Transpos

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Matriks AT sebagai hasil transpos dari A dapat dicari dengan merefleksikan setiap elemennya sepanjang diagonal utamanya. Mengulangi langkah ini pada matriks hasil transpos akan menghasilkan matriks dengan setiap elemen kembali ke posisi awalnya.

Dalam aljabar linear, transpos dari sebuah matriks adalah operator yang membalikkan posisi matriks sepanjang diagonal utamanya; dengan kata lain, operator ini menukar setiap baris dan kolom pada matriks A, menjadi kolom dan baris matriks baru, yang umum dikenal sebagai AT.[1][2] transpos dari sebuah matriks diperkenalkan pada tahun 1858 oleh matematikawan Inggris Arthur Cayley.[3]

Transpos dari sebuah matriks[sunting | sunting sumber]

Definisi[sunting | sunting sumber]

transpos dari sebuah matriks A, yang dinyatakan sebagai AT,[1][4] A, A, ,[5][6] A′,[7] Atr, tA, atau At, dapat dibentuk dengan tiga cara berikut:

  1. Merefleksikan A sepanjang diagonal utamanya untuk mendapatkan AT;
  2. Menulis setiap baris dari A sebagai kolom dari AT;
  3. Menulis setiap kolom dari A sebagai baris dari AT.

Secara lebih formal, elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari AT adalah elemen baris ke-j dan kolom ke-i dari A:

Jika A adalah matriks berukuran m × n, maka matriks AT berukuran n × m.

Untuk kasus matriks persegi, notasi AT juga dapat menyatakan pangkat T dari matriks A. Untuk menghindari kerancuan ini, banyak penulis menggunakan tika atas kiri, yakni, mereka menulis transpos sebagai TA. Notasi ini menguntungkan karena tanda kurung tidak diperlukan untuk operasi yang melibatkan perpangkatan, karena (TA)n = T(An): menulis TAn tidak menimbulkan kerancuan.

Artikel ini menghindari kerancuan tersebut dengan tidak pernah menggunakan simbol T sebagai nama variabel.

Terdapat beberapa definisi matriks yang melibatkan transpos:

Nama matriks Kondisi Definisi
Simetris Matriks persegi dengan hasil transposnya berupa dirinya sendiri
Skew-symmetric Matriks persegi dengan hasil transposnya sama dengan negatif dari dirinya sendiri
Hermitian Matriks persegi dengan setiap elemen hasil transposnya adalah konjugat kompleks dari elemen pada posisi yang sama.

Hal ini sama dengan mengatakan matriks persegi tersebut sama dengan transpos konjugatnya.

Ortogonal Matriks persegi dengan hasil transposnya sama dengan invers dirinya sendiri
Uniter Matriks persegi dengan hasil transposnya sama dengan invers konjugat dari dirinya sendiri.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Sifat[sunting | sunting sumber]

Misal A dan B adalah matriks dan c adalah sebuah skalar.

  1. Operasi transpos adalah sebuah involusi.
  2. Transpos memenuhi sifat penjumlahan.
  3. Perhatikan bahwa urutan perkalian dibalik. Dari hasil ini dapat disimpulkan matriks persegi A dapat dibalik jika dan hanya jika AT dapat dibalik, dan dalam kasus ini didapatkan (A−1)T = (AT)−1. Dengan induksi, hasil ini dapat diperumum untuk kasus beberapa matriks, yakni (A1A2...Ak−1Ak)T = AkTAk−1TA2TA1T.
  4. Transpos dari sebuah skalar menghasilkan skalar yang sama. Bersama dengan (2), sifat ini menyatakan transpos adalah peta linear dari ruang matriks ukuran m × n ke ruang matriks ukuran n × m.
  5. Nilai determinan dari matriks persegi sama dengan nilai determinan dari transposnya.
  6. Produk dot dari dua vektor kolom a dan b dapat dihitung sebagai perkalian matriks:
    atau juga dapat ditulis sebagai aibi dalam notasi Einstein.
  7. Jika semua elemen A adalah bilangan real, maka ATA adalah matriks semidefinit-positif.
  8. Transpos dari matriks yang dapat dibalik juga berupa matriks yang dapat dibalik, dan inversnya adalah transpos dari invers matriks awalnya. Notasi A−T terkadang digunakan untuk mewakili kedua ekpresi yang setara tersebut.
  9. Jika A adalah matriks persegi, maka nilai-nilai eigennya sama dengan nilai-nilai eigen dari transposnya, karena mereka berdua memiliki polinomial karakteristik yang sama.

Hasil kali[sunting | sunting sumber]

Jika matriks A berukuran m × n dan AT adalah transposnya, maka hasil perkalian matriks antara keduanya menghasilkan dua matriks persegi: A AT yang berukuran m × m dan AT A yang berukuran n × n. Lebih lanjut, kedua matriks ini simetris. Elemen-elemen pada hasil perkalian matriks A AT adalah hasil kali dalam baris dari A dengan kolom dari AT. Namun karena kolom pada AT adalah baris pada A, setiap elemen di A AT adalah hasil kali dalam dua baris matriks A. Jika pi j adalah elemen di matriks hasil perkalian, nilainya berasal dari baris ke-i dan ke-j di A. Nilai elemen pj i juga didapatkan dari kedua baris yang sama, sehingga pi j = pj i, dan menyebabkan A AT simetris. Dengan alasan yang serupa, hasil perkalian AT A juga matriks simetris.

Bukti yang lebih cepat mengenai kesimetrisan matriks A AT didapatkan dari fakta transpos matriks tersebut adalah dirinya sendiri:

[8]

Implementasi transpos matriks di komputer[sunting | sunting sumber]

Ilustrasi dua cara mengakses matriks di memori komputer.

Di komputer, kita dapat menghindari melakukan transpos matriks secara eksplisit di memori cukup dengan mengakses data dalam urutan yang berbeda. Sebagai contoh, pustaka untuk aljabar linear, seperti BLAS, umumnya menyediakan pilihan untuk menyatakan sebuah matriks perlu dibaca dalam urutan operasi transpos, untuk menghindari perpindahan data yang tidak diperlukan.

Namun, ada beberapa keadaan yang mengharuskan atau menguntungkan untuk melakukan transpos matriks secara eksplisit di memori. Sebagai contoh, matriks yang disimpan dalam row-major order, memiliki baris matriks yang contiguous di memori, namun kolom matriksnya tidak. Jika matriks banyak melakukan operasi yang melibat kolom-kolom, sebagai contoh algoritme transformasi Fourier cepat, melakukan transpos matriks agar kolom-kolomnya contiguous mungkin dapat meningkatkan peformanya karena memory locality yang tinggi.

Idealnya, kita mengharapkan operasi transpos dilakukan dengan menggunakan penyimpanan sementara yang sedikit. Hal ini berujung pada permasalahan melakukan transpos matriks berukuran n × m in-place, dengan O(1) penyimpanan sementara yang jauh lebih kecil daripada mn. Pada kasus n ≠ m, hal ini melibatkan permutasi elemen-elemen matriks yang rumit dan tidak mudah diterapkan secara in-place. Karena hal itu, metode transpos matriks in-place yang efisien banyak diteliti pada bidang ilmu komputer mulai pada akhir tahun 1950-an. Beberapa algoritme telah dikembangkan dalam hal tersebut.

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ a b "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-25. Diakses tanggal 2020-09-08. 
  2. ^ Nykamp, Duane. "The transpose of a matrix". Math Insight. Diakses tanggal September 8, 2020. 
  3. ^ Arthur Cayley (1858) "A memoir on the theory of matrices", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148 : 17–37. The transpose (or "transposition") is defined on page 31.
  4. ^ T.A. Whitelaw (1 April 1991). Introduction to Linear Algebra, 2nd edition. CRC Press. ISBN 978-0-7514-0159-2. 
  5. ^ "Transpose of a Matrix Product (ProofWiki)". ProofWiki. Diakses tanggal 4 Feb 2021. 
  6. ^ "What is the best symbol for vector/matrix transpose?". Stack Exchange. Diakses tanggal 4 Feb 2021. 
  7. ^ Weisstein, Eric W. "Transpose". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-09-08. 
  8. ^ Gilbert Strang (2006) Linear Algebra and its Applications 4th edition, page 51, Thomson Brooks/Cole ISBN 0-03-010567-6

Daftar pustaka[sunting | sunting sumber]

Pranala luar[sunting | sunting sumber]