Integral Lebesgue

The integral of a positive function can be interpreted as the area under a curve.

Kalkulus
Teorema dasar Limit fungsi Kontinuitas Teorema nilai purata Teorema Rolle
Diferensial Definisi Turunan (generalisasi) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total Konsep Notasi untuk diferensiasi Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Diferensiasi implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor Kaidah dan identitas Penjumlahan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno
Integral Tabel integral Definisi Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi contour Integrasi secara parsial disk cangkang silindris substitusi (trigonometrik) pecahan parsial Order Rumus reduksi
Deret geometri (aritmetika-geometrik) harmonik alternating pangkat Binomial Taylor Tes konvergensi elemen (term) rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret berseling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel
Vektor Gradien Divergence Curl Laplacian direksional identitas Teorema Divergensi Gradien Green Stokes
Multivariabel Formalisme Matriks Tensor Eksterior Geometrik Definisi Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukan integral Integral volume Jacob Hesse
Khusus Fraksional Malliavin Stokastik Variasi

Dalam matematika modern, Integral Lebesgue suatu konsep integral.

Konstruksi

Ruang ukuran

Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu ruang ukuran $(X,\Sigma ,\mu )$.

Integral dari fungsi sederhana

Fungsi karakteristik $\chi _{A}:X\rightarrow \{0,1\}$ untuk himpunan $A\subseteq X$ adalah

$\chi _{A}(x)={\begin{cases}1&\mathrm {jika} \;x\in A\\0&\mathrm {jika} \;x\not \in A\end{cases}}.$

Suatu fungsi $\phi :X\rightarrow \mathbb {R}$ tersebut fungsi sederhana, jika

$\phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}$

untuk $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {R}$, $A_{1},\ldots ,A_{n}\in \Sigma$ dan $n\in \mathbb {N}$.

Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana $\phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}$ sebagai

$\int _{X}\phi \,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\,\alpha _{i}\mu (A_{i}).$

Integral dari fungsi tak negatif

Misalnya $f:(X,\Sigma )\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai

$\int _{X}f\,d\mu =\sup \left\{\int _{X}\phi \,d\mu :\phi {\text{ sederhana, }}0\leq \phi \leq f\right\}.$

Perhatikan bahwa $\int _{X}f\,d\mu \in [0,\infty ]$.

Integral dari fungsi terukur sembarang

Misalnya $f:(X,\Sigma )\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ suatu fungsi terukur. Selanjutnya fungsi tak negatif $f^{+}$ dan $f^{-}$ adalah didefinisikan tik demi tik sebagai $f^{+}=\max\{f,0\}$ dan $f^{-}=\max\{-f,0\}$. Perhatikan bahwa $f=f^{+}-f^{-}$ dan $|f|=f^{+}+f^{-}$.

Jika $\int _{X}f^{+}\,d\mu <\infty$ dan $\int _{X}f^{-}\,d\mu <\infty$, maka $f$ dikatakan terintegralkan dan kita mendefinisikan

$\int _{X}f\,d\mu =\int _{X}f^{+}\,d\mu -\int _{X}f^{-}\,d\mu .$

Jelas, $f$ terintegralkan jika dan hanya jika $\int |f|\,d\mu <\infty$.

Sifat-sifat dasar

• Integral itu linear, yaitu jika $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ dan $f,g$ fungsi terintegralkan, maka $\alpha f+\beta g$ juga terintegralkan dengan

$\int _{X}\alpha f+\beta g\,d\mu =\alpha \int _{X}f\,d\mu +\beta \int _{X}g\,d\mu .$

• Integral itu monoton, yaitu jika $f,g$ fungsi terintegralkan dan $f\leq g$, maka

$\int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .$