Lompat ke isi

Bayangan (matematika)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
adalah fungsi yang memetakan dari domain ke kodomain . Daerah lonjong yang berwarna kuning di dalam merupakan bayangan .

Dalam matematika, bayangan (bahasa Inggris: image) fungsi adalah himpunan dari semua nilai keluaran (bahasa Inggris: output) yang dapat dihasilkan.

Lebih umumnya lagi, ketika mencari fungsi yang diketahui di setiap anggota subhimpunan dari domainnya akan menghasilkan sebuah himpunan, dan hal tersebut dikatakan sebagai "bayangan di bawah fungsi." Mirip seperti sebelumnya, prabayangan (bahasa Inggris: preimage) subhimpunan dari kodomain adalah himpunan semua anggota dari domain yang memetakan ke anggota

Bayangan dan prabayangan tidak hanya dapat didefinisikan untuk fungsi, tetapi juga untuk relasi biner.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Kata "bayangan" digunakan dalam tiga cara. Dalam definisi ini, menyatakan fungsi yang memetakan dari himpunan ke himpunan .

Bayangan anggota
Jika anggota dari , maka bayangan di bawah , dinotasikan , adalah nilai keluaran untuk argumen .
Bayangan subhimpunan
Misalkan adalah fungsi. Bayangan di bawah dari subhimpunan adalah himpunan semua untuk , diberi notasi . Definisi ini dapat ditulis menggunakan notasi ungkapan himpunan, yaitu:[1][2]Dengan demikian, akan menyebabkan dengan menyatakan himpunan kuasa dari himpunan , himpunan yang mengandung semua subhimpunan . Lihat § Notasi di bawah.
Bayangan fungsi
Bayangan fungsi adalah bayangan dari seluruh daerah asal fungsi, atau dikenal sebagai range fungsi.[3] Akan tetapi, hindari penggunaan kata "range" sebab dapat diartikan sebagai kodomain .
Perumuman bayangan fungsi ke relasi biner
Jika menyatakan sebarang relasi biner di perkalian Cartesius dan , dinotasikan , maka himpunan disebut bayangan atau range . Himpunan disebut daerah asal .

Prabayangan fungsi[sunting | sunting sumber]

Misalkan adalah fungsi yang dipetakan dari ke Prabayangan dari hmpunan di bawah diberi notasi adalah subhimpunan yang didefinisikan denganTerdapat notasi lain untuk prabayangan fungsi, seperti dan [4] Prabayangan fungsi dari himpunan singleton, yang dilambangkan dengan atau juga disebut sebagai fiber, atau fiber atas , atau himpunan aras dari Himpunan dari semua fiber atas anggota merupakan keluarga himpunan dengan indeks

Notasi untuk bayangan dan prabayangan[sunting | sunting sumber]

Pemakaian notasi di bagian sebelumnya dapat membingungkan. Oleh karena itu, terdapat notasi alternatif yang memberikan nama eksplisit [5] untuk bayangan dan prabayangan sebagai fungsi di antara himpunan kuasa:

Notasi panah
dengan
dengan
Notasi bintang
sebagai pengganti
sebagai pengganti
Notasi lain
Notasi lain untuk yang digunakan dalam logika matematika dan teori himpunan adalah '.[6][7]

Sifat-sifat[sunting | sunting sumber]

Contoh lawan yang didasari pada bilangan real , yang didefinisikan dengan , menunjukkan bahwa persamaan tak harus berlaku untuk beberapa hukum:
Bayangan yang memperlihatkan himpunan tak sama: Himpunan dan diperlihatkan dengan garis berwarna biru di bawah sumbu-, sedangkan irisan dari diperlihatkan dengan daerah berwarna hijau.

Sifat-sifat umum[sunting | sunting sumber]

Untuk setiap fungsi dan semua himpunan bagian and , berlaku sifat-sifat berikut:

Bayangan Prabayangan
(adalah sama jika , sebagai contoh, jika surjektif)[8][9] (adalah sama jika injektif)[8][9]
jika dan hanya jika jika dan hanya jika
jika dan hanya jika terdapat sehingga jika dan hanya jika
jika dan hanya jika jika dan hanya jika
[8]
[10] [10]
[10] [10]

Juga:

  • jika dan hanya jika

Fungsi banyak[sunting | sunting sumber]

Untuk fungsi dan dengan subhimpunan dan , berlaku sifat-sifat berikut:

Subhimpunan daeral asal atau kodomain banyak[sunting | sunting sumber]

Untuk fungsi dan subhimpunan and , berlaku sifat-sifat berikut:

Bayangan Prabayangan
[10][11]
[10][11]
(adalah sama jika injektif[12])
[10]
(adalah sama jika injektif[12])
[10]

(adalah sama jika injektif)

Hasil tersebut tidak hanya mengaitkan bayangan dan prabayangan dengan pasang subhimpunan, tetapi juga mengaitkannya dengan aljabar irisan dan gabungan (Boole) untuk setiap koleksi subhimpunan:

dapat berupa himpunan tak terhingga, bahkan tak terhitung.)

Fungsi bayangan invers adalah homomorfisme kekisi terhadap aljabar himpunan bagian seperti yang dijelaskan sebelumnya, sedangkan fungsi bayangan hanyalah homomorfisme semikekisi (dalam artian, tidak selalu mempertahankan irisan himpunan).

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ "5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets". Mathematics LibreTexts (dalam bahasa Inggris). 2019-11-05. Diakses tanggal 2020-08-28. 
  2. ^ Paul R. Halmos (1968). Naive Set Theory. Princeton: Nostrand.  Bagian 8
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Image". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-28. 
  4. ^ Dolecki & Mynard 2016, hlm. 4-5.
  5. ^ Blyth 2005, hlm. 5.
  6. ^ Jean E. Rubin (1967). Set Theory for the MathematicianPerlu mendaftar (gratis). Holden-Day. hlm. xix. ASIN B0006BQH7S. 
  7. ^ M. Randall Holmes: Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFUDiarsipkan 2018-02-07 di Wayback Machine., 29 Desember 2005, on: Semantic Scholar, hlm. 2
  8. ^ a b c See Halmos 1960, hlm. 39
  9. ^ a b Munkres 2000, hlm. 19
  10. ^ a b c d e f g h Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed, hlm. 388
  11. ^ a b Kelley 1985, hlm. 85
  12. ^ a b Munkres 2000, hlm. 21

Referensi[sunting | sunting sumber]