Turunan

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Grafik fungsi (warna hitam) dan garis tangen pada fungsi (warna merah). Kemiringan dari garis tangen sama dengan turunan fungsi pada titik tersebut.

Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai masukan. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu fungsi berubah akibat perubahan variabel; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.

Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan dari turunan disebut dengan antiturunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan sama dengan integrasi. Turunan dan integral adalah operasi dasar dalam kalkulus.


Diferensiasi[sunting | sunting sumber]

Notasi (detail)[sunting | sunting sumber]

Aturan komputasi[sunting | sunting sumber]

Dalam dimensi yang lebih tinggi[sunting | sunting sumber]

Generalisasi[sunting | sunting sumber]

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Notasi turunan[sunting | sunting sumber]

Notasi untuk diferensiasi yang umum digunakan untuk menunjukan turunan adalah notasi Newton dan Leibniz.

Notasi Newton untuk turunan

  • adalah notasi untuk turunan pertama.
  • adalah notasi untuk turunan kedua.
  • adalah notasi untuk turunan ke-n.
  • adalah notasi untuk nilai fungsi turunan ke-n pada .

Notasi Leibniz untuk turunan

  • adalah notasi untuk turunan pertama.
  • adalah notasi untuk turunan kedua.
  • adalah notasi untuk turunan ke-n.
  • adalah notasi untuk nilai fungsi turunan ke - n pada .

Selain kedua notasi tersebut terdapat notasi lain untuk turunan. Notasi lain yang sering digunakan pada Mekanika klasik adalah

dengan satu titik diatas fungsi menandakan bahwa turunan pertama terhadap waktu (), dan dua titik untuk turunan kedua terhadap waktu ().

Notasi Libiniz[sunting | sunting sumber]

dy
dx
d 2y
dx2
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 - 1716), filsuf Jerman, matematikawan, dan nama notasi matematika yang paling luas digunakan dalam kalkulus.

Dalam kalkulus, notasi Leibniz, dinamakan untuk menghormati filsuf dan matematikawan Jerman abad ke-17 Gottfried Leibniz, menggunakan simbol dx dan dy untuk melambangkan pertambahan "kecil takhingga" (atau infinitesimal) dari x dan y, sebagaimana Δx dan Δy melambangkan pertambahan hingga dari x dan y. Untuk y sebagai fungsi dari x

turunan y terhadap x, yang kemudian dipandang sebagai

adalah, menurut Leibniz, hasil bagi dari pertambahan kecil takhingga dari y oleh pertambahan kecil takhingga x, atau

dengan ruas kanan adalah notasi Lagrange untuk turunan f di x.

Meskipun sekarang matematikawan memandang integral

sebagai limit

dengan Δx adalah selang yang mengandung xi, Leibniz memandangnya sebagai jumlahan (lambang integral menandakan penjumlahan) kuantitas infinitesimal yang banyaknya takhingga f(x) dx.

Salah satu kelebihan sudut pandang Leibniz adalah kesesuaiannya dengan analisis dimensi. Sebagai contoh, dalam notasi Leibniz, turunan kedua (menggunakan penurunan implisit) adalah

dan memiliki satuan dimensi yang sama dengan .[1]

Turunan umum[sunting | sunting sumber]

Diferensiasi[sunting | sunting sumber]

Kemiringan fungsi linear

Dalam hal ini, y = f ( x ) = mx + b, untuk bilangan riil m dan b dan kemiringan m diberikan oleh

Apa itu simbol adalah singkatan untuk perubahan.

Rumus di atas berlaku karena

Hasilnya adalah

Nilai tersebut memberikan untuk kemiringan garis.

Nilai perubahan sebagai nilai limit
Gambar 2. The secant to curve y= f(x) determined by points (x, f(x)) and (x + h, f(x + h))
Figure 3. Garis singgung sebagai batas garis potong
Gambar 4. Ilustrasi animasi: garis singgung (turunan) sebagai batas garis potong

Sifat - sifat turunan[sunting | sunting sumber]

Linearitas

Aturan produk

Dalil rantai

Sifat umum lain

Dimana fungsi dan adalah fungsi satu variabel .

Eksponen dan bilangan natural[sunting | sunting sumber]

Logaritma dan bilangan natural[sunting | sunting sumber]

Trigonometri[sunting | sunting sumber]

Invers
Hiperbolik

Contoh soal dalam aplikasi turunan[sunting | sunting sumber]

NB
hasil nilai turunan pada maksimum/terbesar atau minimum/terkecil dianggap nol agar tercapai.
  • Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva di titik !

masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m

persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)

  • Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan kurva di titik !

masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m

karena tegak lurus maka nilai mt

persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)

  • Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari ratus ribu rupiah. Berapa hari agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan?
biaya dalam 1 hari
biaya dalam x hari

biaya minimum tercapai saat turunannya = 0

hari
  • Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar ribu rupiah. Jika semua produk perusahaan terjual dengan harga Rp40,000 untuk setiap produknya. Berapa laba maksimum yang diperolehnya?
laba = total penjualan - total biaya
laba

laba maksimum tercapai saat turunannya = 0

ribu rupiah
  • Jumlah dari bilangan pertama dan bilangan kedua kuadrat adalah 75. Berapa nilai terbesar dari hasil kali?
Misalkan: bilangan pertama = x dan bilangan kedua = y
hasil kali:

nilai terbesar dari hasil kali tercapai saat turunannya = 0

karena nilai terbesar maka terambil y = 5, kita cari x

nilai terbesar hasil kali:

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Perhatikan bahwa adalah notasi ringkas untuk , atau, dalam kata lain diferensial kedua dari y terhadap kuadrat dari diferensial pertama dari x. Penyebut bukanlah diferensial dari x2, atau diferensial kedua dari x.