Tes konvergensi

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Tes konvergensi (Uji konvergensi; bahasa Inggris: convergence tests) dalam matematika adalah kumpulan metode untuk melakukan tes berkenaan dengan deret konvergen, konvergensi bersyarat, konvergensi mutlak, interval konvergensi atau divergensi suatu deret tak terhingga.

Daftar tes[sunting | sunting sumber]

Tes elemen[sunting | sunting sumber]

Jika limit dari summand (jumlah semua elemen) tidak dapat didefinisikan atau bukan nol, yaitu , maka deret itu pastilah divergen. Dalam hal ini, jumlah parsial merupakan Cauchy hanya jika limit ini ada dan sama dengan nol. Tes ini tidak mempunyai kesimpulan (inconclusive) jika limit jumlah semua elemen sama dengan nol.

Tes rasio[sunting | sunting sumber]

Juga dikenal sebagai "Kriteria D'Alembert" (D'Alembert's criterion). Misalnya ada sedemikian sehingga

Jika r < 1, maka deret itu konvergen.
Jika r > 1, maka deret itu divergen.
Jika r = 1, tes rasio tidak konklusif, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.

Tes akar[sunting | sunting sumber]

Juga dikenal sebagai "Test akar ke-n" (nth root test atau "Kriteria Cauchy", Cauchy's criterion). Diketahui r didefinisikan sebagai berikut:

di mana "lim sup" melambangkan batas atas limit (mungkin ∞; jika ada limit, maka itulah nilainya).
Jika r < 1, maka deret itu konvergen.
Jika r > 1, maka deret itu divergen.
Jika r = 1, tes akar tidak konklusif, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.

Tes integral[sunting | sunting sumber]

Deret itu dapat dibandingkan dengan suatu integral untuk menguji apakah konvergen atau divergen. Misalnya adalah suatu fungsi positif dan monotone decreasing sedemikian sehingga .

Jika maka deret itu konvergen
Jika integral itu divergen, maka deret itu juga divergen.

Dengan kata lain, deret konvergen jika dan hanya jika integralnya konvergen.

Tes perbandingan langsung[sunting | sunting sumber]

Jika deret merupakan suatu deret konvergen mutlak dan untuk n yang cukup besar, maka deret mutlak konvergen (absolutely convergent).

Tes perbandingan limit[sunting | sunting sumber]

Jika , dan limit ada, finit dan bukan nol, maka konvergen jika dan hanya jika konvergen.

Tes kondensasi Cauchy[sunting | sunting sumber]

Misalkan adalah urutan positif yang tidak meningkat. Maka jumlah adalah konvergen jika dan hanya jika jumlah konvergen. Lagi pual, jika konvergen, maka berlaku.

Tes Abel[sunting | sunting sumber]

Misalnya pernyataan-pernyataan berikut ini benar:

  1. adalah suatu deret konvergen,
  2. {bn} adalah suatu urutan monoton, dan
  3. {bn} mempunyai batasan (bounded).

Maka juga konvergen.

Tes Raabe-Duhamel[sunting | sunting sumber]

Misalkan { an } > 0.

Definisikan

.

Jika ada, maka ada tiga kemungkinan:

  • Jika L > 1 deret itu konvergen
  • Jika L < 1 deret itu divergen
  • Jika L = 1 tes itu tidak konklusif.

Suatu rumus alternatif tes ini adalah sebagai berikut. Misalkan { an } adalah suatu deret bilangan real. Maka jika b > 1 dan K (sebuah bilangan asli) ada sedemikian sehingga

untuk semua n > K maka deret { an } itu konvergen.

Catatan[sunting | sunting sumber]

  • Untuk sejumlah jenis deret tertentu ada tes konvergensi yang lebih khusus, misalnya untuk deret Fourier digunakan tes Dini

Perbandingan[sunting | sunting sumber]

Tes akar lebih kuat dari tes rasio (lebih kuat karena syarat yang dibutuhkan lebih lemah): bilamana tes rasio menentukan suatu deret tak terhingga itu konvergen atau divergen, maka hasil yang sama didapat dari tes akar, tetapi sebaliknya tidak selalu demikian.[1]

Contohnya, untuk deret

1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ...=4

konvergen menurut tes akar tetapi tidak konvergen menurut tes rasio.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Pertimbangkan deret

.

Tes kondensasi Cauchy menyiratkan bahwa (*) konvergen secara finit jika

secara finit konvergen. Karena

(**) merupakan deret geometri dengan rasio . (**) secara finit konvergen jika rasionya kurang dari satu (yaitu ). Jadi, (*) secara finit konvergen jika dan hanya jika .

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Tes Rasio

Pranala luar[sunting | sunting sumber]