Kesetaraan matriks

Dalam aljabar linear, dua matriks $\mathbf {A}$ dan $\mathbf {B}$ berukuran $m\times n$ disebut setara atau ekuivalen jika berlaku hubungan

$$\mathbf {B} =\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P}$$

untuk suatu matriks terbalikkan $\mathbf {P}$ dan $\mathbf {Q}$ yang masing-masing berukuran $n\times n$ dan $m\times m$. Matriks-matriks yang saling setara merepresentasikan transformasi linear $V\mapsto W$ dibawah dua pilihan pasangan basis $V$ dan $W$ yang berbeda. Lebih lanjut, $\mathbf {P}$ dan $\mathbf {Q}$ masing-masing menyatakan matriks perubahan basis di $V$ dan di $W$.

Konsep kesetaraan tidak dapat disamakan dengan konsep keserupaan, yang hanya terdefinisi untuk matriks persegi dan didefinisikan jauh lebih ketat (matriks-matriks yang saling serupa pasti saling setara, namun kebalikannya belum tentu benar). Keserupaan dapat dipadankan dengan matriks-matriks yang menyatakan endomorfisme $V\mapsto V$ yang sama, dibawah dua pilihan basis tunggal $V$ yang berbeda.

Sifat-sifat

Kesetaraan matriks adalah suatu relasi ekuivalensi pada ruang matriks.

Untuk dua matriks dengan ukuran yang sama, kesetaraan antara mereka juga dapat dikarakterisasi dengan beberapa kondisi berikut:

• Matriks yang satu dapat diubah menjadi matriks yang lain, menggunakan serangkaian operasi baris dan kolom elementer.
• Kedua matriks setara jika dan hanya jika keduanya memiliki rank yang sama.

Lihat pula

• Kekongruenan matriks
• Keserupaan matriks