Basis (aljabar linear)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam aljabar linear, basis adalah himpunan vektor, yang dalam sebuah kombinasi linear dapat merepresentasikan setiap vektor dalam suatu ruang vektor. Tidak ada elemen dalam himpunan vektor tersebut yang dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear vektor-vektor lain. Basis juga dapat dianggap sebagai "sistem koordinat".[1]

Definisi formal[sunting | sunting sumber]

Basis untuk ruang vektor (atas medan ) adalah suatu himpunan bagian yang memenuhi:

  1. Setiap dapat dituliskan sebagai dengan .
  2. Jika representasi lain, maka dan ada suatu permutasi yang dan .

Contoh[sunting | sunting sumber]

Gambar ini mengilustrasikan basis standar pada R2. Vektor biru dan oranye adalah elemen dasarnya; vektor hijau dapat diberikan dalam istilah vektor basis, dan begitu juga bergantung linear padanya.
dan perkalian skalar
dimana adalah bilangan real apa pun. Basis sederhana dari ruang vektor ini, disebut basis standar terdiri dari dua vektor e1 = (1,0) and e2 = (0,1), karena vektor apapun v = (a, b) dari R2 dapat ditulis secara unik sebagai
Pasangan vektor bebas linear lainnya R2, seperti (1, 1) dan (−1, 2), bentuk menjadi dasar R2.
  • Lebih umum lagi, jika F adalah bidang, himpunan dari n-tupel dari elemen F adalah ruang vektor untuk penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan serupa. Karena
jadilah tupel n dengan semua komponen sama dengan 0, kecuali i yaitu 1. Kemudian adalah basis dari yang disebut basis standar dari
Kumpulan polinomial apa pun yang hanya ada satu polinomial pada setiap derajat juga merupakan basis. Kumpulan polinomial seperti itu disebut urutan polinomial. Contoh (di antara banyak) urutan polinomial tersebut adalah polinomial basis Bernstein, dan polinomial Chebyshev.

Koordinat [sunting | sunting sumber]

Misalkan V menjadi ruang vektor berdimensi berhingga n di atas bidang F, dan

menjadi dasar dari V. Menurut definisi basis, setiap v pada V dapat ditulis, dengan cara yang unik, seperti

dimana koefisiennya adalah skalar (yaitu, elemen F), yang disebut koordinat dari v di atas B. Namun, jika seseorang berbicara tentang himpunan koefisien, seseorang kehilangan korespondensi antara koefisien dan elemen basis, dan beberapa vektor mungkin memiliki himpunan koefisien yang sama. Sebagai contoh, dan memiliki koefisien yang sama {2, 3}, dan berbeda. Oleh karena itu, sering kali nyaman untuk bekerja dengan dasar yang teratur; ini biasanya dilakukan oleh pengindeksan elemen dasar oleh bilangan asli pertama. Kemudian, koordinat vektor membentuk urutan dengan indeks serupa, dan vektor sepenuhnya dicirikan oleh urutan koordinat. Basis terurut juga disebut frame, kata yang biasa digunakan, dalam berbagai konteks, untuk merujuk ke urutan data yang memungkinkan penentuan koordinat.

Misalkan, seperti biasa, menjadi himpunan n-tupel dari elemen F. Himpunan ini adalah F ruang vektor, dengan penjumlahan dan perkalian skalar ditentukan berdasarkan komponen. Peta

is a linear isomorphism from the vector space onto V. In other words, is the coordinate space of V, and the n-tuple is the coordinate vector of v.

Gambar invers oleh pada adalah n-tupel semua yang komponennya 0, kecuali yang ke i yaitu 1. membentuk dasar terurut dari yang disebut standar dasar atau dasar kanonik. Dasar yang diurutkan B adalah gambar oleh dari dasar kanonik .

Ini mengikuti dari apa yang mendahului setiap basis terurut adalah gambar dengan isomorfisme linier dari basis kanonik , dan bahwa setiap isomorfisme linier dari ke V dapat didefinisikan sebagai isomorfisme yang memetakan dasar kanonik ke urutan tertentu dasar dari V. Dengan kata lain, ini setara dengan mendefinisikan basis terurut dari V, atau isomorfisme linier dari ke V.

Perubahan basis[sunting | sunting sumber]

Maka V jadilah ruang vektor berdimensi n di atas bidang F. Diberikan dua pangkalan (order) dan dari V, sering kali berguna untuk menyatakan koordinat vektor x sehubungan dengan dalam hal koordinat sehubungan dengan Ini dapat dilakukan dengan rumus perubahan-basis , yang dijelaskan di bawah ini. Subskrip "lama" dan "baru" telah dipilih karena biasa digunakan untuk merujuk dan sebagai dasar lama dan dasar baru . Ini berguna untuk menggambarkan koordinat lama dengan yang baru, karena, secara umum, seseorang memiliki ekspresi yang melibatkan koordinat lama, dan jika seseorang ingin mendapatkan ekspresi yang setara dalam hal koordinat baru; ini diperoleh dengan mengganti koordinat lama dengan ekspresi mereka dalam bentuk koordinat baru.

Biasanya, vektor basis baru diberikan oleh koordinatnya di atas basis lama, yaitu

If and are the coordinates of a vector x over the old and the new basis respectively, the change-of-basis formula is

for i = 1, ..., n.

Rumus ini dapat ditulis secara ringkas dalam notasi matriks. Misalkan A adalah matriks dari dan

dan

jadilah vektor kolom dari koordinat v di basis lama dan basis baru, maka rumus untuk mengubah koordinat adalah

Rumusnya dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan dekomposisi vektor x pada dua basa: satu memiliki

dan

Rumus perubahan basis kemudian dari keunikan dekomposisi vektor atas basis, di sini adalah

untuk i = 1, ..., n.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Halmos, Paul Richard (1987) Finite-dimensional vector spaces (4th edition) Springer-Verlag, New York, page 10, ISBN 0-387-90093-4

Referensi[sunting | sunting sumber]

Referensi umum[sunting | sunting sumber]

Referensi sejarah[sunting | sunting sumber]