Fungsi kontinu

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Fungsi kontinu dalam matematika adalah fungsi, yang bila dijelaskan secara intuitif, perubahan kecil dalam masukannya berakibat perubahan kecil pula pada keluaran. Bila tidak demikian, fungsi tersebut dikatakan diskontinu. Fungsi kontinu dengan fungsi invers kontinu pula disebut bikontinu. Gagasan intuitif kekontinuan dapat diberikan oleh pernyataan bahwa fungsi kontinu adalah fungsi yang grafiknya dapat digambar tanpa mengangkat kapur dari papan tulis.

Kekontinuan fungsi merupakan salah satu konsep inti topologi.

Sebagai contoh fungsi kontinu, perhatikan fungsi h(t), yang memerikan tinggi bunga yang sedang tumbuh pada waktu t. Fungsi ini kontinu. Terdapat diktum dalam fisika klasik yang menyatakan bahwa di alam semuanya kontinu. Sebaliknya, jika M(t) melambangkan jumlah uang di sebuah rekening bank pada waktu t, fungsi ini melompat ketika uang disimpan atau ditarik. Karena itu fungsi M(t) diskontinu.

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Suatu bentuk pada epsilon-delta definisi kontinuitas pertama kali diberikan oleh Bernard Bolzano pada tahun 1817. Augustin-Louis Cauchy mendefinisikan kesinambungan sebagai berikut: peningkatan kecil yang tak terhingga pada nilai dari variabel independen x selalu menghasilkan perubahan kecil yang tak terhingga dari variabel dependen y (lihat Cours d'Analyse, p. 34). Cauchy mendefinisikan jumlah yang sangat kecil dalam hal besaran variabel, dan definisinya tentang kontinuitas sangat mirip dengan definisi sangat kecil yang digunakan saat ini (lihat mikrokontinuitas). Definisi formal dan perbedaan antara kontinuitas pointwise dan kontinuitas seragam pertama kali diberikan oleh Bolzano pada tahun 1830-an tetapi karya tersebut tidak dipublikasikan sampai tahun 1930-an. Seperti Bolzano,[1] Karl Weierstrass[2] menolak kontinuitas fungsi pada suatu titik c kecuali hal ini dapat didefinisikan dan di kedua sisi c, melainkan Édouard Goursat[3] memungkinkan fungsi untuk didefinisikan hanya di dan di satu sisi c, serta Camille Jordan[4] mengizinkannya meskipun fungsi itu hanya ditentukan di c. Ketiga definisi yang tidak setara tentang kontinuitas pointwise masih digunakan.[5] Eduard Heine memberikan definisi yang diterbitkan pertama tentang kesinambungan seragam pada tahun 1872, tetapi berdasarkan gagasan ini pada kuliah yang diberikan oleh Peter Gustav Lejeune Dirichlet in 1854.[6]

Fungsi riil kontinu[sunting | sunting sumber]

Misalkan kita memiliki fungsi yang memetakan bilangan riil kepada bilangan riil, dengan domainnya merupakan suatu selang, seperti fungsi h dan M di atas. Fungsi seperti ini dapat dilambangkan dengan grafik dalam bidang Cartesius. Secara kasar dapat dikatakan fungsi tersebut kontinu bila grafik itu berupa kurva tunggal tidak terputus, tanpa "lubang" atau "lompatan"

Untuk lebih cermat, kita mengatakan bahwa fungsi f kontinu pada suatu titik c bila dua persyaratan berikut terpenuhi:

  • f(c) harus terdefinisi (c termasuk dalam domain f)
  • limit f(x) saat x mendekati c baik dari kiri maupun dari kanan ada, dan harus sama dengan f(c).

Kita menyebut fungsi tersebut kontinu di semua titik atau kontinu saja bila fungsi tersebut kontinu di semua elemen dalam domainnya. Lebih umum lagi, kita menyebut suatu fungsi kontinu dalam sebarang himpunan bagian dari domainnya bila fungsi tersebut kontinu di semua titik dalam himpunan bagian tersebut. Apabila kita mengatakan suatu fungsi kontinu, kita biasanya bermaksud bahwa fungsi tersebut kontinu untuk semua bilangan riil.

Definisi Cauchy untuk fungsi kontinu[sunting | sunting sumber]

Tanpa harus menggunakan konsep limit, kita dapat mendefinisikan kekontinuan fungsi riil sebagai berikut:

Perhatikan suatu fungsi f yang memetakan himpunan bilangan riil kepada himpunan bilangan riil lainnya, dan misalkan c adalah termasuk dalam domain f. Fungsi f dikatakan kontinu pada titik c bila pernyataan berikut berlaku: Untuk tiap bilangan ε > 0, seberapa pun kecilnya, terdapat suatu bilangan δ > 0 sedemikian sehingga untuk semua x dalam domain dengan c - δ < x < c + δ, nilai f(x) memenuhi:

Dapat pula ditulis: bila himpunan bagian I, D dari R (himpunan bilangan riil), kekontinuan f: ID pada cI berartiuntuk semua ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk semua xI :

Definisi delta-epsilon untuk kekontinuan ini pertama kali diberikan oleh Cauchy.

Fungsi kontinu di antara ruang metrik[sunting | sunting sumber]

Konsep fungsi bernilai riil kontinu dapat digeneralisasikan ke fungsi antara ruang metrik. Ruang metrik adalah satu set dari nilai X dilengkapi dengan fungsi yang disebut metrik) dX, yang dapat dianggap sebagai ukuran jarak dua elemen pada X. Secara formal, metrik adalah fungsi

yang memenuhi sejumlah persyaratan, terutama pertidaksamaan segitiga. Diberikan dua ruang metrik (X, dX) dan (Y, dY) dan sebuah fungsi

setelah itu nilai f terus menerus pada inti nilai c pada nilai X (sehubungan dengan metrik yang diberikan) jika untuk bilangan riil positif ε, terdapat bilangan riil positif δ sehingga nilai x pada nilai X memuaskan dX(x, c) < δ hal ini juga akan memuaskan dY(f(x), f(c)) < ε. Seperti dalam kasus fungsi riil di atas, ini setara dengan kondisi untuk setiap urutan (xn) in X karena limit lim xn = c, kami memiliki nilai lim f(xn) = f(c). Kondisi terakhir bisa dilemahkan sebagai berikut: f terus menerus pada intinya c jika dan hanya jika untuk setiap urutan konvergen (xn) in X bersama nilai limit c, urutan dari (f(xn)) adalah urutan Cauchy, dan c berada di domain f.

Himpunan titik di mana fungsi antara ruang metrik kontinu adalah Gδ set – ini mengikuti dari definisi kontinuitas ε-δ.


Kesinambungan Uniform, Hölder dan Lipschitz[sunting | sunting sumber]

Untuk fungsi kontinu Lipschitz, terdapat kerucut ganda (ditampilkan dalam warna putih) yang simpulnya dapat diterjemahkan sepanjang graf, sehingga graf tersebut selalu seluruhnya berada di luar kerucut.

Konsep kesinambungan fungsi antar ruang metrik dapat diperkuat dengan berbagai cara dengan membatasi cara δ bergantung pada ε dan c pada definisi di atas. Secara intuitif, fungsi f seperti di atas adalah kontinu seragam jika δ melakukannya tidak tergantung pada titik c. Lebih tepatnya, hal tersebut diperlukan untuk setiap bilangan real ε > 0 disana ada δ > 0 seperti itu untuk setiap cb ∈ X with dX(bc) < δ, kita punya dY(f(b), f(c)) < ε. Jadi, setiap fungsi kontinu yang seragam adalah kontinu. Kebalikannya tidak berlaku secara umum, tetapi berlaku bila ruang domain X adalah padat. Peta kontinu yang seragam dapat didefinisikan dalam situasi yang lebih umum dari ruang uniform.[7]

Suatu fungsi adalah Kontinu Hölder dengan eksponen α (bilangan real) jika ada konstanta K seperti itu untuk semua b dan c pada X, pertidaksamaan

memegang. Semua fungsi kontinu Hölder kontinu secara seragam. Kasus khusus α = 1 disebut sebagai Kontinuitas Lipschitz. Artinya, suatu fungsi Lipschitz kontinu jika ada konstanta K sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan

memegang untuk apapun b, c pada X.[8] Kondisi Lipschitz terjadi, misalnya, dalam teorema Picard – Lindelöf mengenai solusi persamaan diferensial biasa.

Gagasan terkait[sunting | sunting sumber]

Berbagai domain matematika lainnya menggunakan konsep kontinuitas dalam arti yang berbeda, tetapi terkait. Misalnya, di teori urutan, fungsi menjaga ketertiban f: XY antara tipe tertentu dari set yang diurutkan sebagian X and Y adalah kontinu jika untuk setiap subset yang diarahkan A of X, kami memiliki nilai sup (f(A)) = f(sup(A)). Di sini sup adalah supremum sehubungan dengan urutan di X dan Y, masing-masing. Gagasan kontinuitas ini sama dengan kontinuitas topologi ketika himpunan yang diurutkan sebagian diberi topologi Scott.[9][10]

Dalam teori kategori, sebuah functor

antara dua kategori disebut kontinu, jika bolak-balik dengan kecil limit. Artinya,

untuk setiap kecil (yaitu, diindeks oleh himpunan I, sebagai lawan dari diagram objek kelas) di .

sebuah ruang kontinuitas adalah generalisasi ruang metrik dan poset,[11][12] yang menggunakan konsep kuantale, dan yang dapat digunakan untuk menyatukan pengertian ruang metrik dan domain.[13]

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Bolzano, Bernard (1817), Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewaehren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege, Prague: Haase 
  2. ^ Dugac, Pierre (1973), "Eléments d'Analyse de Karl Weierstrass", Arsip untuk Sejarah Ilmu Tepat, 10: 41–176, doi:10.1007/bf00343406 
  3. ^ Goursat, E. (1904), Sebuah kursus dalam analisis matematika, Boston: Ginn, hlm. 2 
  4. ^ Jordan, M.C. (1893), Cours d'analyse de l'École polytechnique, 1 (edisi ke-2nd), Paris: Gauthier-Villars, hlm. 46 
  5. ^ Harper, J.F. (2016), "Mendefinisikan kesinambungan fungsi nyata dari variabel nyata", BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics: 1–16, doi:10.1080/17498430.2015.1116053 
  6. ^ Rusnock, P.; Kerr-Lawson, A. (2005), "Bolzano dan keseragaman kontinuitas", Historia Mathematica, 32 (3): 303–311, doi:10.1016/j.hm.2004.11.003 
  7. ^ Gaal, Steven A. (2009), Topologi himpunan titik, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 , section IV.10
  8. ^ Searcóid, Mícheál Ó (2006), Ruang metrik, Springer undergraduate mathematics series, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-84628-369-7 , bagian 9.4
  9. ^ Goubault-Larrecq, Jean (2013). Topologi Non-Hausdorff dan Teori Domain: Topik Pilihan dalam Topologi Set-Titik. Cambridge University Press. ISBN 1107034132. 
  10. ^ Gierz, G.; Hofmann, K. H.; Keimel, K.; Lawson, J. D.; Mislove, M. W.; Scott, D. S. (2003). Kisi dan Domain BerkelanjutanPerlu mendaftar (gratis). Ensiklopedia Matematika dan Aplikasinya. 93. Cambridge University Press. ISBN 0521803381. 
  11. ^ Flagg, R. C. (1997). "Kuantitas dan ruang kontinuitas". Aljabar Universalis. CiteSeerX 10.1.1.48.851alt=Dapat diakses gratis. 
  12. ^ Kopperman, R. (1988). "Semua topologi berasal dari metrik umum". Bulanan Matematika Amerika. 95 (2): 89–97. doi:10.2307/2323060. 
  13. ^ Flagg, B.; Kopperman, R. (1997). "Ruang kontinuitas: Merekonsiliasi domain dan ruang metrik". Ilmu Komputer Teoritis. 177 (1): 111–138. doi:10.1016/S0304-3975(97)00236-3. 

Referensi[sunting | sunting sumber]