Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
f
{\displaystyle f}
adalah fungsi yang memetakan dari domain
X
{\displaystyle X}
ke kodomain
Y
{\displaystyle Y}
. Daerah lonjong yang berwarna kuning di dalam
Y
{\displaystyle Y}
merupakan bayangan
f
{\displaystyle f}
.
Dalam matematika , bayangan (bahasa Inggris : image fungsi adalah himpunan dari semua nilai keluaran (bahasa Inggris : output
Lebih umumnya lagi, ketika mencari fungsi
f
{\displaystyle f}
A
{\displaystyle A}
domain nya akan menghasilkan sebuah himpunan, dan hal tersebut dikatakan sebagai "bayangan
A
{\displaystyle A}
prabayangan (bahasa Inggris : preimage
B
{\displaystyle B}
kodomain
f
{\displaystyle f}
B
.
{\displaystyle B.}
Bayangan dan prabayangan tidak hanya dapat didefinisikan untuk fungsi, tetapi juga untuk relasi biner .
Kata "bayangan" digunakan dalam tiga cara. Dalam definisi ini,
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
fungsi
f
{\displaystyle f}
himpunan
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Bayangan anggota
Jika
x
{\displaystyle x}
X
{\displaystyle X}
x
{\displaystyle x}
f
{\displaystyle f}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
Bayangan subhimpunan
Misalkan
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}
f
{\displaystyle f}
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
f
[
A
]
{\displaystyle f[A]}
notasi ungkapan himpunan , yaitu:[1] [2]
f
[
A
]
=
{
f
(
x
)
∣
x
∈
A
}
.
{\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}.}
f
[
⋅
]
:
P
(
X
)
→
P
(
Y
)
,
{\displaystyle f[\,\cdot \,]:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y),}
P
(
S
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}
himpunan kuasa dari himpunan
S
{\displaystyle S}
subhimpunan
S
{\displaystyle S}
§ Notasi di bawah. Bayangan fungsi
Bayangan fungsi adalah bayangan dari seluruh daerah asal fungsi, atau dikenal sebagai range [3] kodomain
f
{\displaystyle f}
Perumuman bayangan fungsi ke relasi biner
Jika
R
{\displaystyle R}
relasi biner di perkalian Cartesius
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
X
×
Y
{\displaystyle X\times Y}
{
y
∈
Y
∣
x
R
y
untuk beberapa
x
∈
X
}
{\displaystyle \{y\in Y\mid xRy{\text{ untuk beberapa }}x\in X\}}
range
R
{\displaystyle R}
{
x
∈
X
∣
x
R
y
untuk beberapa
y
∈
Y
}
{\displaystyle \{x\in X\mid xRy{\text{ untuk beberapa }}y\in Y\}}
R
{\displaystyle R}
Misalkan
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
Y
.
{\displaystyle Y.}
Prabayangan dari hmpunan
B
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq Y}
f
,
{\displaystyle f,}
f
−
1
[
B
]
,
{\displaystyle f^{-1}[B],}
X
{\displaystyle X}
f
−
1
[
B
]
=
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
∈
B
}
.
{\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,:\,f(x)\in B\}.}
Terdapat notasi lain untuk prabayangan fungsi, seperti
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(B)}
dan
f
−
(
B
)
.
{\displaystyle f^{-}(B).}
Prabayangan fungsi dari
himpunan singleton , yang dilambangkan dengan
f
−
1
[
{
y
}
]
{\displaystyle f^{-1}[\{y\}]}
atau
f
−
1
[
y
]
,
{\displaystyle f^{-1}[y],}
juga disebut sebagai
fiber , atau fiber atas
y
{\displaystyle y}
, atau
himpunan aras dari
y
.
{\displaystyle y.}
Himpunan dari semua fiber atas anggota
Y
{\displaystyle Y}
merupakan keluarga himpunan dengan indeks
Y
.
{\displaystyle Y.}
Pemakaian notasi di bagian sebelumnya dapat membingungkan. Oleh karena itu, terdapat notasi alternatif yang memberikan nama eksplisit untuk bayangan dan prabayangan sebagai fungsi di antara himpunan kuasa:
Notasi panah
f
→
:
P
(
X
)
→
P
(
Y
)
{\displaystyle f^{\rightarrow }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}
f
→
(
A
)
=
{
f
(
a
)
|
a
∈
A
}
{\displaystyle f^{\rightarrow }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}}
f
←
:
P
(
Y
)
→
P
(
X
)
{\displaystyle f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)}
f
←
(
B
)
=
{
a
∈
X
|
f
(
a
)
∈
B
}
{\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}}
Notasi bintang
f
⋆
:
P
(
X
)
→
P
(
Y
)
{\displaystyle f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}
f
→
{\displaystyle f^{\rightarrow }}
f
⋆
:
P
(
Y
)
→
P
(
X
)
{\displaystyle f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)}
f
←
{\displaystyle f^{\leftarrow }}
Notasi lain
Notasi lain untuk
f
[
A
]
{\displaystyle f[A]}
logika matematika dan teori himpunan adalah '
f
′
′
A
{\displaystyle f^{\prime \prime }A}
[6] [7]
Bayangan yang memperlihatkan himpunan tak sama:
f
(
A
∩
B
)
⊊
f
(
A
)
∩
f
(
B
)
.
{\displaystyle f\left(A\cap B\right)\subsetneq f(A)\cap f(B).}
Himpunan
A
=
[
−
4
,
2
]
{\displaystyle A=[-4,2]}
dan
B
=
[
−
2
,
4
]
{\displaystyle B=[-2,4]}
diperlihatkan dengan garis berwarna
biru di bawah sumbu-
x
{\displaystyle x}
, sedangkan irisan dari
A
3
=
[
−
2
,
2
]
{\displaystyle A_{3}=[-2,2]}
diperlihatkan dengan daerah berwarna
hijau .
f
(
f
−
1
(
B
3
)
⊊
B
3
{\displaystyle f(f^{-1}(B^{3})\subsetneq B^{3}}
f
−
1
(
f
(
A
4
)
)
⊋
A
4
{\displaystyle f^{-1}(f(A^{4}))\supsetneq A^{4}}
Untuk setiap fungsi
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\rightarrow Y}
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
B
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq Y}
Bayangan
Prabayangan
f
(
X
)
⊆
Y
{\displaystyle f(X)\subseteq Y}
f
−
1
(
Y
)
=
X
{\displaystyle f^{-1}(Y)=X}
f
(
f
−
1
(
Y
)
)
=
f
(
X
)
{\displaystyle f(f^{-1}(Y))=f(X)}
f
−
1
(
f
(
X
)
)
=
X
{\displaystyle f^{-1}(f(X))=X}
f
(
f
−
1
(
B
)
)
⊆
B
{\displaystyle f(f^{-1}(B))\subseteq B}
B
⊆
f
(
X
)
{\displaystyle B\subseteq f(X)}
f
{\displaystyle f}
[8] [9]
f
−
1
(
f
(
A
)
)
⊇
A
{\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}
f
{\displaystyle f}
[8] [9]
f
(
f
−
1
(
B
)
)
=
B
∩
f
(
X
)
{\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)}
(
f
|
A
)
−
1
(
B
)
=
A
∩
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle (f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)}
f
(
f
−
1
(
f
(
A
)
)
)
=
f
(
A
)
{\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)}
f
−
1
(
f
(
f
−
1
(
B
)
)
)
=
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)}
f
(
A
)
=
∅
{\displaystyle f(A)=\varnothing }
A
=
∅
{\displaystyle A=\varnothing }
f
−
1
(
B
)
=
∅
{\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing }
B
⊆
Y
∖
f
(
X
)
{\displaystyle B\subseteq Y\setminus f(X)}
f
(
A
)
⊇
B
{\displaystyle f(A)\supseteq B}
C
⊆
A
{\displaystyle C\subseteq A}
f
(
C
)
=
B
{\displaystyle f(C)=B}
f
−
1
(
B
)
⊇
A
{\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq A}
f
(
A
)
⊆
B
{\displaystyle f(A)\subseteq B}
f
(
A
)
⊇
f
(
X
∖
A
)
{\displaystyle f(A)\supseteq f(X\setminus A)}
f
(
A
)
=
f
(
X
)
{\displaystyle f(A)=f(X)}
f
−
1
(
B
)
⊇
f
−
1
(
Y
∖
B
)
{\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)}
f
−
1
(
B
)
=
X
{\displaystyle f^{-1}(B)=X}
f
(
X
∖
A
)
⊇
f
(
X
)
∖
f
(
A
)
{\displaystyle f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)}
f
−
1
(
Y
∖
B
)
=
X
∖
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)}
[8]
f
(
A
∪
f
−
1
(
B
)
)
⊆
f
(
A
)
∪
B
{\displaystyle f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B}
[10]
f
−
1
(
f
(
A
)
∪
B
)
⊇
A
∪
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)}
[10]
f
(
A
∩
f
−
1
(
B
)
)
=
f
(
A
)
∩
B
{\displaystyle f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B}
[10]
f
−
1
(
f
(
A
)
∩
B
)
⊇
A
∩
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)}
[10]
Juga:
f
(
A
)
∩
B
=
∅
{\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing }
A
∩
f
−
1
(
B
)
=
∅
{\displaystyle A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }
Untuk fungsi
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\rightarrow Y}
g
:
Y
→
Z
{\displaystyle g:Y\rightarrow Z}
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
C
⊆
Z
{\displaystyle C\subseteq Z}
(
g
∘
f
)
(
A
)
=
g
(
f
(
A
)
)
{\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}
(
g
∘
f
)
−
1
(
C
)
=
f
−
1
(
g
−
1
(
C
)
)
{\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}
Subhimpunan daeral asal atau kodomain banyak [ sunting | sunting sumber ] Untuk fungsi
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\rightarrow Y}
A
1
,
A
2
⊆
X
{\displaystyle A_{1},A_{2}\subseteq X}
B
1
,
B
2
⊆
Y
{\displaystyle B_{1},B_{2}\subseteq Y}
Bayangan
Prabayangan
A
1
⊆
A
2
⇒
f
(
A
1
)
⊆
f
(
A
2
)
{\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})}
B
1
⊆
B
2
⇒
f
−
1
(
B
1
)
⊆
f
−
1
(
B
2
)
{\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})}
f
(
A
1
∪
A
2
)
=
f
(
A
1
)
∪
f
(
A
2
)
{\displaystyle f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})}
[10] [11]
f
−
1
(
B
1
∪
B
2
)
=
f
−
1
(
B
1
)
∪
f
−
1
(
B
2
)
{\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})}
f
(
A
1
∩
A
2
)
⊆
f
(
A
1
)
∩
f
(
A
2
)
{\displaystyle f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})}
[10] [11]
f
{\displaystyle f}
[12]
f
−
1
(
B
1
∩
B
2
)
=
f
−
1
(
B
1
)
∩
f
−
1
(
B
2
)
{\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})}
f
(
A
1
∖
A
2
)
⊇
f
(
A
1
)
∖
f
(
A
2
)
{\displaystyle f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})}
[10]
f
{\displaystyle f}
[12]
f
−
1
(
B
1
∖
B
2
)
=
f
−
1
(
B
1
)
∖
f
−
1
(
B
2
)
{\displaystyle f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})}
[10]
f
(
A
1
△
A
2
)
⊇
f
(
A
1
)
△
f
(
A
2
)
{\displaystyle f(A_{1}\triangle A_{2})\supseteq f(A_{1})\triangle f(A_{2})}
f
{\displaystyle f}
f
−
1
(
B
1
△
B
2
)
=
f
−
1
(
B
1
)
△
f
−
1
(
B
2
)
{\displaystyle f^{-1}(B_{1}\triangle B_{2})=f^{-1}(B_{1})\triangle f^{-1}(B_{2})}
Hasil tersebut tidak hanya mengaitkan bayangan dan prabayangan dengan pasang subhimpunan, tetapi juga mengaitkannya dengan aljabar irisan dan gabungan (Boole ) untuk setiap koleksi subhimpunan:
f
(
⋃
s
∈
S
A
s
)
=
⋃
s
∈
S
f
(
A
s
)
{\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})}
f
(
⋂
s
∈
S
A
s
)
⊆
⋂
s
∈
S
f
(
A
s
)
{\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})}
f
−
1
(
⋃
s
∈
S
B
s
)
=
⋃
s
∈
S
f
−
1
(
B
s
)
{\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}
f
−
1
(
⋂
s
∈
S
B
s
)
=
⋂
s
∈
S
f
−
1
(
B
s
)
{\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}
S
{\displaystyle S}
tak terhitung .)
Fungsi bayangan invers adalah homomorfisme kekisi terhadap aljabar himpunan bagian seperti yang dijelaskan sebelumnya, sedangkan fungsi bayangan hanyalah homomorfisme semikekisi (dalam artian, tidak selalu mempertahankan irisan himpunan).
^ "5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets" . Mathematics LibreTexts (dalam bahasa Inggris). 2019-11-05. Diakses tanggal 2020-08-28 . ^ Paul R. Halmos (1968). Naive Set Theory . Princeton: Nostrand. ^ Weisstein, Eric W. "Image" . mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-28 . ^ Jean E. Rubin (1967). Set Theory for the Mathematician ASIN B0006BQH7S . ^ M. Randall Holmes: Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU Diarsipkan 2018-02-07 di Wayback Machine ., 29 Desember 2005, on: Semantic Scholar, hlm. 2
^ a b c See Halmos 1960 , hlm. 39
^ a b Munkres 2000 , hlm. 19^ a b c d e f g h Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed, hlm. 388
^ a b Kelley 1985 , hlm. 85^ a b Munkres 2000 , hlm. 21
![{\displaystyle f[A]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ed71bdb47bfe4c79812b2740415da6f8914c21)
![{\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d39cf12c1dd18d85be61ad4224dda31c1a7cea00)
![{\displaystyle f[\,\cdot \,]:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abffc1c466ae46c2a94661dbcc88cf2e5b93d01b)
![{\displaystyle f^{-1}[B],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6dbf84017bfac544e2b90326d745c352343f1a1)
![{\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,:\,f(x)\in B\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e050cb119eb86cfaeefe36aad4c569dc8bb9ccbf)
![{\displaystyle f^{-1}[\{y\}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e16042ec23362592815cff817c8b2760d62671)
![{\displaystyle f^{-1}[y],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cc714ff09a271d825aa652c1991d34833140d64)
![{\displaystyle A=[-4,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43003748ab0ca4b4a821c4b5accad858d6155679)
![{\displaystyle B=[-2,4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64442023d6e9792651d8b4088dbddffce2f96a23)
![{\displaystyle A_{3}=[-2,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d73ae1daa856a3eb86573c3510c9fcdd8f23fb)
. Holden-Day. hlm. xix. ASIN B0006BQH7S.
