Teorema apit

Ilustrasi teorema apit, dengan fungsi berwarna biru, diapit oleh fungsi berwarna hijau dan merah.

Teorema apit dalam bidang analisis matematika, yakni analisis real dan kalkulus, merupakan teorema yang melibatkan limit pada suatu fungsi yang diapit oleh dua fungsi sehingga ketiga fungsi tersebut memiliki nilai limit yang sama. Sebagai ilustrasi, perhatikan pada gambar di samping bahwa terdapat fungsi berwarna biru, yang diapit oleh fungsi berwarna hijau dan merah.

Teorema apit dengan satu variabel ini, mengagak-agihkan sebagai berikut.

Misal $f$, $g$ dan $h$ adalah fungsi-fungsi sehingga $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$.untuk semua $x$ di dalam selang terbuka yang memuat $c$. Sebagai eksepsi mungkin di $c$, jika $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L$, maka $\lim _{h\to 0}g(x)=L$.

Bukti

Untuk membuktikan teorema ini, kita dapat menggunakan definisi limit (ε, δ). Perhatikan bahwa misalkan $\varepsilon$ lebih besar dari nol, pilih $\delta _{1}$, $\delta _{2}$, $\delta _{3}$ yang juga lebih besar dari nol sehingga

${\begin{aligned}0<\left|x-c\right|<\delta _{1}&\Longrightarrow L-\varepsilon <f(x)<L+\varepsilon \\0<\left|x-c\right|<\delta _{2}&\Longrightarrow L-\varepsilon <f(x)<L+\varepsilon \\0<\left|x-c\right|<\delta _{3}&\Longrightarrow f(x)\leq g(x)\leq h(x)\\\end{aligned}}$

Sekarang, pilih $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}\}$ sehingga

$0<\left|x-c\right|<\delta \Longrightarrow L-\varepsilon <f(x)\leq g(x)\leq h(x)<L+\varepsilon$

Arkian, kita konklusikan bahwa terbukti $\lim _{x\to c}g(x)=L$.. $\blacksquare$

Teorema apit untuk barisan

Ilustrasi teorema apit untuk barisan.

Teorema apit untuk barisan, juga dijelaskan yakni sebagai berikut.

Misalkan $\{a_{n}\}$, $\{b_{n}\}$, dan $\{c_{n}\}$ adalah barisan sehingga $b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}$ dan terdapat $N$ bilangan bulat positif sehingga $n>N$. Bila $\lim _{n\to \infty }b_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$, maka $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$.

Bukti dapat dikerjakan dengan serupa (seperti di atas). Misal $\varepsilon >0$, terdapat bilangan bulat positif $N_{1}$ sehingga jika $n\geq N_{1}$, maka $L-\varepsilon <b_{n}<L+\varepsilon$. Hal yang serupa untuk $N_{2}$ sehingga $L-\varepsilon <c_{n}<L+\varepsilon$. Jadi, jika $n\geq \max\{N_{1},N_{2}\}$, maka kita memperoleh $L-\varepsilon <b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}<L+\varepsilon$ sehingga dikonklusikan bahwa $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$. $\blacksquare$