Transpos konjugat

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam matematika, transpos konjugat (bahasa Inggris: conjugate transpose) atau transpose Hermite (bahasa Inggris: Hermitian transpose) dari suatu matriks dengan entri-entri kompleks adalah matriks yang dihasilkan dengan melakukan transpos dari lalu mengambil konjugat kompleks dari setiap entrinya (konjugat kompleks dari adalah , untuk sembarang bilangan real dan ). Nama lain dari transpos konjugat dari suatu matriks adalah konjugat Hermite, matriks adjoin, dan transjugat (transjugate). Matriks hasil operasi ini umum dinyatakan sebagai atau .[1][2]

Untuk matriks real, transpos konjugat akan sama dengan operasi transpos biasa, .

Definisi[sunting | sunting sumber]

Transpos konjugat dari suatu matriks berukuran secara formal didefinisikan sebagai

dengan indeks menyatakan entri ke- dari matriks, untuk dan , dan overbar menyatakan konjugat kompleks pada skalar. Definisi tersebut juga dapat ditulis sebagai[2]

dengan menyatakan transpos, dan menyatakan matriks dengan entri-entri yang dikonjugasi kompleks. Transpos konjugat dari matriks dapat dinyatakan oleh beberapa simbol berikut:

  • ,[2] dan , yang umum digunakan dalam aljabar linear,
  • , umum digunakan dalam fisika kuantum, dan
  • , walau simbol ini lebih sering digunakan untuk invers Moore–Penrose

Dalam beberapa konteks, menyatakan matriks dengan yang entrinya hanya dikonjugasi kompleks dan tidak mengalami transpos matriks

Contoh[sunting | sunting sumber]

Misalkan kita ingin menghitung transpos konjugat dari matriks berikut:

Pertama kita melakukan transpos pada matriks,

lalu kita mencari konjugat kompleks dari setiap entri pada matriks:

Motivasi[sunting | sunting sumber]

Transpos konjugat dapat dianggap sebagai perumuman konsep konjugat kompleks. Bilangan kompleks dapat direpresentasikan sebagai matriks real berukuran 2×2, yang juga memenuhi sifat penjumlahan dan perkalian matriks:

Dengan demikian, perkalian bilangan kompleks di dapat dianggap sebagai transformasi linear pada diagram Argand (dilihat sebagai ruang vektor real ) oleh matriks real berukuran 2×2. Lebih lanjut, konjugat kompleks dari dapat dilakukan dengan melakukan transpos pada representasi matriks berukuran 2×2-nya.

Hal ini mengartikan matriks berentri kompleks berukuran juga dapat direpresentasikan dengan baik oleh matriks berentri real berukuran . Transpos konjugat muncul secara alami sebagai akibat mentranspos matriks real ini — yang dapat dilihat kembali sebagai matriks kompleks berukuran .

Sifat-sifat[sunting | sunting sumber]

  • untuk sembarang matriks dan yang memiliki ukuran yang sama.
  • untuk sembarang bilangan kompleks dan sembarang matriks berukuran .
  • untuk sembarang matriks berukuran dan sembarang matriks berukuran . Ingat bahwa urutan dari faktor dibalik.[1]
  • funtuk sembarang matriks berukuran , dengan kata lain, transpos konjugat adalah suatu involusi.
  • Jika adalah matriks persegi, maka dengan menyatakan determinan dari .
  • Jika adalah matriks persegi, maka dengan menyatakan trace dari .
  • terbalikkan jika dan hanya jika juga terbalikkan, dan dalam kasus tersebut, .
  • Nilai-nilai eigen dari adalah konjugat kompleks dari nilai-nilai eigen dari .
  • untuk sembarang matriks berukuran , sembarang vektor , dan sembarang vektor . Dalam persamaan ini, menyatakan hasil kali dalam kompleks pada , dan serupa untuk notasi .

Beberapa jenis matriks persegi juga dapat didefinisikan lewat transpos konjugatnya. Suatu matriks persegi dengan entri-entri disebut

  • Hermite, jika ; yakni ketika .
  • Skew Hermitian atau antihermitian jika ; yakni, .
  • Normal jika .
  • Uniter jika , atau secara ekuivalen , atau secara ekuilvalen .

Bahkan jika bukan matriks persegi, kedua matriks dan merupakan matriks Hermite, lebih tepatnya matriks semidefinit positif.

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ a b Weisstein, Eric W. "Conjugate Transpose". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-09-08. 
  2. ^ a b c "conjugate transpose". planetmath.org. Diakses tanggal 2020-09-08. 

Pranala luar[sunting | sunting sumber]