Matriks uniter

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam aljabar linear, matriks persegi dengan entri-entri berupa bilangan kompleks disebut uniter jika invers dirinya sama dengan transpos konjugatnya, . Secara formal, matriks uniter adalah matriks yang memenuhi

dengan adalah matriks identitas. Dalam bidang fisika, khususnya mekanika kuantum, transpos konjugat dikenal sebagai adjoin Hermite dari suatu matriks dan disimbolkan dengan dagger (†), jadi persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai Versi analog dari matriks uniter pada lapangan bilangan real adalah matriks ortogonal. Matriks uniter memiliki peran penting dalam mekanika kuantum karena mereka tidak melestarikan (tidak mengubah) norma, dan akibatnya, juga melestarikan probability amplitudes.

Sifat[sunting | sunting sumber]

Matriks uniter dapat didefinisikan lewat banyak cara. Jika adalah matriks persegi dengan entri-entri berupa bilangan kompleks, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:[1]

  • adalah matriks uniter.
  • adalah matriks uniter.
  • terbalikkan, dengan invers .
  • Kolom-kolom dari membentuk basis ortonormal dari terhadap operasi hasil kali dalam yang biasa. Dengan kata lain, .
  • Kolom-kolom dari membentuk basis ortonormal dari terhadap operasi hasil kali dalam yang biasa. Dengan kata lain, .
  • adalah suatu isometri terhadap norma yang biasa. Dengan kata lain, untuk sembarang , dengan .
  • merupakan matriks normal (secara ekuivalen, ada suatu basis ortonormal yang dibentuk oleh vektor-vektor eigen dari ) dengan nilai-nilai eigennya terletak pada lingkaran satuan.

Selain itu, sifat-sifat berikut selalu dipenuhi untuk sembarang matriks uniter berukuran hingga:

  • Untuk sembarang vektor kompleks dan , perkalian dengan akan mempertahankan hasil kali dalam kedua vektor tersebut; dengan kata lain, .
  • juga merupakan matriks normal, karena .
  • Sebagai akibat dari teorema spektral, dapat diagonalkan; dengan kata lain, serupa secara uniter dengan suatu matriks diagonal.. Hal ini mengartikan memiliki faktorisasi berbentuk , dengan berupa matriks uniter, dan berupa matriks diagonal dan uniter.
  • .
  • Ruang eigen dari bersifat ortogonal.
  • dapat ditulis sebagai , dengan menyatakan eksponensiasi matriks, adalah unit imajiner, dan berupa matriks Hermite.

Untuk sembarang bilangan bulat nonnegatif , himpunan semua matriks uniter berukuran yang dilengkapi operasi perkalian matriks akan membentuk sebuah grup, yang dikenal sebagai grup uniter .

Konstruksi secara sederhana[sunting | sunting sumber]

Matriks uniter berukuran 2 × 2[sunting | sunting sumber]

Ekspresi umum dari suatu matriks uniter berukuran 2 × 2 adalah

yang bergantung pada empat parameter real, yakni fasa dari , fasa dari , magnitudo relatif antara dan , dan sudut and φ. Determinan dari matriks tersebut adalah

Grup dari matriks uniter dengan dikenal dengan grup uniter spesial (special unitary group) .

Matriks juga dapat dituliskan dalam bentuk alternatif berikut:

yang, dengan memperkenalkan variabel dan , akan memiliki faktorisasi berbentuk:

Ekspresi tersebut memperjelas hubungan antara matriks uniter berukuran 2 × 2 dan matriks ortogonal dengan sudut θ. Bentuk faktorisasi lain adalah[2]

Matriks uniter juga memiliki beberapa faktorisasi matriks-matriks dasar.[3][4][5]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis. Cambridge University Press. doi:10.1017/9781139020411. ISBN 9781139020411. 
  2. ^ Führ, Hartmut; Rzeszotnik, Ziemowit (2018). "A note on factoring unitary matrices". Linear Algebra and Its Applications. 547: 32–44. doi:10.1016/j.laa.2018.02.017. ISSN 0024-3795. 
  3. ^ Williams, Colin P. (2011), Williams, Colin P., ed., "Quantum Gates", Explorations in Quantum Computing, Texts in Computer Science (dalam bahasa Inggris), London: Springer, hlm. 82, doi:10.1007/978-1-84628-887-6_2, ISBN 978-1-84628-887-6, diakses tanggal 2021-05-14 
  4. ^ Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac (2010). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge: Cambridge University Press. hlm. 20. ISBN 978-1-10700-217-3. OCLC 43641333. 
  5. ^ Barenco, Adriano; Bennett, Charles H.; Cleve, Richard; DiVincenzo, David P.; Margolus, Norman; Shor, Peter; Sleator, Tycho; Smolin, John A.; Weinfurter, Harald (1995-11-01). "Elementary gates for quantum computation". Physical Review A. American Physical Society (APS). 52 (5): 3457–3467. arXiv:quant-ph/9503016alt=Dapat diakses gratis. doi:10.1103/physreva.52.3457. ISSN 1050-2947. , page 8

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

  • (Inggris)

Weisstein, Eric W. "Unitary Matrix". MathWorld. Todd Rowland.