Deret (matematika)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Lompat ke: navigasi, cari

Deret (bahasa Inggris: series) adalah jumlah dari elemen-elemen (term; jamak: terms) dalam suatu urutan. Urutan dan deret finit (atau terhingga) mempunyai elemen pertama dan terakhir yang terdefinisi, sedangkan Urutan dan deret infinit (atau tak terhingga) berlangsung terus menerus tak terbatas.[1]

Dalam matematika, jika ada suatu urutan bilangan infinitean }, maka suatu deret secara informal adalah hasil dari penambahan semua elemen-elemen itu bersama-sama: a1 + a2 + a3 + · · ·. Ini dapat ditulis lebih singkat menggunakan simbol summation ∑. Contohnya adalah deret terkenal dari Paradoks Zeno dan representasi matematikanya:

Elemen-elemen dalam suatu deret sering diproduksi menurut kaidah tertentu, misalnya dengan suatu rumus, atau melalui suatu algoritme. Mengingat tidak terbatasnya jumlah elemen, hasilnya sering disebut deret tak terhingga (infinite series). Berbeda dengan finite summations, deret tak terhingga membutuhkan bantuan dari analisis matematika, dan secara khusus limit, untuk dapat dipahami dan dimanipulasi secara penuh. Selain jumlahnya yang banyak dalam matematika, deret tak terhingga juga sering digunakan dalam bidang-bidang kuantitatif lain seperti fisika, sains komputer, dan finansial.

Sifat dasar[sunting | sunting sumber]

Definisi[sunting | sunting sumber]

Untuk setiap urutan bilangan rasional, bilangan real, bilangan kompleks, fungsi, dan lain-lain, deret yang bersangkutan didefinisikan sebagai jumlah formal tertata

.

Urutan jumlah parsial bersangkutan dengan suatu deret didefinisikan bagi setiap sebagai jumlah urutan dari sampai

Berdasarkan definisi, deret converges menjadi suatu limit jika dan hanya jika urutan yang bersangkutan dengan jumlah parsial converges menjadi . Definisi ini biasanya ditulis sebagai

Deret fungsi[sunting | sunting sumber]

Suatu deret fungsi-fungsi bernilai real atau kompleks

converges pointwise pada suatu himpunan E, jika deret itu converges untuk setiap x dalam E sebagai suatu deret ordinari bilangan real atau bilangan kompleks. Ekuivalen dengan itu, jumlah parsial

converge menjadi ƒ(x) sebagai N → ∞ untuk setiap x ∈ E. .

Deret pangkat[sunting | sunting sumber]

Deret pangkat adalah suatu deret dalam bentuk

Deret Taylor pada suatu titik c pada suatu fungsi adalah suatu deret pangkat yang dalam banyak kasus berkonvergen menjadi suatu fungsi dalam lingkungan c. Misalnya, deret

adalah deret Taylor pada titik origin dan berkonvergen kepadanya untuk setiap x.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ p 264 Jan Gullberg: Mathematics: from the birth of numbers, W.W. Norton, 1997, ISBN 0-393-04002-X

Pustaka[sunting | sunting sumber]

  • Bromwich, T.J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
  • Dvoretzky, Aryeh; Rogers, C. Ambrose (1950). "Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces". Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 36 (3): 192–197. doi:10.1073/pnas.36.3.192.  MR 0033975

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

Templat:Deret (matematika)