Determinan

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam bidang aljabar linear, determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matriks persegi. Determinan matriks A ditulis dengan tanda det(A), det A, atau |A|. Determinan dapat dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks.

Apabila matriksnya berbentuk 2 × 2, rumus untuk mencari determinan adalah:

Apabila matriksnya berbentuk 3 × 3 matrix A, rumusnya adalah:

Rumus Leibniz untuk mencari determinan matriks n × n adalah:

Metode eliminasi Gauss juga dapat dipakai. Sebagai contoh, determinan matriks berikut:

dapat dihitung dengan menggunakan matriks berikut:

Di sini, B diperoleh dari A dengan menambahkan −1/2× baris pertama dengan baris kedua, sehingga det(A) = det(B). C diperoleh dari B dengan menambahkan kolom pertama dengan kolom ketiga, sehingga det(C) = det(B). Sementara itu, D didapat dari C dengan menukar kolom kedua dan ketiga, sehingga det(D) = −det(C). Determinan matriks segitiga D merupakan hasil dari perkalian diagonal utamanya: (−2) · 2 · 4.5 = −18. Maka dari itu, det(A) = −det(D) = +18.

Arti geometris[sunting | sunting sumber]

Jika n × n riil matriks A ditulis dalam bentuk vektor kolomnya , then

Ini berarti memetakan unit n-kubus ke n-dimensi parallelotop yang ditentukan oleh vektor the region

Determinan memberikan volume dimensi bertanda n dari paralelotop ini, dan karenanya menjelaskan secara lebih umum faktor skala volume dimensi 'n dari transformasi linear yang dihasilkan oleh A.[1] (Tanda tersebut menunjukkan apakah transformasi mempertahankan atau membalikkan orientasi.) Secara khusus, jika determinannya nol, maka paralelotop ini memiliki volume nol dan tidak sepenuhnya berdimensi n , yang menunjukkan bahwa dimensi bayangan A lebih kecil dari n. Ini berarti bahwa A menghasilkan transformasi linier yang bukan ke atau satu-ke-satu, dan begitu juga bukan bisa dibalik.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Ada berbagai cara yang setara untuk menentukan determinan dari matriks persegi A , yaitu satu dengan jumlah baris dan kolom yang sama. Mungkin cara termudah untuk menyatakan determinan adalah dengan mempertimbangkan elemen di baris atas dan masing-masing minor; mulai dari kiri, kalikan elemen dengan minor, lalu kurangi hasil kali elemen berikutnya dan minornya, dan secara bergantian menambah dan mengurangi produk tersebut sampai semua elemen di baris atas habis. Sebagai contoh, berikut adalah hasil untuk matriks 4 × 4:

Cara lain untuk menentukan determinan dinyatakan dalam kolom-kolom matriks. Jika kita menulis berkas n × n matriks A dalam hal vektor kolomnya

dimana adalah vektor dengan ukuran n , maka determinan dari A didefinisikan sehingga

di mana b dan c adalah skalar, v adalah sembarang vektor berukuran n dan I adalah matriks identitas berukuran n . Persamaan-persamaan ini mengatakan bahwa determinannya adalah fungsi linear dari setiap kolom, bahwa menukar kolom yang berdekatan membalikkan tanda determinan, dan determinan matriks identitas adalah 1. Properti ini berarti bahwa determinan adalah fungsi multilinear bolak-balik dari kolom yang memetakan matriks identitas ke skalar unit yang mendasarinya. Ini cukup untuk menghitung determinan matriks kuadrat apa pun secara unik. Asalkan skalar yang mendasari membentuk bidang (lebih umum, gelanggang komutatif), definisi di bawah ini menunjukkan bahwa fungsi seperti itu ada, dan dapat dibuktikan unik. [2]

Dengan kata lain, determinan dapat diekspresikan sebagai jumlah produk entri matriks di mana setiap produk memiliki suku n dan koefisien setiap produk adalah −1 atau 1 atau 0 sesuai dengan yang diberikan: itu adalah ekspresi polinomial dari entri matriks. Ekspresi ini berkembang pesat dengan ukuran matriks (sebuah n × n matriks memiliki n! istilah), jadi pertama kali akan diberikan secara eksplisit untuk kasus 2 × 2 matriks dan matriks 3 × 3, diikuti dengan aturan untuk matriks ukuran arbitrer, yang menggabungkan kedua kasus ini.

Asumsikan A adalah matriks persegi dengan baris n dan kolom n , sehingga dapat ditulis sebagai

Entri dapat berupa angka atau ekspresi (seperti yang terjadi ketika determinan digunakan untuk mendefinisikan karakteristik polinomial); definisi determinan hanya bergantung pada fakta bahwa mereka dapat ditambahkan dan dikalikan bersama dengan cara komutatif.

Determinan dari A dilambangkan dengan det(A), atau dapat dilambangkan secara langsung dalam istilah entri matriks dengan menulis batang penutup, bukan tanda kurung:

Dalam maktris[sunting | sunting sumber]

Matriks 2x2[sunting | sunting sumber]

Luas jajaran genjang adalah nilai absolut dari determinan matriks yang dibentuk oleh vektor yang merepresentasikan sisi jajaran genjang.

Rumus Leibniz untuk determinan a 2 × 2 matriks adalah

Jika entri matriks adalah bilangan real, matriks A dapat digunakan untuk merepresentasikan dua peta linear: yang memetakan vektor standar dasar ke baris A, dan yang memetakannya ke kolom A. Dalam kedua kasus tersebut, gambar vektor basis membentuk jajaran genjang yang mewakili gambar satuan persegi di bawah pemetaan. Jajar genjang yang ditentukan oleh baris dari matriks di atas adalah yang memiliki simpul di (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), dan (c, d), seperti yang ditunjukkan pada diagram terlampir.

Nilai absolut dari adbc adalah luas jajaran genjang, dan dengan demikian mewakili faktor skala yang luasnya diubah oleh A. (Jajar genjang dibentuk kolom A pada jajaran genjang, tetapi karena determinan simetri dari baris dan kolom, luasnya tetap sama.)

Nilai absolut dari determinan bersama dengan tanda menjadi luas berorientasi dari jajaran genjang. Luas orientasi sama dengan luas biasa, kecuali bilangan negatif ketika sudut dari vektor pertama ke vektor kedua yang menentukan jajar genjang berubah searah jarum jam (yang berlawanan dengan arah yang akan didapatkan untuk identitas matriks)

Untuk menunjukkan adbc adalah luas, matriks dari dua vektor u ≡ (a, b) dan v ≡ (c, d) dengan sisi jajaran genjang. Luas |u| |v| sin θ untuk sudut θ antara vektor, merupakan tinggi kali alas, panjang satu vektor dikalikan komponen tegak lurus lainnya. Karena sinus dari luas, diekspresikan menggunakan kosinus dari sudut komplementer ke vektor tegak lurus, misalnya u = (−b, a), so that |u| |v| cos θ′, ditentukan dengan pola produk skalar adbc:

Jadi determinan dari faktor skala dan orientasi yang diinduksi dengan pemetaan A. Jika determinannya sama dengan satu, pemetaan linear ditentukan dengan matriks adalah ekui-luas dan orientasi.[3]

Maktris n×n[sunting | sunting sumber]

Volume parallelepiped ini adalah nilai absolut dari determinan matriks yang dibentuk oleh kolom yang dibangun dari vektor r1, r2, dan r3.

Penentu matriks dengan ukuran sembarang dapat ditentukan dengan rumus Leibniz atau rumus Laplace.

Rumus Leibniz untuk determinan dari sebuah n × n matrix A is

Jumlah dihitung atas semua permutasi s σ dari himpunan {1, 2, ..., n}. Permutasi adalah fungsi yang menyusun ulang kumpulan bilangan bulat ini. Nilai pada posisi ith setelah penyusunan ulang σ dilambangkan dengan σi. Misalnya untuk n = 3, urutan asli 1, 2, 3 mungkin diurutkan ulang menjadi σ = [2, 3, 1], dengan σ1 = 2, σ2 = 3, dan σ3 = 1. Himpunan semua permutasi semacam itu (juga dikenal sebagai grup simetris pada elemen n ) dilambangkan dengan Sn. Untuk setiap permutasi σ , sgn( σ ) menunjukkan tanda tangan dari σ , nilai yang +1 setiap kali pengubahan urutan yang diberikan oleh σ dapat dicapai dengan menukar dua entri secara berurutan beberapa kali, dan −1 kapan pun itu dapat dicapai dengan bilangan ganjil dari pertukaran tersebut.

Salah satu ringkasan , istilah

adalah notasi untuk produk entri pada posisi (i, σi), di mana i berkisar dari 1 hingga n:

Misalnya, determinan a 3 × 3 matrix A (n = 3) adalah

Aplikasi[sunting | sunting sumber]

Rumus Laplace[sunting | sunting sumber]

Rumus Laplace untuk determinan a 3 × 3 matriks adalah

ini dapat diperluas untuk memberikan rumus Leibniz.

Rumus Leibniz[sunting | sunting sumber]

Rumus Leibniz untuk determinan a 3 × 3 matriks:

Skema Sarrus[sunting | sunting sumber]

Kaidah Sarrus adalah mnemonik untuk determinan matriks 3 × 3: jumlah dari hasil kali tiga garis diagonal barat laut ke tenggara dari elemen matriks, dikurangi jumlah hasil kali tiga garis diagonal barat daya hingga timur laut elemen, bila salinan dari dua kolom pertama dari matriks ditulis di sampingnya seperti pada ilustrasi:

Sarrus ABC red blue solid dashed.svg

Skema untuk menghitung determinan matriks 3 × 3 ini tidak terbawa ke dimensi yang lebih tinggi.

Simbol Levi-Civita[sunting | sunting sumber]

Terkadang berguna untuk memperluas rumus Leibniz ke penjumlahan yang tidak hanya permutasi, tetapi urutan indeks n dalam 1, ..., n, memastikan bahwa kontribusi urutan akan menjadi nol kecuali jika menunjukkan permutasi. Jadi antisimetris simbol Levi-Civita memperluas tanda tangan permutasi, dengan untuk permutasi σ dari n , dan ketika permutasi σ seperti itu for (atau ekuivalen, beberapa pasangan indeks). Penentu untuk n × n matrix kemudian dapat diekspresikan menggunakan penjumlahan sebagai

atau menggunakan dua simbol epsilon sebagai

dimana ir dan jr dijumlahkan lebih dari 1, ..., n.

Namun, melalui penggunaan notasi tensor dan penekanan simbol penjumlahan (konvensi penjumlahan Einstein) dari ekspresi determinan kompak ukuran, ;

dimana dan 'sistem elektronik' dari nilai 0, +1 dan −1 berdasarkan jumlah permutasi dari dan . Lebih spesifik, sama dengan 0 ketika indeks berulang ; +1 ketika sejumlah permutasi ; −1 ketika jumlah permutasi ganjil dari . Jumlah indeks dalam sistem elektronik sama dengan dan karenanya dapat digeneralisasikan dengan cara ini.[4]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ "Determinants and Volumes". textbooks.math.gatech.edu. Diakses tanggal 16 March 2018. 
  2. ^ Serge Lang, Linear Algebra , 2nd Edition, Addison-Wesley, 1971, pp 173, 191.
  3. ^ Templat:Cite media
  4. ^ McConnell (1957). Applications of Tensor AnalysisPerlu mendaftar (gratis). Dover Publications. hlm. 10–17. 

Referensi[sunting | sunting sumber]