maka