Fungsi pembangkit

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam matematika, fungsi pembangkit adalah sebuah cara menyatakan suku-suku dari barisan takhingga sebagai koefisien-koefisien suatu deret pangkat formal. Deret yang dihasilkan proses ini disebut dengan fungsi pembangkit dari barisan tersebut. Berbeda dengan deret pada umumnya, deret pangkat formal tidak perlu konvergen: malahan, fungsi pembangkit sebenarnya tidak dianggap sebagai sebuah fungsi, dan "variabel" pada fungsi adalah besaran yang tidak terdefinisi. Fungsi pembangkit pertama kali diperkenalkan oleh Abraham de Moivre di tahun 1730, dalam upaya menyelesaikan permasalahan rekursi perulangan linear secara umum.[1] Deret pangkat formal dapat diperumum ke bentuk multi-"variabel", untuk mencatat informasi multidimensi dari barisan bilangan.

Terdapat berbagai tipe fungsi pembangkit, beberapa diantaranya fungsi pembangkit biasa, fungsi pembangkit eksponensial, deret Lambert, deret Bell, dan deret Dirichlet; definisi dan contoh mengenai tipe-tipe fungsi tersebut akan dijelaskan dibawah. Setiap barisan pada prinsipnya memiliki sebuah fungsi pembangkit untuk setiap tipe fungsi pembangkit (kecuali deret Lambert dan Dirichlet, yang memerlukan indeks barisan dimulai dari 1 ketimbang 0), namun tingkat kesulitan untuk menggunakan setiap tipe dapat berbeda secara signifikan. Tipe fungsi pembangkit yang paling sesuai untuk suatu konteks, jika ada, akan bergantung pada sifat dari barisan dan detail dari masalah yang dikerjakan.

Fungsi pembangkit umumnya dinyatakan dalam bentuk tertutup (ketimbang sebagai sebuah deret), lewat beberapa ekspresi yang terdefinisi bagi deret formal. Ekspresi-ekspresi ini diterapkan pada variabel -- yang tak terdefinisi -- , dan dapat melibatkan operasi aritmetika, diferensiasi, komposisi fungsi dengan fungsi-fungsi pembangkit lainnya. Karena operasi-operasi ini juga terdefinisi pada fungsi, hasil yang didapatkan terlihat sebagai fungsi terhadap . Lagipula, ekspresi bentuk tertutup dapat diinterpretasi sebagai sebuah fungsi yang dapat dievaluasi pada suatu nilai , sehingga pengembangan deret fungsi tersebut menghasilkan deret formal; hal ini menjelaskan asal usul "fungsi pembangkit". Tapi interpretasi itu tidak diharuskan perlu dilakukan, karena deret formal tidak harus menghasilkan deret konvergen ketika nilai taknol disubtitusi ke . Selain itu, tidak semua ekspresi yang berlaku pada fungsi terhadap dapat digunakan (secara berarti) untuk deret formal; sebagai contoh, pangkat negatif dan pecahan dari pada fungsi tidak memiliki padanan deret formal.

Fungsi pembangkit bukan merupakan fungsi dalam artian formal, yakni sebagai sebuah pemetaan dari sebuah domain ke suatu kodomain. Fungsi pembangkit terkadang disebut sebagai deret pembangkit.[2] Fungsi pembangkit berguna untuk membantu menyelesaikan berbagai masalah pencacahan, rekursi, dan relasi pengulangan.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Beberapa penulis memberikan definisi informal dari fungsi pembangkit:

(terj.) Fungsi pembangkit adalah alat yang agak mirip dengan sebuah tas. Ketimbang membawa banyak benda kecil secara terpisah, yang dapat membuat malu, kita menempatkan semuanya dalam sebuah tas, sehingga kita cukup membawa satu benda: tas.

(terj.) Fungsi pembangkit adalah sebuah tali jemuran tempat kita menggantungkan barisan bilangan-bilangan untuk ditampilkan.

Fungsi pembangkit biasa[sunting | sunting sumber]

Fungsi pembangkit biasa dari sebuah barisan adalah

Ketika istilah fungsi pembangkit digunakan tanpa keterangan, umumnya hal itu merujuk pada sebuah fungsi pembangkit biasa. Jika menyatakan fungsi massa peluang dari sebuah variabel acak diskret, maka fungsi pembangkit biasa yang dihasilkan disebut dengan fungsi pembangkit peluang.

Fungsi pembangkit biasa dapat diperumum untuk barisan dengan banyak indeks. Sebagai contoh, fungsi pembangkit biasa dari barisan dua dimensi , dengan dan berupa bilangan asli, adalah

Fungsi pembangkit eksponensial[sunting | sunting sumber]

Fungsi pembangkit eksponensial dari sebuah barisan adalah

Fungsi pembangkit eksponensial umumnya lebih mudah digunakan ketimbang fungsi pembangkit biasa untuk permasalahan pencacahan kombinatorial yang melibatkan objek berlabel.[3] Keuntungan lain dari fungsi pembangkit eksponensial adalah kemudahannya membawa relasi pengulangan ke ranah persamaan diferensial. Sebagai contoh, barisan Fibonacci yang memenuhi relasi pengulangan memiliki fungsi pembangkit eksponensial dengan bentuk
dan turunan-turunan dari fungsi tersebut memenuhi persamaan diferensial yang analog dengan relasi pengulangan di atas. Pada fungsi pembangkit tipe ini, suku faktorial digunakan semata-mata untuk menormalisasi efek melakukan turunan pada .

Fungsi pembangkit Poisson[sunting | sunting sumber]

Fungsi pembangkit Poisson dari sebuah barisan adalah

Contoh[sunting | sunting sumber]

Contoh sederhananya, fungsi pembangkit untuk barisan adalah

,

untuk .

Catatan kaki[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Knuth, Donald E. (1997). "§1.2.9 Generating Functions". Fundamental Algorithms. The Art of Computer Programming. 1 (edisi ke-3rd). Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4. 
  2. ^ Istilah alternatif ini dapat ditemukan di E.N. Gilbert (1956), "Enumeration of Labeled graphs", Canadian Journal of Mathematics 3, p. 405–411. Istilah ini jarang digunakan sebelum tahun 2000, namun terlihat meningkat sejak tahun itu.
  3. ^ Flajolet & Sedgewick 2009, hlm. 95

Referensi[sunting | sunting sumber]

Pranala luar[sunting | sunting sumber]