Deret (matematika)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Deret (bahasa Inggris: series) adalah jumlah dari elemen-elemen (term; jamak: terms) dalam suatu urutan. Urutan dan deret finit (atau terhingga) mempunyai elemen pertama dan terakhir yang terdefinisi, sedangkan Urutan dan deret infinit (atau tak terhingga) berlangsung terus menerus tak terbatas.[1]

Dalam matematika, jika ada suatu urutan bilangan infinitean }, maka suatu deret secara informal adalah hasil dari penambahan semua elemen-elemen itu bersama-sama: a1 + a2 + a3 + · · ·. Ini dapat ditulis lebih singkat menggunakan simbol notasi Sigma ∑. Contohnya adalah deret terkenal dari Paradoks Zeno dan representasi matematikanya:

Elemen-elemen dalam suatu deret sering diproduksi menurut kaidah tertentu, misalnya dengan suatu rumus, atau melalui suatu algoritma. Mengingat tidak terbatasnya jumlah elemen, hasilnya sering disebut deret tak terhingga (infinite series). Berbeda dengan finite summations, deret tak terhingga membutuhkan bantuan dari analisis matematika, dan secara khusus limit, untuk dapat dipahami dan dimanipulasi secara penuh. Selain jumlahnya yang banyak dalam matematika, deret tak terhingga juga sering digunakan dalam bidang-bidang kuantitatif lain seperti fisika, sains komputer, dan finansial.

Notasi[sunting | sunting sumber]

Simbol pada deret yaitu menunjukkan penjumlahan dan dapat diinterpretasikan dengan mengulang hasil keliling (biasanya ditentukan di bawah penjumlahan), karena kita membutuhkan (biasanya bilangan bulat) nilai dalam rentang yang ditentukan (dari nilai awal ke batas atas), kemudian menambahkan ekspresi yang dihasilkan. Misalkan:

Keliling pada nilai k kita memiliki nilai awal 1. Hal tersebut diiterasi untuk semua nilai integer hingga dengan nilai 200 dari batas tersebut. Setelah itu iterasi tersebut akan dijumlahkan.

Konvergensi[sunting | sunting sumber]

Sebuah deret dikatakan konvergen ke suatu nilai jika batas jumlah parsial mendekati nilai tersebut; yaitu, diberikannya urutan tak terbatas adalah deret:

Jika hasil nya limit tidak ada, deret tersebut dikatakan sebagai menyimpang.

Suatu deret dikatakan konvergen secara absolut jika deret yang terbentuk dari nilai absolut syarat pada konvergen; yaitu, diberi urutan tak terbatas :

Teorema[sunting | sunting sumber]

Deret pangkat[sunting | sunting sumber]

Deret pangkat (satu variabel) dalam matematika adalah deret tak terhingga dalam bentuk

dengan an melambangkan koefisien suku ke-n, c adalah konstanta dan x berubah-ubah di sekitar c (karena alasan ini kadang-kadang deret seperti ini dikatakan berpusat di c). Deret ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi.

Pada banyak keadaan c sama dengan nol, contohnya pada deret Maclaurin. Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana:

Deret pangkat biasanya ditemukan dalam analisis matematika, tetapi juga dapat ditemukan pada kombinatorika (dengan nama fungsi pembangkit), dan pada teknik elektro (dengan nama transformasi Z).

Fungsi eksponensial (biru), dan jumlah n+1 elemen pertama dari deret pangkat Maclaurin (merah).

Deret Fourier[sunting | sunting sumber]

Sifat dasar[sunting | sunting sumber]

Definisi[sunting | sunting sumber]

Untuk setiap urutan bilangan rasional, bilangan real, bilangan kompleks, fungsi, dan lain-lain, deret yang bersangkutan didefinisikan sebagai jumlah formal tertata

.

Urutan jumlah parsial bersangkutan dengan suatu deret didefinisikan bagi setiap sebagai jumlah urutan dari sampai

Berdasarkan definisi, deret converges menjadi suatu limit jika dan hanya jika urutan yang bersangkutan dengan jumlah parsial converges menjadi . Definisi ini biasanya ditulis sebagai

Deret fungsi[sunting | sunting sumber]

Suatu deret fungsi-fungsi bernilai real atau kompleks

converges pointwise pada suatu himpunan E, jika deret itu converges untuk setiap x dalam E sebagai suatu deret ordinari bilangan real atau bilangan kompleks. Ekuivalen dengan itu, jumlah parsial

converge menjadi ƒ(x) sebagai N → ∞ untuk setiap x ∈ E. .

Deret pangkat[sunting | sunting sumber]

Deret pangkat adalah suatu deret dalam bentuk

Deret Taylor pada suatu titik c pada suatu fungsi adalah suatu deret pangkat yang dalam banyak kasus berkonvergen menjadi suatu fungsi dalam lingkungan c. Misalnya, deret

adalah deret Taylor pada titik origin dan berkonvergen kepadanya untuk setiap x.

Daftar suku dan jumlah suku[sunting | sunting sumber]

Nama bilangan Suku ke-n Jumlah suku ke-n
Bilangan asli
Bilangan asli perkalian dua berurutan
Bilangan asli perkalian tiga berurutan
Bilangan asli penyebut perkalian dua berurutan
Bilangan ganjil
Bilangan genap
Bilangan Persegi/Kuadrat
Bilangan Kubus/kubik
Bilangan Segi tiga
Bilangan Persegi panjang
Bilangan Balok

Contoh[sunting | sunting sumber]

Contoh 1[sunting | sunting sumber]

Contoh dari persamaan f (n) = n² Pada nilai produk f (n) dari nilai n antara 1 dan dapat dinyatakan sebagai:

Jika kita hanya menginginkan jumlah persyaratan hingga n = 1 hal itu akan menjadi:

Contoh 2[sunting | sunting sumber]

Contoh dari produk menyatu secara mutlak. Tetapi menyatu secara kondisional. Jika kita tahu bahwa keduanya konvergen, kita dapat membuktikan bahwa keduanya konvergen secara absolut atau bersyarat dengan mengambil jumlah nilai absolut dari fungsi tersebut:

Contoh 3[sunting | sunting sumber]

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ p 264 Jan Gullberg: Mathematics: from the birth of numbers, W.W. Norton, 1997, ISBN 0-393-04002-X

Pustaka[sunting | sunting sumber]

  • Bromwich, T.J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
  • Dvoretzky, Aryeh; Rogers, C. Ambrose (1950). "Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces". Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 36 (3): 192–197. doi:10.1073/pnas.36.3.192.  MR0033975

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

Templat:Deret (matematika)