Limit barisan

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
diagram segi enam dan segi lima yang dibatasi di luar lingkaran
Limit barisan keliling segibanyak segi-n beraturan yang melilit bagian luar lingkaran satuan sama dengan keliling lingkaran, yaitu . Barisan keliling segibanyak beraturan yang menyinggung bagian dalam lingkaran pun menuju limit yang sama.
n n sin(1/n)
1 0.841471
2 0.958851
...
10 0.998334
...
100 0.999983

Semakin bilangan bulat positif membesar tanpa batas, nilai menjadi semakin dekat menuju . Dapat dikatakan bahwa "limit barisan sama dengan ."

Dalam matematika, limit barisan adalah nilai yang didekati oleh suku-suku barisan ketika nomor urut suku-sukunya semakin membesar. Limit barisan seringkali dilambangkan dengan (yaitu, ).[1] Jika suatu barisan mempunyai limit, barisan itu disebut konvergen. Barisan yang tidak konvergen disebut divergen.[2] Limit barisan dikatakan sebagai gagasan landasan seluruh analisis matematika.[3]

Limit dapat ditentukan pada ruang metrik atau ruang topologi, tetapi biasanya pertama kali ditemukan dalam bilangan real.

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Filsuf Yunani Zeno dari Elea terkenal karena merumuskan paradoks yang melibatkan proses-proses limit.

Leucippus, Democritus, Antiphon, Eudoksos, dan Archimedes mengembangkan metode penghabis, yakni menggunakan barisan hampiran tak hingga untuk mencari luas atau volume. Archimedes berhasil menjumlahkan apa yang sekarang disebut deret geometrik.

Newton membincangkan deret dalam karyanya Analysis with infinite series (ditulis pada tahun 1669, diedarkan dalam bentuk manuskrip, diterbitkan pada tahun 1711), Method of fluxions and infinite series (ditulis tahun 1671, diterbitkan dalam terjemahan bahasa Inggris tahun 1736, buku asal yang berbahasa Latin diterbitkan lama kemudian) dan Tractatus de Quadratura Curvarum (ditulis tahun 1693, diterbitkan tahun 1704 sebagai Lampiran bagi karya Optiks). Dalam karya terakhir, Newton menganggap ekspansi binomial , yang kemudian dia linierisasi dengan mengambil nilai limit karena o cenderung  ke 0.

Pada abad ke-18, matematikawan seperti Euler berhasil menjumlahkan beberapa deret divergen dengan berhenti pada saat yang tepat; mereka tidak terlalu peduli apakah ada limit, asalkan bisa dihitung. Di akhir abad ini, Lagrange dalam Théorie des fonctions analytiques (1797) berpendapat bahwa kurangnya ketelitian menghalangi perkembangan lebih lanjut dalam kalkulus. Gauss dalam buku latihannya tentang deret hipergeometrik (1813) untuk pertama kalinya diselidiki, secara teliti, syarat apa yang cukup menjamin kekonvergenan suatu deret.

Definisi modern dari suatu limit (untuk suatu ε terdapat suatu indeks N sedemikian sehingga...) diberikan oleh Bernhard Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Prague 1816, kurang dapat perhatikan pada saat itu), dan oleh Karl Weierstrass pada tahun 1870an.

Limit barisan bilangan real[sunting | sunting sumber]

Plot barisan konvergen {an} ditampilkan dengan warna biru. Di sini, kita dapat melihat bahwa urutannya menyatu ke batas 0 saat n meningkat.

Pada barisan bilangan real, suatu bilangan adalah limit dari barisan , jika suku-suku barisan itu semakin lebih dekat menuju untuk membesar tanpa batas—dan bukan ke bilangan lain.

Contoh[sunting | sunting sumber]

  • Jika untuk suatu konstanta c, maka .[bukti 1][4]
  • Jika , maka .[bukti 2][4]
  • Jika untuk genap, dan untuk ganjil, maka . (Kenyataan bahwa apabila nilai tidak penting.)
  • Diberikan sebarang bilangan real; suatu barisan yang konvergen menuju suatu bilangan dapat dengan mudah dibangun dengan mengambil hampiran desimal. Misal, barisan konvergen menuju . Perhatikan bahwa representasi desimal adalah limit dari barisan sebelumnya, yang ditentukan oleh
.
  • Limit suatu barisan tidak selalu ditemukan dengan mudah. Dua contohnya adalah (limitnya adalah bilangan e) dan purata aritmetika–geometrik (limitnya 13,458...). Teorema apit sering kali berguna dalam pencarian limit sebegini.

Definisi formal[sunting | sunting sumber]

Suatu nilai dikatakan limit barisan jika

untuk sebarang bilangan real , ada bilangan asli , sedemikian rupa sehingga untuk setiap bilangan asli , berlaku .[5]

Dengan kata lain, untuk sekecil-kecilnya nilai , suku-suku barisan itu pada akhirnya berjarak lebih kecil dari ke limit. tersebut Barisan dari nilai dikatakan konvergen atau cenderung ke limit , ditulis atau .

Secara simbolis, definisi limit dinyatakan sebagai

Contoh barisan yang konvergen ke limit a.
Contoh barisan yang konvergen ke limit .
Untuk sebarang ε > 0 yang dipilih, terdapat bilangan bulat N 0, sedemikian sehingga seluruh nilai barisan dari suku ke-'"`UNIQ--postMath-0000002C-QINU`"' sampai seterusnya itu berada di dalam lingkungan '"`UNIQ--postMath-0000002D-QINU`"'.
Untuk sebarang yang dipilih, terdapat bilangan bulat , sedemikian sehingga seluruh nilai barisan dari suku ke- sampai seterusnya itu berada di dalam lingkungan .
Untuk nilai, yang lain pula, akan terdapat pula bilangan bulat , bersesuaian dengan nilai tersebut, sedemikian sehingga barisan dari suku ke- sampai seterusnya itu berada di dalam lingkungan .
Untuk setiap , hanya terdapat sebanyak hingga anggota barisan di luar lingkungan .

Sifat[sunting | sunting sumber]

Limit barisan berperilaku baik sehubungan dengan operasi aritmetika biasa. Jika dan , maka , dan, jika bukan b maupun suatu adalah nol, .[4]

Untuk suatu fungsi kontinu f, jika maka . Faktanya, setiap fungsi yang bernilai real f kontinu jika dan hanya jika mempertahankan limit barisan (meskipun ini belum tentu benar saat menggunakan pengertian yang lebih umum tentang kontinuitas).

Beberapa sifat penting lainnya dari limit barisan real meliputi sebagai berikut (asalkan, dalam setiap persamaan di bawah, bahwa limit di sebelah kanan ada).

  • Barisan limit adalah tunggal.[4]
  • [4]
  • [4]
  • [4]
  • disediakan [4]
  • Jika untuk semua lebih besar dari suatu , maka .
  • (Teorema apit) Jika untuk semua , dan , maka .
  • Jika suatu barisan terbatas dan monotonik, maka barisannya konvergen.
  • Sebuah barisan adalah konvergen jika dan hanya jika setiap barisan adalah konvergen.
  • Jika setiap subbarisan dari suatu barisan memiliki barisan itu sendiri yang konvergen ke poin yang sama, maka barisan aslinya konvergen dengan poin tersebut.

Sifat ini banyak digunakan untuk membuktikan limit, tanpa perlu secara langsung menggunakan definisi formal yang rumit. Sebagai contoh. setelah terbukti bahwa , menjadi mudah untuk memperlihatkan—menggunakan sifat di atas—bahwa (asumsi bahwa ).

Limit takhingga[sunting | sunting sumber]

Sebuah barisan dikatakan cenderung ke takhingga, ditulis atau , jika untuk setiap K, terdapat suatu N sehingga untuk setiap , ; yaitu, suku barisan nantinya lebih besar daripada suatu K tetap.

Dengan cara yang serupa, jika untuk setiap K, terdapat suatu N sehingga untuk setiap , . Jika suatu barisan cenderung ke takhingga atau negatif takhingga, maka barisan tersebut adalah divergen. Namun, suatu barisan divergen dbutuhkan untuk tidak cenderung ke positif atau negatif takhingga, dan barisan menyediakan satunya seperti contoh.

Ruang metrik[sunting | sunting sumber]

Definisi[sunting | sunting sumber]

Sebuah nilai titik dari ruang metrik adalah limit dari barisan jika untuk nilai , terdapat nilai sedemikian rupa, untuk setiap nilai , . Ini bertepatan dengan definisi yang diberikan untuk bilangan real ketika dan .

Sifat-sifat[sunting | sunting sumber]

Untuk suatu fungsi kontinu f, jika maka . Faktanya, fungsi f kontinu jika dan hanya jika mempertahankan batas barisan.

Batasan barisan itu unik bila ada, karena titik berbeda dipisahkan oleh jarak positif, jadi untuk kurang dari setengah jarak ini, istilah barisan tidak bisa berada dalam jarak dari kedua poin tersebut.

Barisan Cauchy[sunting | sunting sumber]

Plot barisan Cauchy (xn), ditampilkan dengan warna biru, seperti xn versus n. Secara visual, kita melihat bahwa barisan tersebut tampaknya berkumpul ke titik batas karena suku-suku dalam barisan tersebut menjadi semakin dekat n meningkat. Dalam bilangan real setiap barisan Cauchy bertemu ke beberapa batas.

Barisan Cauchy adalah barisan yang sukunya bagian akhir menjadi berdekatan secara acak, setelah cukup banyak istilah awal yang dihapus akan dikembalikan. Gagasan tentang barisan Cauchy penting dalam studi barisan di ruang metrik, dan, khususnya, di analisis riil. Salah satu hasil yang sangat penting dalam analisis nyata adalah Kriteria Cauchy untuk kekonvergenan barisan: barisan bilangan real adalah konvergen jika dan hanya jika itu adalah barisan Cauchy. Hal ini tetap berlaku di ruang metrik lengkap.

Definisi dalam bilangan hiperreal[sunting | sunting sumber]

Definisi batas menggunakan bilangan hiperreal menggunakan intuisi bahwa untuk nilai indeks yang "sangat besar", istilah terkait adalah "sangat dekat" dengan batas. Lebih tepatnya, barisan yang nyata cenderung L jika untuk setiap tak terbatas hipernatural H, syarat xH is sangat dekat dengan L (yaitu, perbedaan nilai xH − L adalah infinitesimal). Setara, L adalah bagian standar dari xH

Jadi, limitnya bisa ditentukan dengan rumus

dengan limit tersebut ada jika dan hanya jika ruas kanan tidak bergantung pada pemilihan dari suatu takhingga H.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ E., Hutahaean, (1983). Kalkulus Diferensial dan Integral I. Jakarta: PT Gramedia. OCLC 949729321. 
  2. ^ Stewart, James (2001). Kalkulus. Diterjemahkan oleh Drs. I Nyoman Susila, M.Sc. dan Hendra Gunawan, Ph.D. Jakarta: Erlangga. ISBN 979-688-221-3. 
  3. ^ Courant (1961), p. 29.
  4. ^ a b c d e f g h "Batasan Urutan | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (dalam bahasa Inggris Amerika). Diakses tanggal 2020-08-18. 
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Limit". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-18. 

Bukti[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Bukti: Pilih nilai . Untuk setiap ,
  2. ^ Bukti: Pilih + 1 (fungsi lantai). Untuk setiap , .

Referensi[sunting | sunting sumber]

Pranala luar[sunting | sunting sumber]